【正文】 ∨B(x)) P(4) C(a)∨B(a) US(3)(5) C(a) T(2)(4) I(6) (x) (F(x)→┐C(x)) P(7) F(a)→┐C(a) US(6)(8) C(a) →┐F(a) T(7) E(9) ┐F(a) T(5)(8) I(10) ($x)┐F(x) EG(9)（2）Q(x)：x是有理數(shù)。(x)(O(x)←∣ → E(x))，(x)(E(x)→← D(x))，┐(x)D(x)222。H(x)：x是身體健康的。A={1}，B={1,{1}}，則A?B且A206。})={198。,1, {0},1, {1},1, {0,1}}5. 證明：對任意集合A，B都有P(A)∩P(B)＝P(A∩B)，P(A)∪P(B)?P(A∪B)并舉例說明，一般P(A)∪P(B)≠P(A∪B)。C?A∪B所以P(A)∪P(B)?P(A∪B)成立。B)=(C∩A)197。B矛盾。Z，使k=lj，Z/Rk={[a]Rk| a206。解：（1）{a,a,b,b,c,c}（2）{a,a,b,b}（3）{a,a,b,b,c,c,a,b,b,a}（4）{a,a,b,b,c,c,a,b,b,a}（5）{a,b,b,ca,c}9. 設(shè)Rj表示Z上模j等價關(guān)系，Rk表示Z上模k等價關(guān)系, 證明：Z/Rk細(xì)分Z/Rj當(dāng)且僅當(dāng)k是j的整數(shù)倍。B，則x∈AB，x∈BC，即x∈B。所以，P(A)∪P(B)≠P(A∪B)。C∈P(A)∨C∈P(B)219。,{0},{1},{0,1}}SP(S)={ 0, 198。)={198。B？若存在，請舉一例。($x)(D(x)∧H(x))證明：(1) ($x)(S(x)∧H(x)) P(2) S(a)∧H(a) ES(1)(3) S(a) T(2) I(4) H(a) T(2) I(5) (x) (S(x)→D(x)) P(6) S(a)→D(a) US(5)(7) D(a) T(3)(6) I(8) D(a)∧H(a) T(4)(7) I(9) ($x)(D(x)∧H(x)) EG(8)（5）S(x)：x是科學(xué)家。D(x)：x能被2整除。論域是{人}。所以，一些周期函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。有理數(shù)都能表示成分?jǐn)?shù)。 (x)P(x)→(x)Q(x)（2）(x) (P(x)∨Q(x))222。(x)(C(x)→┐A(x))（4）(x)(A(x)∨B(x))，(x)(B(x)→┐C(x))，(x)C(x)222。 (($x)┐P(x)∧(y)┐Q(y))∨(x)R(x) 219。($x)($u)($z)((P(x)∨P(u))∧(P(x)∨Q(y，z))∧(┐Q(x，y)∨P(u))∧(┐Q(x，y)∨Q(y，z))) 前束合取范式19. 求下列各式的斯柯倫范式。┐(x)P(x)∨($x)((z)Q(x，z)∨(z)R(x，y，z))219。(x)(y)((z) ┐P(x，y，z)∨(u) ┐Q(x，u))∨($v) Q(y，v))219。（1）(x)(P(x)→($y)Q(x，y))（2）($x)(┐(($y)P(x，y))→(($z)Q(z)→R(x)))（3）(x)(y)((($z)P(x，y，z)∧($u)Q(x，u))→($v)Q(y，v))解：（1）(x)(P(x)→($y)Q(x，y)) 219。 ┐(x) P(x)∨($x)Q(x)) 219。(x)(P(x)→Q(x))表示：任何一個學(xué)生，只要成績優(yōu)秀，他就獲得獎學(xué)金。 ($x)┐P(x)∨(x)Q(x))219。(x)P(x)→(x)Q(x)（2）(x)P(x)→(x)Q(x) 222。（4）存在x，對于任意的y，都有xy=1)（5）(x) ($y)( x ((T→F)∧(T→F))∧((F→F)∧(F→T))219。F（2）(x)($y)P(y，x) 219。T，P(1，2)219。T（2）(x) (P→Q(x))∨R(a)219。7. 如果論域是集合{a，b，c}，試消去下面公式中的量詞。用兩個謂詞表達(dá)上述3條公理。Q(x,y)：y大于x。（1）如果有限個數(shù)的乘積為零，那么至少有一個因子等于零。T(x,y)：x比y高。(x)(A(x)→($y)(T(y)∧P(x,y)))（8）S(x)：x是大學(xué)生。J(x)：x是健壯的。a：直線A。（9）并不是所有的汽車都比火車快。（1）并非所有大學(xué)生都能成為科學(xué)家。Z(x)：x抓住老鼠。($x)(R(x)∧Q(x))（8）Q(x)：x是有理數(shù)。B(x)：x是球類運動員。w：小王。（6）每一個有理數(shù)都是實數(shù)。證明：（1）P：今天是星期六，Q：我們要到獨秀峰去玩，R：我們要到象鼻山去玩，S：獨秀峰游人太多。（5）可以表示為：E。B：乙是竊賊。故總共有三種派法：B和D去，A和D去或A和C去。D：D去。(( A∧┐B)∨(┐A∧B))∧(( C∧┐D)∨(┐C∧D))∧(( E∧┐D)∨(┐E∧D))219。結(jié)果三人估計得都不全對，但都對了一個，問A、B、C、D的名次。(A∧D∧┐B∧C)∨(A∧D∧┐B∧┐C)∨(A∧┐D∧┐B∧C)∨(A∧┐D∧┐B∧┐C)(A∧D∧┐B∧C)表示甲、丙和丁三人并列成績最好。四人的回答只有一人符合實際。 T∨(P∧Q) 219。(P∨Q)∧(┐Q∨P)219。（1）(P→Q)∧(P→R) ，P→(Q∧R)（2）(P→Q)→(P∧Q)，(┐P→Q)∧(Q→P)（3）P∧Q∧(┐P∨┐Q)，┐P∧┐Q∧(P∨Q)（4）P∨(P→(P∧Q))，┐P∨┐Q∨(P∧Q)證明：（1）(P→Q)∧(P→R) 219。┐P∨(P∧(┐Q∨P))219。(┐P∨(Q∧R))∧(P∨(┐Q∧┐R))219。（2）PQP∨┐∧(P∨┐Q)1111101001000010主析取范式為：P∧Q主合取范式為：(┐P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(P∨Q)公式為可滿足式。(┐P∨(P∨Q))∨R219。 (P∧┐P)∨(P∧Q) 析取范式19. 求下列公式的主析取范式和主合取范式。┐(┐P∨┐Q)219。解：P↑Q219。若{→}是最小聯(lián)結(jié)詞組，則 ┐P? P→ ( P→( P→...)...)對所有命題變元指派T，則等價式左邊為F，右邊為T，等價式矛盾。 (P∨Q) →R（7）((P∧Q)→R) ∧(Q→(S∨R))219。┐ (┐P∨Q) ∨┐ (┐Q∨P) 219。P∨(┐P∨┐Q)219。┐P→(P→┐Q)（2）┐(P→← Q)219。（4）逆命題：如果我不能完成學(xué)業(yè)，那么我沒有獲得獎學(xué)金。否命題：如果天不下雨，我就去。（2）并不是每一個自然數(shù)都是偶數(shù)。原命題可符號化：P→← Q。原命題可符號化：┐（P∧Q）。原命題可符號化：P∧Q。（10）如果張老師和李老師都不講這門課，那么王老師就講這門課。（3）老張和老李都是球迷。（4）天下雪，我將不去書店。解：（1）、（2）、（3）不是命題。（3）請穿上外衣。（6）不存在最大素數(shù)。（7）是命題，只是現(xiàn)在無法確定真值。（3）┐P。（6）如果a和b是偶數(shù)，那么a+b也是偶數(shù)。解：（1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。（5）P：休息好，Q：工作好。（9）P：f(x)在點x0處可導(dǎo)， Q：f(x)在點x0處可微。4. 判斷下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。（1） 如果天下雨，我將不去。否命題：如果我去，你將不去。7. 求下列各式的真值表。 (P∧┐Q) ∨ (┐P∧Q)（5）P→(Q∨R) 219。┐(P∧Q) ∧┐(┐P∧┐Q)) 219。┐(P∧┐Q) ∨R 219。┐(Q∧(┐S∨P)) ∨R 219。（3）(P→(Q→R)) →(( P→Q) →(P→R))? ┐(┐P∨(┐Q∨R))∨(┐(┐P∨Q) ∨(┐P∨R))?(P∧(Q∧┐R))∨((P∧┐Q) ∨(┐P∨R))? (P∧Q∧┐R)∨((P∨┐P∨R)∧(┐Q∨┐P∨R))?(P∧Q∧┐R)∨(┐P∨┐Q∨R)?((P∨(┐P∨┐Q∨R))∧(Q∨(┐P∨┐Q∨R))∧(┐R∨(┐P∨┐Q∨R) )? T因為(P→(Q→R)) →(( P→Q) →(P→R))為永真式，所以(P→(Q→R)) ? ( P→Q) →(P→R)。 ((P↓P)↓(Q↓Q))↓((P↓P)↓(Q↓Q))17. 證明：（1）┐(P↑Q)219。(P∨Q)219。 (┐P∧┐Q)∨(┐Q∨P)219。m111∨m000219。 P∨Q∨R 主合取范式219。 M100∧M101∧M111∧M010∧M011∧M001219。（6）(Q→P)∧(┐P∧Q)219。(┐P∨Q)∧(┐P∨R)（2）(P→Q)→(P∧Q) 219。 (P∧Q∧┐P)∨(P∧Q∧┐Q) 219。 T22. 用推理規(guī)則證明以下各式。C：丙的成績最好。(A∧┐D∧┐B∧┐C)表示甲成績最好。C：C第二。(A∧┐B∧C∧┐D∧E)∨(┐A∧B∧┐C∧D∧┐E)(A∧┐B∧C∧┐D∧E)中C和E)同時成立矛盾，故只能是(┐A∧B∧┐C∧D∧┐E)成立，即B第二，D第四，A第三，C第一。將其化為析取范式的形式：A→(C ←∣ → D)∧┐(B∧C)∧(C→┐D)219。（3）若乙的證詞正確，則夜間12點時被盜物品所在房間燈光未滅。E：夜間12點被盜房間的燈光滅了。今天是星期六。（1）小王不是學(xué)生。（9）每一個自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)。w：小王。O(m)→┐O(2m)。O(x)：x是奇數(shù)。T(x)：x會說話。（4）某些教練員是年老的，但是很健壯。（12）兩個不相等的實數(shù)間，必存在第三個實數(shù)。A(x)：x是運動員。A(x)：x是運動員。($x)(S (x)∧(y)(T(y)→┐P(x,y)))（9）C(x)：x是汽車。K(x,y)：x比y快。解：（1）N(x)：x是有限個數(shù)的乘積。($x)($y)($z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,x（1）(x)(N(x)→($!y)(N(y)∧S(x,y)))（2）┐($x)( N(x)∧S(x,1))（3）(x)(N(x)∧┐S(x,2)→($!y)(N(y)∧S(y,x)))6. 對下面的每個公式指出約束變元和自由變元。（2）(x) (P→Q(x))∨R(a)，其中P：21，Q(x)：x≤3，R(x)：x5，a：5，論域是{2，3，6}。 T∧T∧F∨F219。F求以下各式的真值。( T∨F)∧(T∨F) 219。F12. 將下面各式翻譯成自然語言，然后在不同的個體域中確定它們的真值。y=0。y=x。(x)┐(P(x)∧┐Q(x))219。(x)(P(x)→Q(x))不成立。”反之未必成立。 (x)(y)( ┐P(x)∨Q(y)) 219。($x)(($y)P(x，y)∨(($z)Q(z)→R(x))) 219。($x)(P(x)∨Q(x))，所以(($x)P(x)∨($x)Q(x))→ ($x)(P(x)∨Q(x))為永真式，不寫為前束范式的形式。($x)(z)(u)( ┐P(x)∨Q(x，z)∨R(x，y，u)) 前束合取范式219。($y)(x) (P(x)∧┐Q(y))（2）($x)P(x)→(x) Q(x)219。 ($x)(P(x)∧┐Q(x，y))∨((y) ┐R(y)∨($z)S(y，z))219。(x)┐A(x)∨(x)B(x) 222。 (x)P(x)∨($x)Q(x)證明：(1) ┐(x)P(x) P(附加前提)(2) ($x)┐P(x) T(1) E(3) ┐P(a) ES(2)(4) (x) (P(x)∨Q(x)) P(5) P(a)∨Q(a) US(4)(6) Q(a) T(3)(5) I(7) ($x)Q(x) EG(6)(8) ┐(x)P(x)→($x)Q(x) CP(1) (7)(9) (x)P(x)∨($x)Q(x) T(8) E22. 符號化下列命題，并推證其結(jié)論： （1）任何人如果他喜歡步行，他就不喜歡乘汽車。自然數(shù)是偶數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它能被2整除。存在著身體健康的科學(xué)家。W(x)：x是無理數(shù)。($x)O(x)證明：(1) ┐(x)D(x) P(2) ($x) ┐D(x) T(1) E(3) ┐D(a) ES(2)(4) (x)(E(x)→← D(x)) P(5) E(a)→← D(a) US(4)(6) ┐E(a) T(3)(5) I(7) (x)(O(x)←∣ → E(x)) P(8) O(a)←∣ → E(a) US(7)(9) O(a) T(6)(8) I(10) ($x)O(x) EG(9)（4）S(x)：x是三角函數(shù)。C(x)：x是成功的。B均成立。,{198。證明： 對任意的集合C，若C∈P(A)∩P(B)219。舉例：A={1,2}，B={2,3}，P(A)={ 198。(C∩B)；（2）已知A∩B?B∩C，且有AB?BC，則A?B。7. 確定下列關(guān)系具備哪些性質(zhì)？（1）當(dāng)且僅當(dāng)|ik|11(i, k206。Z}，Z/Rj={[a]Rj| a206。解：（1）自反，對稱（2）對稱（3）自反，對稱，傳遞8. 請在集合A＝{a,b,c}上分別構(gòu)造滿足下述要求的二元關(guān)系：（1）既是對稱又是反對稱的；（2）既不自反也不反自反；（3）對稱且自反；（4）自反,對稱且傳遞；（5）以{a,b,b,c}為子集而且還是傳遞的。假設(shè)