【正文】 (a,b)206。證法一：否則，如果有a∈A及b∈A且a≠b，使得（a，b）∈R，那么由R是對我的就將有（b，a）∈R，再由R是反對稱的，就得到a=b，矛盾。?1)217。A180。((c,a)206。B222。A)222。((a,b)206。(A180。R217。R217。(b,a)206。①R1是自反的對任何a， a206。X，證明R∩（AA）是A上的半序關(guān)系。 2）可能。(c,a)206。2）R是循環(huán)的對任何（a，b）∈R，（b，c）∈R，由于R是傳遞的，所以（a，c）∈R。5）不是。(a,b)206。2）不是。R2是A上的等價(jià)關(guān)系。R1217。R2是對稱的；（c）R1∩R2是傳遞的：對任何a，b，c206。R2所以，R1199。(c,a)206。R (R是對稱的)222。另外關(guān)系{（a，a），（b，b），（a，b），（b，a）}是自反的和傳遞的，但在集合{a，b，c}上不是自反的。1）[證明] （a）R是自反的 對于任何（a，b）∈AA，由于a+b = b+a，所以（a，b）R（a，b）。但是R1R2={（a，b），（b，a）}就不是A上的反對稱關(guān)系。2） 如果R1和R2都是反自反的，那未R1R2是反自反的。則R1R1=198。2）充分性若（i）(j)（xij≤yij），則對任何（ai，bj）∈R，就有R的關(guān)系矩陣MR=（xij）mn中第i行第j列元素xij=1，由于xij≤yij，所以yij≥1，故此yij≥1這說明S的關(guān)系矩陣MS=（yij）mn中第i行第j列元素yij為1，因此必有（ai，bj）∈S，所以R?S。(y,x)∈R所以，R是對稱的；4)222。(x,x)∈R (IA是幺關(guān)系，因此是自反關(guān)系)222。R222。充分性RоR。充分性若IA∩R=198。[解] A上有2n2個(gè)元關(guān)系。（A197。B）C205。y∈C (217。y207。=（AC）∩（B′C））=（AC）∩（B′C）（差集的定義）證法三：（邏輯法）對任何x,y(x,y)∈(AC) \ (BC)222。D）=（AＣ）197。又設(shè)A={a}，B=，C={a}，D={c} 則（a，c）∈（AＣ）197。 AC；又若（x，y）∈（A\B）（C\D）故此x∈A\B，從而x207。（BC）[解] 1）不成立。(y∈C217。∨A=B222。∨B=198。Ｃ＝Ａ197。B=A的充分必要條件為B=198。B，以及B205。時(shí)，顯然A\B=B。B=C2） A∩B=A∩C222。(A′∪B)′=X′ （兩邊同時(shí)取補(bǔ)運(yùn)算′）222。A′∪B=(A∪A′)∪B （∪的交換律）222。（A\C）\B。B\C及x207。所以x∈（A\B）\C，由此可見A\（B∪C）205。{198。C。C，則A205。因?yàn)閧a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；7）真?！?98。p206。($m206。p217。因?yàn)榭占侨我饧系淖蛹?）假。 2）假。C219。6．求下列集合的冪集：1）{a，b，c}2）{a，{b，c}}3）{198。B∪C，即x∈A\（B∪C），由此可見（A\B）\C205。所以（A\B）\C205。B，x207。A′∪B=X；方法一：A′∪B=A′∪(A∪B) （因?yàn)闂l件A205。A′∪B，因此，由互補(bǔ)律及再次應(yīng)用定理2的3162。B （定理2的3)）方法二：A∩B′=198。由此可知B=A∩B′205?？傻肂205。從而由對稱差的消去律可得B=198。CA197。AA成立的集合A不存在，除非A=198。且B≠198。（A∩B）（C∩D）。(x,y)∈(AC)∩(BD)由x，y的任意性，可得：(A∩B)(C∩D)= (AC)∩(BD) 。（A\B）（C\D）。（AC）197。D）不成立。BC從而x∈A，y∈C及x207。C)222。y∈C217。B）C，故此x∈A197。B，或者x∈B，y∈C，x207。11．設(shè)A={1，2，3，4}，定義A上的下列關(guān)系R1={（1，1），（1，2），（3，3），（3，4）}，R2={（1，2），（2，1）}R3={（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）}R4={（1，2），（2，4），（3，3），（4，1）}R5={（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}R6=AA，R7=198。3）R是對稱的當(dāng)且反當(dāng)R=4） R是反對稱的當(dāng)且僅當(dāng)R∩?IA5）R是傳遞的當(dāng)且僅當(dāng)RR?R[證] 1）必要性若R是自反的，則對任何x∈A，都有（x，x）∈R，但是IA={（x，x）|x∈A}，所以IA?R。從而由逆關(guān)系的定義，可知（y，x）∈R這說明R是對稱的。(x,x)∈IA (IA是幺關(guān)系，因此是自反關(guān)系)222。198。故對任何x∈A，(x,x)207。205。綜合上述兩種情況，就有tij=xij∧yij，i=1，2，……，m，j=1，2，……，n。故此= R1綜合兩個(gè)方面，可得= R1。令A(yù)={a，b}，R1={（a，b）}，R2={b，a}。所以（R*）*=R*。aRb∧bRa，又利用R是傳遞的，得：aRb∧bRa222。(a,a)206。(c,b)206。A222。(b,a)206。(a,b)206。R1217。這是因?yàn)锳中任何兩個(gè)元素都有全關(guān)系R1=AA，因此R1的等價(jià)塊包含了A的所有元素，A的所有元素都在同一個(gè)等價(jià)塊中。A)((a,c)206。R1) (R1是自反的)222。[證] 證法一：必要性若R是自反的和循環(huán)的，我們來證R是等價(jià)關(guān)系，為此證明（a）R是自反的。R (R是自反的)222。(a,c)206。因?yàn)椋ā?∩（∏2\∏1））∪∏1=198。A)，由于R199。R199。A) (R1的定義)222。A180。R1222。(b,c)206。(a,c)206。再次利用?3的定義，可得（（a1，b1），（a3，b3）））∈?3。?3217。?2217。((c,e)206。?2 (?1，?2都是反對稱的)222。R (R的對稱性)222。）為半序集，其中子集B1={{c}，{a，b}}B2={，{a，c}}等均沒有最大元素；（b）半序集（N，≤）的子集B1={x|x=2n∧n∈N} B2={P|P∈N∧P為素?cái)?shù)}等均沒有最。R217。?1217。(b,d)206。?1)217。A180。（c）?3是傳遞的對任何（（a1，b1），（a2，b2））∈?3及（（a2，b2），（a3，b3）））∈?3，由?3的定義，可知（a1，a2）∈?1且（a2，a3）∈?1及（b1，b2）∈?2且（b2，b3）∈?2。((a,c)206。((b,c)206。R1217。R)217。R199。X)222。證法二：令R1=R199。因?yàn)?∪{c}={b，c}≠A。(b,c)206。R217。30．設(shè)A={1，2，3，4，5，6}，確定A上的等價(jià)關(guān)系R，使此R能產(chǎn)生劃分{{1，2，3，}，{4}，{5，6}}123564[解] 這樣的R={（1，1），（2，2），（3，3），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（4，4），（5，5），（6，6），（5，6），（6，5）} R的關(guān)系圖31．設(shè)R是集合A上的關(guān)系R是循環(huán)∷＝（a∈A）（b∈A）（c∈A）（aRb∧bRc222。R1217。222。1） 有多少個(gè)元素在A上的最大的等價(jià)關(guān)系中？2） A上的最大的等價(jià)關(guān)系的秩是多少？3） 有多少個(gè)元素在A上的最小的等價(jià)關(guān)系中？4） A上的最小的等價(jià)關(guān)系的秩是多少？[答] 1）A上最大的等價(jià)關(guān)系是全關(guān)系R1=AA={（a，b）|a∈A∧b∈A}因此有n2個(gè)元素在A上的最大的等價(jià)關(guān)系R1中，因?yàn)樗衝2個(gè)二元組都在R1=AA中。的結(jié)合律、交換律)222。((a,b)206。(a,b)206。綜合（a），（b），（c），可知R1∩R2是等價(jià)關(guān)系。((b,a)206。(a,a)206。如果R在A上是對稱的，傳遞的，下面的推導(dǎo)說明R在A上是自反的：對任意的a，b∈A，由于R是對稱的，有： aRb222。2）一方面，由于（R*）*是R*的自反傳遞閉包，所以R*?（R*）*；另一方面，由于R*是R的自反傳遞閉包，故此R*是自反的傳遞的。所以R1R2是自反的。故此R1?。因而tij=xij∧yij=1；若tij=0，則（ai，bj）?R∩S，故此（ai，bj）?S，于是xij=0或者yij=0，從而xij∧yij=0。x=y (R是反對稱關(guān)系)222。198。故IA199。R ；220。再次利用R的對稱性有（y，x）∈R，于是?R；綜合兩方面，有R=。7）R7是反自反的對稱的，傳遞的，循環(huán)的，反傳遞的，反對稱的。[解]：R0=198。AC且（x，y）BC。5）成立。y∈C)218。B218。（AC）\（BC）。（A197。B）（C197。2）不成立。(x,y)∈AC217。所以（x，y）∈（A∩B）（C∩D）。若AB≠198。AA成立的集合A存在嗎？請闡明理由。B）197。B=A197。B。11．設(shè)A，B為集合，給出下列等式成立的充分必要條件：1） A\B=B2） A\B=B\A3） A∩B=A∪B4） A197。 (條件A∩B′=198。A′∪B 及根據(jù)換質(zhì)位律可得B′205。[解](采用循環(huán)證法)(1)先證A205。（A\B）\C。B，x207。C，同時(shí)，x∈A\B，x∈A，x207。B∧B∈C，但A207。[解] 1）真。[解] 1）假。{a，b，c，{a，b，c}}6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})7）{a，b}205。1217。n206。p2217。205。因?yàn)閧a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。 3）如果A205。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，從而A205。}}，{198。因此A\（B\C）。B。（A\B）\C。A′∪B=Ｘ （零壹律）方法三：因?yàn)锳′205。A∩B′=X′ （反身律）222。例如：A={a}，B={a，b}，C=。2）設(shè)A\B≠∈198。A故此A∪B=A∩B，有A=B。B）197。Ｃ）1） 成員表如下：A B CA∪B（B∪C）(B∪C)′(A∪B)∩(B∪C)′B′A∩B′０ ０ ０００1０10０ ０ １０１0010０ １ ０１１0000０ １ １１10０00１ ０ ０１01１11１ ０ １１10０11１ １０110０00１ １ １1１0000成員表中運(yùn)算結(jié)果（A∪B）∩（B∪C）′及A∩B′的兩列狀態(tài)表明，全集中的每一個(gè)體，凡是從屬（A∪B）∩（B∪C）′的，都從屬A∩B′，故（A∪B）∩（B∪C）′205。A=198。4．證明（A∩B）（C∩D）=（AC）∩（BD）[證]證法一：（元素法）對任一（x，y）∈（A∩B）（C∩D） 有x∈A∩B，y∈C∩D，于是x∈A，x∈B，y∈C，y∈D。(x∈A217。（AC）∪（BD）。D，故此（x，y）207。（A197。4）成立。(x,y)207。對218。的零壹律、217。（BC）。綜合兩方面、就有（A197。10．定義在整數(shù)集合I上的相等關(guān)系、“≤”關(guān)系、“＜”關(guān)系，全域關(guān)系，空關(guān)系，是否具有表中所指的性質(zhì)，請用Y（有）或N（元）將結(jié)果填在表中。否則，不是反自反的，那么應(yīng)存在某一x0∈A，使得（x0，x0）∈R。所以R是傳遞的。(x,y)∈R222。R222。222。從而bj）?S，于是xij=0且yij=0。令R2=AA，則=R2R2?AA=R2，故需證明R2?R2οR2=。4） 如果R1和R2都是反對稱的，那末R1R2是反對稱的。令A(yù)={a，b，c}，R1={（a，c），（b，a），（b，c）}，R2={（c，b），（a，c），（a，b）}，易證R1和R2都是傳遞關(guān)系，但R1R2={（a，b），（b，b），（b，c）}就不是A上的傳遞關(guān)系。（c）R是傳遞的對于任何（a，b），（c，d），（e，f）∈AA，若（a，b）R（c，d），且（c，d）R（e，f），于是有a+d = b+c及c+f = d+e，二式相加有a+f+c+d = b+e+c+d，兩邊同時(shí)減c+d，可得a+f = b+e，從而可得（a，b）R（e，f）。[證明] 證法一： （a）是自反的對任意的a∈A，由于R是自反的，所以（a，a）∈R，再由逆關(guān)系的定義有（a，a）∈（b）是對稱的對任何（a，b）∈由逆關(guān)系的定義，有（b，a）∈R,由R的對稱性，可得（a，b）∈R，再由逆關(guān)系的定義，就有（b，a）∈。所以，是對稱的；（c）是傳遞的：對任何a，b，c206。(a,c)206。A，(a,b)206。R1199。R1)217。我們就從破壞傳遞性出發(fā)來構(gòu)造反例：令R1={（a，a），（b，b），（c，c），（a，b），（b，a）} R2={（a，a），（b，b），（c，c），（b，c），（c，b）}當(dāng)A={a，b，c}時(shí)，R1，R2顯然都是等價(jià)關(guān)系。3）是。p)所以，205。29．設(shè)A={1，2，3，4}，請指出A上所有等價(jià)關(guān)系是多少？并闡明理由。證法二：222。(a