【正文】 N)時(shí)，有mRn；（3）當(dāng)且僅當(dāng)i≤k(i, k206。{2}，{3}，{2,3}}，P(A)∪P(B)={ 198。,{a},{{a}},{a,{a}}}（4）P({{1,2}})={198。 (x) (S(x)→D(x))，(x) (D(x)∧H(x)→C(x))，($x)(S(x)∧H(x)) 222。┐($x)(W(x)∧D(x))，(x)(Q(x)→D(x))222。因此，有的自然數(shù)是奇數(shù)。 (x) (A(x)→B(x))（3）(1) (x)(C(x)→┐B(x)) P(2) C(a)→┐B(a) US(1)(3) (x)(A(x)→B(x)) P(4) A(a)→B(a) US(3)(5) ┐B(a)→┐A(a) T(4) E(6) C(a)→┐A(a) T(2)(5) I(7) (x)(C(x)→┐A(x)) UG(6)（4）(x)(A(x)∨B(x))，(x)(B(x)→┐C(x))，(x)C(x)222。($x)(y)(P(x)→Q(y))（3）((x) P(x)∨($y)Q(y))→(x)R(x)219。(x)(┐P(x)∨(y)(Q(x，y)→┐R(y，x)))219。 ┐($x)P(x)∨(y)Q(y)219。Q(x)：x獲得獎學(xué)金。y=x。y=0)（2）($x) (y)( x P(1，f(1))∧P(2，f(2)) 219。 (P(1)∨Q(1)) ∧(P(2)∨Q(2)) 219。（1）每個(gè)數(shù)都有惟一的一個(gè)數(shù)是它的后繼數(shù)。E(x,y)：x等于y。($x)(A(x)∧S(x)∧G(x))（7）A(x)：x是運(yùn)動員。K(x)：x是科學(xué)家。E(x)：x吃蘿卜。R(x)：x是實(shí)數(shù)。（11）有會說話的機(jī)器人。（2）如果馬會飛或羊吃草，則母雞就會是飛鳥，如果母雞是飛鳥，那么烤熟的鴨子還會跑。（5）夜間12點(diǎn)被盜房間的燈光滅了。解：設(shè) A：A去。27. 三人估計(jì)比賽結(jié)果，甲說“A第一，B第二”。（1）┐A∨B，C→┐B? A→┐C（2）A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E) ? A→(B→F)（3）A∨B→C∧D，D∨E→F，? A→F（4）A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F) →┐D，B→(A∧┐E)?B→E（5）(A→B)∧(C→D)，(B→E)∧(D→F)，┐(E∧F)，A→C ? ┐A證明：（1）┐A∨B，C→┐B? A→┐C證明：(1) ┐A∨B P(2) A→B T(1) E(3) C→┐B P(4) B→┐C T(3) E(5) A→┐C T(2) (4) I（2）A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E) ? A→(B→F)證明：(1) A→(B→C) P(2) ┐A∨┐B∨C T(1) E(3) (A∧B)→C T(2) E(4) (C∧D)→E P(5) C→┐(D∧┐E) T(4) E(6) (D∧┐E) →┐C T(5) E(7) ┐F→(D∧┐E) P(8) ┐F→┐C T(6) (7) I(9) C→F T(8) E(10) (A∧B)→F T(3) (9) I(11) ┐A∨┐B∨F T(10) E(12) A→(B→F) T(11) E（3）A∨B→C∧D，D∨E→F? A→F證明：(1) A∨B→C∧D P(2) A∨B→D T(1) I(3) D∨E→F P(4) D→F T(3) I(5) A∨B→F T(2)(4) I(6) A→F T(5) I（4）A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F) →┐D，B→(A∧┐E)?B→E證明：(1) ┐B∨D P(2) B→D T(1)E(3) (E→┐F) →┐D P(4) D→┐(E→┐F) T(3) E(5) D→(E∧F) T(4) E(6) B→(E∧F) T(2)(5) I(7) B→E T(6) I（5）(A→B)∧(C→D)，(B→E)∧(D→F)，┐(E∧F)，A→C ? ┐A證明：(1) (A→B)∧(C→D) P(2) A→B T(1) I(3) C→D T(1) I(4) (B→E)∧(D→F) P(5) B→E T(4) I (6) D→F T(4) I(7) A→E T(2) (5) I(8) C→F T(3) (6) I(9) A→C P(10) A→F T(8) (9) I(11) A→(E∧F) T(7) (10) I(12) ┐(E∧F)→┐A T(11) E(13) ┐(E∧F) P(14) ┐A T(12) (13) I24. 用CP規(guī)則推證上題中的（1）、（2）、（3）和（4）式。(P∧┐Q)∨(P∧Q)219。 m0∨m6219。 M001∧M010∧M011∧M100∧M101∧M110219。┐P↑┐Q18. 求公式P∧(P→Q)的析取范式和合取范式。（1）┐P（2）P∧Q（3）P∨Q（4）P→Q解：（1）┐P?┐(P∧P)? P↑P（2）P∧Q?(P↑Q)↑(P↑Q)（3）P∨Q?┐(┐P∧┐Q) ?(┐P↑┐Q) ?(P↑P)↑(Q↑Q)（4）P→Q?┐P∨Q? (P↑P)∨Q ?((P↑P)↑(P↑P))↑(Q↑Q)14. 將下列公式化成與之等值且僅含{┐，→}中聯(lián)結(jié)詞的公式。 (┐P∨R) ∧(┐Q∨R) 219。 (P∨Q) →R（7）((P∧Q)→R) ∧(Q→(S∨R))219。（3）逆命題：如果方程ax2+bx+c=0無實(shí)數(shù)解，則Δ=b2?4ac0。5. 否定下列命題： （1） 桂林處處山清水秀。（6）P：a是偶數(shù)，Q：b是偶數(shù)，R：a+b是偶數(shù)。（8）我反悔，僅當(dāng)太陽從西邊出來。（1）如果天不下雪并且我有時(shí)間，那么我將去書店。離散數(shù)學(xué)習(xí)題答案習(xí)題一1. 判斷下列句子是否為命題？若是命題說明是真命題還是假命題。（2）我將去書店，僅當(dāng)我有時(shí)間。（9）如果f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x0處可微。原命題可符號化：（P∧Q）→R。（2） 每一個(gè)自然數(shù)都是偶數(shù)。否命題：如果Δ=b2?4ac≥0，則方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)解。 (Q∧(S→P)) →R證明：（1）P→(Q→P) 219。 (┐P∧┐Q)∨R219。（1）(P→┐Q)∧R（2）P →← (Q∧R)∨P解：（1）(P→┐Q)∧R?(┐P∨┐Q)∧R?(┐P∧R)∨(┐Q∧R)?┐(P∨┐R)∨┐(Q∨┐R)?┐(R→P)∨┐(R→Q)?(R→P)→┐(R→Q)（2）P →← (Q∧R)∨P?(P→((Q∧R)∨P))∧(((Q∧R)∨P)→P)?(┐P∨((Q∧R)∨P))∧(┐((Q∧R)∨P)∨P)? T∧(((┐Q∨┐R)∧┐P)∨P)?((┐Q∨┐R)∨P)? P∨(┐Q∨┐R)?P∨(Q→┐R)? ┐P→(Q→┐R)15. 如果A(P，Q，R)由R↑(Q∧┐(R↓P))給出，求它的對偶A*(P，Q，R)，并求出與A及A*等價(jià)且僅包含聯(lián)接詞“∧”，“∨”及“┐”的公式。解：P∧(P→Q) 219。(P∨Q∨┐R)∧(P∨┐Q∨R)∧(P∨┐Q∨┐R)∧(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨Q∨┐R)∧(┐P∨┐Q∨R)20. 求下列公式的主析取范式和主合取范式，并指出該公式的類型。 m000∨m110 主析取范式公式為可滿足式。P∧(┐Q∨Q)219。證明：（1）┐A∨B，C→┐B? A→┐C證明：(1) A P（附加前提）(2) ┐A∨B P(3) B T(1) (2) I(4) C→┐B P(5) ┐C T(3) (4) I(6) A→┐C T(1) (5) CP（2）A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E) ? A→(B→F)證明：(1) A P（附加前提）(2) A→(B→C) P(3) B→C T(1) (2) I(4) (C∧D)→E P(5) C→┐(D∧┐E) T(4) E(6) B→┐(D∧┐E) T(3)(5) I(7) ┐F→(D∧┐E) P(8) ┐(D∧┐E) →F T(7) E(9) B→F T(6)(8) I(10) A→(B→F) CP(1)(9)（3）A∨B→C∧D，D∨E→F? A→F證明：(1) A P（附加前提）(2) A∨B T(1) I(3) A∨B→C∧D P(4) C∧D T(2) (3) I(5) D T(4) I(6) D∨E T(5) I(7) D∨E→F P(8) F T(6)(7) I(9) A→F CP(5)(8)（4）A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F) →┐D，B→(A∧┐E)?B→E證明：(1) B P（附加前提）(2) ┐B∨D P(3) D T(1) (2)I(4) (E→┐F) →┐D P(5) D→┐(E→┐F) T(4) E(6) ┐(E→┐F) T(3) (5) I(7) E∧F T(6) E(8) E T(7) I(9) B→E CP(1)(8) 25. 證明下列各式。乙說“C第二，D第四”。B：B去。判斷誰是盜賊，用構(gòu)造證明法寫出結(jié)論的判斷過程?？臼斓镍喿硬粫?。（12）有的人不吃蘿卜，但人都要喝水。(x)(Q(x)→R(x))（7）Q(x)：x是有理數(shù)。D(x)：x喝水。┐(x)(S(x)→K(x))（2）P(x,y)：x平行于y。T(x)：x是教練員。(x)(y)((R(x)∧R(y)∧┐E(x,y))→($z)(R(z)∧┐E(x,z)∧┐E(y,z)))3. 試表示出“A是B的外祖父”，只允許用以下謂詞：P(x)表示“x是人”，F(xiàn)(x，y)表示“x是y的父親”，M(x，y)表示“x是y的母親”。（2）沒有一個(gè)數(shù)使數(shù)1是它的后繼數(shù)。(T∨F) ∧(F∨T) 219。 P(1，2)∧P(2，1) 219。y=0)（3）(x) ($y)( x（7）對于任意的x，任意的y，存在z，使得xy=z。論域?yàn)樗袑W(xué)生。($x)P(x)→(y)Q(y)16. 下列推導(dǎo)過程中有何錯(cuò)誤？（1） (x)(P(x)→Q(x)) P（2） P(a)→Q(a) US(1)（3） ($x)P(x) P（4） P(a) ES(3)（5） Q(a) T(2),(4) I（6） ($x)Q(x) EG(5)解：應(yīng)先消去存在量詞。(x)(y)(┐P(x)∨┐Q(x，y)∨┐R(y，x))) 前束合取范式219。┐((x)P(x)∨($y)Q(y))∨(x)R(x) 219。 (x)A(x)(1) (x)C(x) P(2) C(a) US(1)(3) (x)(B(x)→┐C(x)) P(4) B(a)→┐C(a) US(3)(5) ┐B(a) T(2)(4) I(6) (x)(A(x)∨B(x)) P(7) A(a)∨B(a) US(6)(8) A(a) T(5)(7) I(9) (x)A(x) UG(8)21. 用CP規(guī)則證明。（4）三角函數(shù)都是周期函數(shù)。(x)(Q(x)→┐W(x))證明：(1) ┐($x)(W(x)∧D(x)) P(2) (x)┐(W(x)∧D(x)) T(1) E(3) (x) (W(x)→┐D(x)) T(2 E(4) W(a)→┐D(a) US(3)(5) D(a)→┐W(a) T(4) E(6) (x)(Q(x)→D(x)) P(7) Q(a)→D(a) US(6)(8) Q(a)→┐W(a) T(5)(7) I(9) (x)(Q(x)→┐W(x)) UG(8)（3）O(x)：x是奇數(shù)。 ($x)C(x)∨($x)┐C (x)證明：(1) ($x)(S(x)∧H(x)) P(2) S(a)∧H(a) ES(1)(3) S(a) T(2) I(4) H(a) T(2) I(5) (x) (S(x)→D(x)) P(6) S(a)→D(a) US(5)(7) D(a) T(3)(6) I(8) (x) (D(x)∧H(x)→C(x)) P(9) D(a)∧H(a)→C(a) US(8)(10) C(a) T(4)(7) (9) I (11) ($x)C(x) EG(10)(12) ($x)C(x)∨($x)┐C (x) T(11) I習(xí)題三1. 分別用描述法和列舉法表示下列集合：(1) 非負(fù)偶數(shù)集；(2) 整數(shù)24的全部正因子的集合；(3) 不超過9且與9互質(zhì)的正整數(shù)集合（該集合的元素個(gè)數(shù)稱歐拉函數(shù)j (9)）。,{{1,2}}}4. 設(shè)S = {0, 1}，求集合SP(S)。{1}