【正文】 z)) ∧(┐Q(x,y)∨P(u)) ∧ (┐Q(x,y)∨Q(y,z)))前束合取范式習題27(1) 證明：(2) a)①(x)(┐A(x)→B(x)) P②┐A(u)→B(u) US①③( x)┐B(x) P④┐B(u) US③⑤A(u)∨B(u) T②E⑥A(u) T④⑤I⑦ ( $x)A(x) EG⑥b)①┐( x)(A(x)→B(x)) P（附加前提）②( $x)┐(A(x)→B(x)) T①E③┐(A(c)→B(c)) ES②④A(c) T③I⑤┐B(c) T③I⑥( $x)A(x) EG④⑦ ($x)A(x)→(x)B(x) P⑧(x)B(x) T⑥⑦I⑨B(c) US⑧⑩B(c)∧ ┐B(c) T⑤⑨矛盾c）①(x)(A(x)→B(x)) P②A(u)→B(u) US①③( x)(C(x)→┐B(x)) P④C(u)→┐B(u) US③⑤┐B(u) →┐A(u) T②E⑥C(u)→┐A(u) T④⑤I⑦(x)(C(x)→┐A(x)) UG⑥d)(x)(A(x)∨B(x)),( x)(B(x)→┐C(x)),( x)C(x)222。 (x)A(x)①( x)(B(x)→┐C(x)) P②B(u)→┐C(u) US①③( x)C(x) P④C(u) US③⑤┐B(u) T②④I⑥(x)(A(x)∨B(x)) P⑦A(u)∨B(u) US⑧A(u) T⑤⑦I⑨(x)A(x) UG⑧(2)證明：a)①( x)P(x) P（附加前提）②P(u) US①③(x)(P(x)→Q(x)) P④P(u)→Q(u) US③⑤Q(u) T②④I⑥(x)Q(x) UG⑤⑦( x)P(x)→(x)Q(x) CPb)因為(x)P(x)∨($x)Q(x)219。┐(x)P(x) →($x)Q(x)故本題就是推證(x)(P(x)∨Q(x)) 222。 ┐(x)P(x) →($x)Q(x)①┐(x)P(x) P（附加前提）②( $x)┐P(x) T①E③┐P(c) ES②④(x)(P(x)∨Q(x)) P⑤P(c)∨Q(c) ES④⑥Q(c) T③⑤I⑦( $x) Q(x) EG⑥⑧┐(x)P(x) →($x)Q(x) CP(3) 解：a)設R（x）：x是實數(shù)。Q（x）：x是有理數(shù)。I（x）：x是整數(shù)。本題符號化為： (x)(Q(x) →R(x)) ∧($x)(Q(x) ∧I(x)) 222。 ($x)(R(x) ∧I(x))①($x)(Q(x) ∧I(x)) P②Q(c) ∧I(c) ES①③(x)(Q(x) →R(x)) P④Q(c) →R(c) US③⑤Q(c) T②I⑥R(c) T④⑤I⑦I(c) T②I⑧R(c)∧I(c) T⑥⑦I⑨($x)(R(x) ∧I(x)) EG⑧b)設P（x）：x喜歡步行。Q（x）：x喜歡乘汽車。R（x）：x喜歡騎自行車本題符號化為： (x)(P(x) →┐Q(x)), (x)(Q(x) ∨R(x)) , ($x) ┐R(x) 222。 ($x) ┐P(x)①($x) ┐R(x) P②┐R (c) ES①③(x)(Q(x) ∨R(x)) P④Q(c) ∨R(c) US③⑤Q(c) T②④I⑥(x)(P(x) →┐Q(x)) P⑦P(c) →┐Q(c) US⑥⑧┐P (c) T⑤⑦I⑨($x) ┐P(x) EG⑧c)每個大學生不是文科學生就是理工科學生，有的大學生是優(yōu)等生，小張不是理工科學生，但他是優(yōu)等生，因而如果小張是大學生，他就是文科學生。設G（x）：x是大學生。L（x）：x是文科學生。P（x）：x是理工科學生。S（x）：x是優(yōu)秀生。c：小張。本題符號化為：(x)(G(x) →L(x)∨P(x)), ($x)(G(x) ∧ S(x)), ┐P (c) , S(c) 222。 G(c) →L(c)①G(c) P（附加前提）②(x)(G(x) →L(x)∨P(x)) P③G(c) →L(c)∨P(c) US②④L(c)∨P(c) T①③I⑤┐P (c) P⑥L(c) T④⑤I⑦G(c) →L(c) CP注意：本題推證過程中未用到前提($x)(G(x) ∧ S(x))以及S(c)。主要是S（x）：x是優(yōu)秀生，這個條件與其他前提的聯(lián)系對證明結(jié)論沒有影響，因S（x）與其他前提不矛盾，故本題的推證仍是有效的。證明 設A上定義的二元關(guān)系R為：＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R219。=① 對任意＜x,y＞∈A，因為=，所以＜＜x,y＞, ＜x,y＞＞∈R即R是自反的。② 設＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，若＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R222。=222。=222。＜＜u,v＞,＜x,y＞＞∈R即R是對稱的。③ 設任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，對＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R∧＜＜u,v＞, ＜w,s＞＞∈R222。（=）∧（=）222。=222。＜＜x,y＞, ＜w,s＞＞∈R故R是傳遞的，于是R是A上的等價關(guān)系。 設R是集合A 上的對稱和傳遞關(guān)系，證明如果對于A中的每一個元素a,在A中同時也存在b，使a,b在R之中，則R是一個等價關(guān)系。證明 對任意a∈A，必存在一個b∈A，使得＜a,b＞∈R.因為R是傳遞的和對稱的，故有：＜a,b＞∈R∧＜b, c＞∈R222。＜a, c＞∈R222。＜c,a＞∈R由＜a,c＞∈R∧＜c, a＞∈R222。＜a,a＞∈R所以R在A上是自反的，即R是A上的等價關(guān)系。 設R1和R2是非空集合A上的等價關(guān)系，試確定下述各式，哪些是A上的等價關(guān)系，對不是的式子，提供反例證明。a）（AA）R1；b）R1R2；c）R12；d) r（R1R2）（即R1R2的自反閉包）。解 a）（AA）R1不是A上等價關(guān)系。例如：A={a,b}，R1={＜a,a＞，＜b,b＞}AA={＜a,a＞，＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,b＞}（AA）R1={＜a,b＞，＜b,a＞}所以（AA）R1不是A上等價關(guān)系。 b）設 A={a,b,c} R1={＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,c＞，＜c,b＞，＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞} R2={＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞，＜b,c＞，＜c,b＞} R1R2={＜a,b＞，＜b,a＞，＜a,c＞，＜c,a＞} 所以R1和R2是A上等價關(guān)系，但R1R2不是A上等價關(guān)系。 c）若R1是A上等價關(guān)系，則 ＜a,a＞∈R1222。＜a,a＞∈R1○R1所以R12是A上自反的。若＜a,b＞∈R12則存在c，使得＜a, c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。因R1對稱，故有＜b, c＞∈R1∧＜c,a＞∈R1222。＜b, a＞∈R12即R12是對稱的。若＜a,b＞∈R12∧＜b, c＞∈R12,則有＜a,b＞∈R1○R1∧＜b, c＞∈R1○R1222。（$e1）（＜a, e1＞∈R1∧＜e1, b＞∈R1) ∧（$e2）（＜b, e2＞∈R1∧＜e2, c＞∈R1）222。＜a,b＞∈R1∧＜b, c＞∈R1（∵R1傳遞）222。＜a,c＞∈R12即R12是傳遞的。故R12是A上的等價關(guān)系。 d）如b）所設，R1和R2是A上的等價關(guān)系，但 r（R1R2）=（R1R2）∪IA ={＜a,b＞, ＜b,a＞, ＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞, ＜c,c＞}不是A上的等價關(guān)系。 設C*是實數(shù)部分非零的全體復數(shù)組成的集合，C*上的關(guān)系R定義為：(a+bi)R(c+di)219。ac0,證明R是等價關(guān)系，并給出關(guān)系R的等價類的幾何說明。證明：(1)對任意非零實數(shù)a，有a20219。(a+bi)R(a+bi)故R在C*上是自反的。(2) 對任意(a+bi)R(c+di)219。ac0,因ca=ac0219。(c+di)R(a+bi),所以R在C*上是對稱的。(3)設(a+bi)R(c+di) ，(c+di)R(u+vi)，則有ac0217。cu0若c0，則a0217。u0222。 au0若c0，則a0217。u0222。 au0所以(a+bi)R(u+vi)，即R在C*上是傳遞的。關(guān)系R的等價類，就是復數(shù)平面上第一、四象限上的點，或第二、三象限上的點，因為在這兩種情況下，任意兩個點(a,b)，(c,d)，其橫坐標乘積ac0。 設Π和Π162。是非空集合A上的劃分，并設R和R162。分別為由Π和Π162。誘導的等價關(guān)系，那么Π162。細分Π的充要條件是R162。 205。 R。證明：若Π162。細分Π。由假設aR162。b，則在Π162。中有某個塊S162。，使得a,b∈S162。，因Π162。細分Π，故在Π中，必有某個塊S，使S162。205。 S，即a,b∈S，于是有aRb,即R162。 205。 R。反之，若R162。 205。 R，令S162。為H162。的一個分塊，且a∈S162。，則S162。=[a]R162。={x|xR162。a}但對每一個x，若xR162。a，因R162。 205。 R，故xRa，因此{x|