雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題-資料下載頁(yè)
2025-07-22 22:38本頁(yè)面
【正文】 兩個(gè)焦點(diǎn)，P為該曲線上一點(diǎn)，若△PF1F2為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率為( )A.＋1 B.＋1C．2 D．2解析：不妨設(shè)P點(diǎn)在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a.∵△PF1F2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF2F1＝90176。，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c，∴(2a＋2c)2＝2(2c)2，即c2－2ac－a2＝0，兩邊同除以a2，得e2－2e－1＝0.∵e＞1，∴e＝＋1.7．方程＋＝1表示雙曲線．那么m的取值范圍是________．解析：注意分兩種情況．一是實(shí)軸在x軸上，二是實(shí)軸在y軸上．依題意有或得m＞3或－3＜m＜2.8．(2012大連測(cè)試)在雙曲線4x2－y2＝1的兩條漸近線上分別取點(diǎn)A和B，使得|OA||OB|＝15，其中O為雙曲線的中心，則AB中點(diǎn)的軌跡方程是________．解析：雙曲線4x2－y2＝1的兩條漸近線方程為2x177。y＝0，設(shè)A(m,2m)，B(n，－2n)，AB中點(diǎn)M(x，y)，則即所以4x2－y2＝4mn.由|OA||OB|＝＝|m||n|＝15，得|mn|＝3，所以AB中點(diǎn)的軌跡方程是4x2－y2＝177。12，即－＝177。1.9．雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率是2，則的最小值是________．解析：＝2?＝4?a2＋b2＝4a2?3a2＝b2，則＝＝a＋≥2＝，當(dāng)a＝，即a＝時(shí)取最小值. 10(2012肇慶模擬)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(－3,0)，一條漸近線的方程是 x－2y＝0.(1)求雙曲線C的方程；(2)若以k(k≠0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍．解：(1)設(shè)雙曲線C的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，由題設(shè)得5解得所以雙曲線C的方程為： (2)設(shè)直線l的方程為：－＝1. y＝kx＋m(k≠0)，則點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐標(biāo)滿足方程組得－＝1，整理得(5－4k2)x2－8kmx－4m2－20＝，于是5－4k2≠0，且Δ＝(－8km)2＋4(5－4k2)(4m2＋20)＞0，整理得m2＋5－4k2＞0.③由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)滿足x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，從而線段MN的垂直平分線的方程為y－＝－(x－)．此直線與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(，0)，(0，)，由題設(shè)可得||||＝，整理得m2＝，k≠③式得＋5－4k2＞0，整理得(4k2－5)(4k2－|k|－5)＞0，k≠0，解得0＜|k|＜或|k|＞.所以k的取值范圍是(－∞，－)∪(－，0)∪(0，)∪(，＋∞)．10．(文用)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為(，0)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過點(diǎn)A(0，－1)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)設(shè)雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)．由已知得a＝，c＝2.又a2＋b2＝c2，得b2＝－y2＝1.(2)聯(lián)立整理得，(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.∵直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴可得m2＞3k2－1且k2≠.①設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為B(x0，y0)，則x1＋x2＝，x0＝＝，y0＝kx0＋m＝.由題意，AB⊥MN，∵kAB＝＝－(k≠0，m≠0)．整理得3k2＝4m＋1.②將②代入①，得m2－4m＞0，∴m＜0或m＞4.又3k2＝4m＋1＞0(k≠0)，即m＞－.∴m的取值范圍是(－，0)∪(4，＋∞)．11已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)AA2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點(diǎn)P(6，6) (1)求雙曲線方程 (2)動(dòng)直線l經(jīng)過△A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問 是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論 解 (1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求雙曲線方程為=1 (2)P、AA2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐標(biāo)為(2，2）假設(shè)存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2) 則有，∴kl=∴l(xiāng)的方程為y= (x－2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0 ∵Δ=16－428＜0,∴所求直線l不存在 12．已知雙曲線,問過點(diǎn)A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，并且A為線段PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。 錯(cuò)解 設(shè)符合題意的直線存在，并設(shè)、 則 （1）得 因?yàn)锳（1，1）為線段PQ的中點(diǎn)， 所以 將(4)、(5)代入（3）得 若，則直線的斜率 所以符合題設(shè)條件的直線存在。 其方程為 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應(yīng)對(duì)所求直線進(jìn)行檢驗(yàn)，上述錯(cuò)解沒有做到這一點(diǎn)，故是錯(cuò)誤的。 應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上，再由 得 根據(jù),說明所求直線不存在。13已知點(diǎn)N（1，2），過點(diǎn)N的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，且（1）求直線AB的方程；（2）若過N的直線l交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，且，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？解：（1）設(shè)直線AB：代入得 （＊） 令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），則xx2是方程的兩根 ∴ 且 ∵ ∴ N是AB的中點(diǎn) ∴ ∴ k = 1 ∴AB方程為：y = x + 1 （2）將k = 1代入方程（＊）得 或 由得， ∴ ，∵ ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直線方程為 即代入雙曲線方程整理得 令，及CD中點(diǎn)則， ∴， |CD| =， ，即A、B、C、D到M距離相等 ∴ A、B、C、D四點(diǎn)共圓 頁(yè) 2
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