【正文】 ∨(┐P∨R))? (P∧Q∧┐R)∨((P∨┐P∨R)∧(┐Q∨┐P∨R))?(P∧Q∧┐R)∨(┐P∨┐Q∨R)?((P∨(┐P∨┐Q∨R))∧(Q∨(┐P∨┐Q∨R))∧(┐R∨(┐P∨┐Q∨R) )? T因為(P→(Q→R)) →(( P→Q) →(P→R))為永真式，所以(P→(Q→R)) ? ( P→Q) →(P→R)。證明：若{∨}是最小聯結詞組，則 ┐P?( P∨...)對所有命題變元指派T，則等價式左邊為F，右邊為T，等價式矛盾。┐(Q∧(┐S∨P)) ∨R 219。┐(P∨Q)∨R219。┐(P∧┐Q) ∨R 219。 ┐((P→Q)∧(Q→P)) 219。┐(P∧Q) ∧┐(┐P∧┐Q)) 219。┐P∨(┐Q∨P) 219。 (P∧┐Q) ∨ (┐P∧Q)（5）P→(Q∨R) 219。（1）P→(Q→P) 219。7. 求下列各式的真值表。逆否命題：如果方程ax2+bx+c=0有實數解，則Δ=b2?4ac≥0。否命題：如果我去，你將不去。解：（1）逆命題：如果我不去，那么天下雨。（1） 如果天下雨，我將不去。解：（1）桂林并非處處山清水秀。4. 判斷下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。（11）P：四邊形ABCD是平行四邊形，Q：四邊形ABCD的對邊平行。（9）P：f(x)在點x0處可導， Q：f(x)在點x0處可微。（7）P：我們游泳，Q：我們跑步。（5）P：休息好，Q：工作好。（3）P：老張是球迷，Q：老李是球迷。解：（1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。反之亦然。（6）如果a和b是偶數，那么a+b也是偶數。（2）我一邊看書，一邊聽音樂。（3）┐P。（3）天不下雪。（7）是命題，只是現在無法確定真值。（10）如果我掌握了英語、法語，那么學習其他歐洲語言就容易多了。（6）不存在最大素數。（1）3是正數嗎？（2）x＋1=0。（3）請穿上外衣。（7）明天我去看電影。解：（1）、（2）、（3）不是命題。2. 設P表示命題“天下雪”，Q表示命題“我將去書店”，R表示命題“我有時間”，以符號形式寫出下列命題。（4）天下雪，我將不去書店。（4）P→┐Q。（3）老張和老李都是球迷。（7）我們不能既游泳又跑步。（10）如果張老師和李老師都不講這門課，那么王老師就講這門課。原命題可符號化：P∧Q。原命題可符號化：P∧Q。原命題可符號化：Q→P。原命題可符號化：┐（P∧Q）。原命題可符號化：P→← Q。原命題可符號化：P→← Q。（1）(Q→R∧S) （2）(P→← (R→S))（3）((┐P→Q) →(Q→P)))（4）(RS→F)（5）((P→(Q→R))→((P→Q) →(P→R)))解：（1）、（2）、（5）是合式公式，（3）、（4）不是合式公式。（2）并不是每一個自然數都是偶數。（2） 僅當你去我才不去。否命題：如果天不下雨，我就去。逆否命題：如果你不去，我就去。（4）逆命題：如果我不能完成學業(yè)，那么我沒有獲得獎學金。（1）P→(R∨S) （2）(P∧R) ∨(P→Q)（3）(P∨Q) →← (Q∨P)（4）(P∨┐Q) ∧R（5）(P→(Q→R))→((P→Q) →(P→R))解：（1）P→(R∨S)PRSR∨SP→(R∨S)1111111011101111000001111010110011100001（2）(P∧R) ∨(P→Q)PQRP∧RP→Q(P∧R) ∨(P→Q)111111110011101101100000011011010011001011000011（3）(P∨Q) →← (Q∨P)PQP∨∨P(P∨Q) →← (Q∨P)11111101110111100001（4）(P∨┐Q) ∧RPQR┐QP∨┐Q(P∨┐Q) ∧R111011110010101111100110011000010000001111000110（5）(P→(Q→R))→((P→Q) →(P→R))PQRQ→RP→(Q→R)P→QP→R(P→Q) →(P→R)原公式1111111111100010011011101111001100110111111110100111110011111110001111118. 用真值表判斷下列公式的類型：(1) P∨┐Q→Q(2) ((P→Q)∨(R→S))→((P∨R)→(Q∨S)) 解：(1) P∨┐Q→QPQ┐QP∨┐QP∨┐Q→Q11011101100100100110（1）為可滿足式。┐P→(P→┐Q)（2）┐(P→← Q)219。 (P∧┐Q) →R（6）(P→R) ∧(Q→R)219。P∨(┐P∨┐Q)219。 (P∨Q) ∧┐(P∧Q)（3）┐(P→Q)219。┐ (┐P∨Q) ∨┐ (┐Q∨P) 219。 (P∧┐Q) →R（6）(P→R) ∧(Q→R)219。 (P∨Q) →R（7）((P∧Q)→R) ∧(Q→(S∨R))219。┐(Q∧(S→P)) ∨R 219。若{→}是最小聯結詞組，則 ┐P? P→ ( P→( P→...)...)對所有命題變元指派T，則等價式左邊為F，右邊為T，等價式矛盾。13. 對下列各公式，試僅用↑或↓表示。解：P↑Q219。┐P↓┐Q（2）┐(P↓Q)219。┐(┐P∨┐Q)219。┐(┐P∧┐Q)219。 (P∧┐P)∨(P∧Q) 析取范式19. 求下列公式的主析取范式和主合取范式。(┐P∨┐Q∨P)∧(┐Q∨┐Q∨P) 219。(┐P∨(P∨Q))∨R219。m7∨m0主合取范式為：M1∧M2∧M3∧M4∧M5∧M6219。（2）PQP∨┐∧(P∨┐Q)1111101001000010主析取范式為：P∧Q主合取范式為：(┐P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(P∨Q)公式為可滿足式。 M000219。(┐P∨(Q∧R))∧(P∨(┐Q∧┐R))219。M4∧M5∧M7∧M2∧M3∧M1 主合取范式219。┐P∨(P∧(┐Q∨P))219。(┐Q∨P)∧(┐P∧Q)219。（1）(P→Q)∧(P→R) ，P→(Q∧R)（2）(P→Q)→(P∧Q)，(┐P→Q)∧(Q→P)（3）P∧Q∧(┐P∨┐Q)，┐P∧┐Q∧(P∨Q)（4）P∨(P→(P∧Q))，┐P∨┐Q∨(P∧Q)證明：（1）(P→Q)∧(P→R) 219。┐(┐P∨Q)∨(P∧Q)219。(P∨Q)∧(┐Q∨P)219。 F┐P∧┐Q∧(P∨Q) 219。 T∨(P∧Q) 219。（1）┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐R ?┐P（2）A→(B∨C)，(D∨E)→A，D∨E ? B∨C（3）B∧C，(B →← C)→(D∨E)?D∨E（4）P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S)?┐S證明：（1）┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐R ?┐P證明：(1) ┐R P(2) ┐Q∨R P(3) ┐Q T(1)(2) I(4) ┐(P∧┐Q) P(5) ┐P∨Q T(4) E(6) ┐P T(3)(5) I（2）A→(B∨C)，(D∨E)→A，D∨E ? B∨C證明：(1) D∨E P(2) (D∨E)→A P(3) A T(1)(2) I(4) A→(B∨C) P(5) B∨C T(3)(4) I（3）B∧C，(B →← C)→(D∨E)?D∨E證明：(1) B∧C P(2) B →← C T(1) I(3) (B →← C)→(D∨E) P (4) D∨E T(2)(3) I（4）P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S)?┐S證明：(1) (┐Q∨R)∧┐R P(2) ┐Q∨R T(1) I(3) ┐R T(1) I(4) ┐Q T(2)(3) I(5) ┐(┐P∧S) P(6) S→ P T(5) E(7) P→Q P(8) S→Q T(6) (7) I(9) ┐Q→┐S T(8) E(10) ┐S T(4) (8) I23. 僅用規(guī)則P和T，推證以下公式。四人的回答只有一人符合實際。D：丁的成績最好。(A∧D∧┐B∧C)∨(A∧D∧┐B∧┐C)∨(A∧┐D∧┐B∧C)∨(A∧┐D∧┐B∧┐C)(A∧D∧┐B∧C)表示甲、丙和丁三人并列成績最好。若只有一人成績最好，是甲。結果三人估計得都不全對，但都對了一個，問A、B、C、D的名次。D：D第四。(( A∧┐B)∨(┐A∧B))∧(( C∧┐D)∨(┐C∧D))∧(( E∧┐D)∨(┐E∧D))219。28. A，B，C，D四個人中要派兩個人出差，按下述三個條件有幾種派法？如何派？（1）若A去則C和D要去一人；（2）B和C不能都去；（3）C去則D要留下。D：D去。(┐A∨(┐C∧D)∨(C∧┐D)) ∧(┐B∨┐C)∧(┐C∨┐D)219。故總共有三種派法：B和D去，A和D去或A和C去。（4）若乙的證詞不正確，則作案時間發(fā)生在夜間12點以前。B：乙是竊賊。則（1）可以表示為：A∨B。（5）可以表示為：E。獨秀峰游人太多，所以我們去象鼻山玩。證明：（1）P：今天是星期六，Q：我們要到獨秀峰去玩，R：我們要到象鼻山去玩，S：獨秀峰游人太多。（2）小王聰明而又好學。（6）每一個有理數都是實數。（10）不管黑貓白貓，抓住老鼠就是好貓。w：小王。C(w)∧S(w)（3）F(x，y)：x和y是好朋友。B(x)：x是球類運動員。（6）Q(x)：x是有理數。($x)(R(x)∧Q(x))（8）Q(x)：x是有理數。E(x)：x是偶數。Z(x)：x抓住老鼠。($x)(M (x)∧T(x))（12）M(x)：x是人。（1）并非所有大學生都能成為科學家。（5）王教練既不年老，也不健壯。（9）并不是所有的汽車都比火車快。解：（1）S(x)：x是大學生。a：直線A。($x)(A(x)∧S(x))（4）T(x)：x是教練員。J(x)：x是健壯的。G(x)：x是國家對選手。(x)(A(x)→($y)(T(y)∧P(x,y)))（8）S(x)：x是大學生。T(x)：x是火車。T(x,y)：x比y高。($x)(C(x)∧(y)(T(y)→┐K(x,y)))∧($y)(T(y)∧(x)(C(x)→K(y,x)))（12）R(x)：x是實數。（1）如果有限個數的乘積為零，那么至少有一個因子等于零。Z(y)：y為零。Q(x,y)：y大于x。z))5. 自然數一共有3條公理。用兩個謂詞表達上述3條公理。（1）(x)P(x)→P(y)（2）(x)(P(x)∧Q(x))∧($x)S(x)（3）($x)(y)(P(x)∧Q(y))→(x)R(x)（4）($x)($y)(P(x，y)∧Q(z))解：（1）x為約束變元，受(x) 約束，y為自由變元。7. 如果論域是集合{a，b，c}，試消去下面公式中的量詞。解：（1）(x)(P(x)∨Q(x)) 219。T（2）(x) (P→Q(x))∨R(a)219。F9. 對下列謂詞公式中的約束變元進行換名。T，P(1，2)219。（1）P(a，f(a))∧P(b，f(b))（2）(x)($y)P(y，x)（3）(x)( y)(P(x，y)→P(f (x)，f (y)))解：（1）P(a，f(a))∧P(b，f(b)) 219。F（2）(x)($y)P(y，x) 219。T∧T219。 ((T→F)∧(T→F))∧((F→F)∧(F→T))219。（1）(x) ($y)(xy=1)（5）(x) ($y)( x（2）存在x，對于任意的y，都有x（4）存在x，對于任意的y，都有x（6）存在x，對于任意的y，都有x(x)P(x)→(x)Q(x)（2）(x)P(x)→(x)Q(x) 222。┐($x)(P(x)∧┐Q(x)) 222。 ($x)┐P(x)∨(x)Q(x))219。P(x)：x成績優(yōu)秀。(x)(P(x)→Q(x))表示：任何一個學生，只要成績優(yōu)秀，他就獲得獎學金。14. 求證：($x)(P(x)→Q(x))219。 ┐(x) P(x)∨($x)Q(x)) 219。 (x