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圓錐曲線專題-資料下載頁(yè)

2025-07-25 00:13本頁(yè)面
  

【正文】 -=1 D.-=1解 析∵kAB==1,∴直線AB的方程為y=x-3.由于雙曲線的焦點(diǎn)為F(3,0),∴c=3,c2=9.設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a0,b0),則-=,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2==2(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=+b2=9,∴a2=4,b2=5,∴雙曲線E的方程為-=1.2.已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A、B,則|AB|等于 (  )A.3 B.4 C.3 D.4解 析 設(shè)直線AB的方程為y=x+b.由?x2+x+b-3=0?x1+x2=-1,得AB的中點(diǎn)M.又M在直線x+y=0上,可求出b=1,∴x2+x-2=0,則|AB|==3.3.如圖,已知過(guò)拋物線y2=2px (p0)的焦點(diǎn)F的直線x-my+m=0與拋物線交于A、B兩點(diǎn),且△OAB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為2,則m6+m4的值是(  ) A.1 B. C.2 D.4解 析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意可知,=-m,將x=my-m代入拋物線方程y2=2px(p0)中,整理得y2-2pmy+2pm=0,由根與系數(shù)的關(guān)系,得y1+y2=2pm,y1y2=2pm,∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(2pm)2-8pm=16m4+16m2,又△OAB的面積S=|y1-y2|=(-m)4=2,兩邊平方即可得m6+m4=2.4.直線y=kx+1與橢圓+=1恒有公共點(diǎn),則m的取值范圍是______________.∵方程+=1表示橢圓,∴m0且m≠5.∵直線y=kx+1恒過(guò)(0,1)點(diǎn),∴要使直線與橢圓總有公共點(diǎn),應(yīng)有:+≤1,m≥1,∴m的取值范圍是m≥1且m≠5.5.已知雙曲線-=1 (a1,b0)的焦距為2c,離心率為e,若點(diǎn)(-1,0)與(1,0)到直線-=1的距離之和s≥c,則e的取值范圍是__________.解 析由題意知s=+=≥c,∴2c2≤5ab,∴≤.又==,∴2e2≤5,∴4e4≤25(e2-1),∴4e4-25e2+25≤0,∴≤e2≤5,∴≤e≤.6.若過(guò)拋物線y2=2px (p0)的焦點(diǎn)F的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則拋物線的方程為_(kāi)___________.如圖,過(guò)A、B分別作AD、BE垂直于準(zhǔn)線,垂足分別為D、E.由|BC|=2|BF|,即|BC|=2|BE|,則∠BCE=30176。,又|AF|=3,即|AD|=3,|AC|=6,∴F為AC的中點(diǎn),KF為△ACD的中位線, ∴p=|FK|=|AD|=,所求拋物線方程為y2=3x.7.(13分)(2012上海)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C1:2x2-y2=1.(1)過(guò)C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積.(2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點(diǎn).若l與圓x2+y2=1相切,求證:OP⊥OQ.(3)設(shè)橢圓C2:4x2+y2=、N分別是CC2上的動(dòng)點(diǎn),且OM⊥ON,求證:O到直線MN的距離是定值.(1)解 雙曲線C1:-y2=1,左頂點(diǎn)A,漸近線方程:y=177。x.不妨取過(guò)點(diǎn)A與漸近線y=x平行的直線方程為y=,即y=x+1.解方程組得所以所求三角形的面積為S=|OA||y|=.(2)證明 設(shè)直線PQ的方程是y=x+b.因?yàn)橹本€PQ與已知圓相切,故=1,即b2=2.由得x2-2bx-b2-1=0.設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2),則又y1y2=(x1+b)(x2+b),所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2=2(-1-b2)+2b2+b2=b2-2=0.故OP⊥OQ.(3)證明 當(dāng)直線ON垂直于x軸時(shí),|ON|=1,|OM|=,則O到直線MN的距離為.當(dāng)直線ON不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線ON的方程為y=kx,則直線OM的方程為y=-x.由得所以|ON|2=.同理|OM|2=.設(shè)O到直線MN的距離為d,因?yàn)?|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,所以=+==3,即d=.綜上,O到直線MN的距離是定值.
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