【導讀】關鍵詞數(shù)字信號處理；MATLAB；Simulink；數(shù)字信號處理是將信號以數(shù)字方式表示并處理的理論和技術。真實世界的連續(xù)模擬信號進行測量或濾波。因此在進行數(shù)字信號處理之前需要將信號從模擬。而數(shù)字信號處理的輸出經(jīng)常也要變換到模擬。域，這是通過數(shù)模轉換器實現(xiàn)的。MATLAB包括擁有數(shù)百個內(nèi)部函數(shù)的主包和三十幾種工具包。性工具包和學科工具包。功能工具包用來擴充MATLAB的符號計算，可視化建模仿真，文。字處理及實時控制等功能。學科工具包是專業(yè)性比較強的工具包，控制工具包，信號處。理工具包，通信工具包等都屬于此類。MATLAB實現(xiàn)了給定參數(shù)信號波形生產(chǎn)、DTFT頻譜。分析、FIR、IIR濾波器等功能。參數(shù)的方式查看該參數(shù)下濾波器的頻率特性。的強大功能，將數(shù)字信號處理中較難掌握和理解的部分，形象、生動的表現(xiàn)出來。

　　

【正文】 間傅里葉變換的特點 離散時間傅里葉變換是關于數(shù)字角頻率 ? 的函數(shù)，因此 ()jXe? 是連續(xù)取值的。同時，對于自變量 ? ， ()jXe? 又滿足如下關系式： ( 2 ) ( 2 ) 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )j k j k i j i j k i j i ji i iX e x i e x i e e x i e X e? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 對 ? 而言， ()jXe? 是以 2? 為周期的周期函數(shù)。因此，通常只選取一個周期的幅度特性和相位特性進行研究。 例 41 求有限序列 x=[2， 1， 1， 1]的 DTFT，其位置向量為 nx=[0： 3]。 假如取 64 個頻點，畫出它在 π ? ? ? π 范圍內(nèi)的幅頻和相頻特性。 解： MATLAB 程序如下： x=[2,1,1,1]。nx=[0:3]。K=64。dw=2*pi/K。 k=floor((K/2+):(K/))。 % 設定頻序向量 %w=linspace(8,8,1000)。 X=x*exp(j*dw*nx39。*k) % 用 公 式計算 DTFT 27 subplot(2,1,1)。 plot(k*dw,abs(X)), % 畫幅頻曲線 subplot(2,1,2) 。plot(k*dw,angle(X)), % 畫相頻曲線 運行結果： X = Columns 1 through 4 Columns 5 through 8 Columns 9 through 12 Columns 13 through 16 Columns 17 through 20 Columns 21 through 24 + + Columns 25 through 28 + + + + Columns 29 through 32 + + + + Columns 33 through 36 Columns 37 through 40 Columns 41 through 44 + Columns 45 through 48 + + + + Columns 49 through 52 + + + + Columns 53 through 56 + + + + Columns 57 through 60 + + + + Columns 61 through 64 + + + + 28 離散時間傅里葉變換的 性質(zhì) ● 線性性質(zhì) 若 11( ) [ ( )]jX e D TF T x n? ? ， 22) [ ( )]jX e D TF T x n? ? ，則對任意常熟 a 和 b ，下式成立： 1 2 1 2( ) ( ) [ ( ) ( ) ]jja X e b X e D T F T a x n b x n??? ? ? ● 時移性質(zhì)和頻移性質(zhì) 若 ( ) [ ( )]jX e DT FT x n? ? ，則時域移位后的傅里葉變換如下： 0 0( ) [ ( ) ]jn je X e D T F T x n n? ?? ?? 而時域乘以復指數(shù)函數(shù)后的傅里葉變換為： 00()( ) [ ( ) ]j j nX e D T F T e x n? ? ?? ? ● 時域反轉 若 ( ) [ ( )]jX e DT FT x n? ? ，則時域的反轉相應于頻域中的反轉，即： ( ) [ ( ) ]jX e D T F T x n?? ?? 29 ● 頻域微分 若 ( ) [ ( )]jX e DT FT x n? ? ，則頻域的微分對應于時域乘以時變因子 n ，即： () [ ( ) ]jd X ej D TF T n x nd ?? ? ● 卷積性質(zhì) 若 11( ) [ ( )]jX e D TF T x n? ? ， 22) [ ( )]jX e D TF T x n? ? ， 12( ) ( ) ( )y n x n x n??，則 ()yn 的離散傅里葉變換為： 12( ) ( ) ( )j j jY e X e X e? ? ?? 該性質(zhì)主要用于離散時間系統(tǒng)的頻域分析。 ● 相乘性質(zhì) 若 11( ) [ ( )]jX e D TF T x n? ? ， 22) [ ( )]jX e D TF T x n? ? ， 12( ) ( ) ( )y n x n x n? ， 則 ()yn 的離散傅里葉變換為： ()1 2 1 211( ) ( ) ( ) ( ) ( )22j j j j jY e X e X e X e X e d?? ? ? ? ? ?? ??? ??? ? ? ? 該性質(zhì)也稱為調(diào)制定理，是卷積性質(zhì)的對偶性質(zhì)。 ● 帕斯瓦爾定理 若 ( ) [ ( )]jX e DT FT x n? ? ，則 22 1( ) ( )2 jn x n X e d? ?? ?????? ? ? ?? ? 左邊為序列 ()xn 的能量，右邊為頻域的總能量，其中， 2()jXe? 稱為能量譜密度。該性質(zhì)表明，信號時域的能量等于 頻域的能量。 離散傅里葉級數(shù) 離散傅里葉級數(shù) (DFS)定義 一個周期為 N 的周期序列 ()xn 可表示為： ( ) ( )x n x n kN??， k 為任意整數(shù) 這樣的周期序列的 Z變換是不收斂的。如果用離散傅里葉級數(shù)表示，則可以討論其收斂性。 用傅里葉級數(shù)表示，其基波頻率為： 2N? 用復指數(shù)表示： 21 () jnNe n e ?? 第 k 次諧波為： 2() j knNke n e ?? 由于是周期序列，且 k 次諧波也是周期為 N的序列： 30 22()( ) ( ) j k N n j k nNNk k Ne n e n e e????? ? ? 因此，對于離散傅里葉級數(shù)，只取下標從 0到 N1的 N個諧波分量就足以表示原來的信號。這樣可把離散傅里葉級數(shù)表示為 ： 2101( ) ( )N j k nNkx n X k eN ???? ? 式中，乘以系數(shù) 1/N 是為了下面計算的方便； ()Xk為 k次諧波的系數(shù) 。 將上式兩邊同乘以 2j nrNe ?? 并從 n=0 到 N1 求和，得到： 2 2 21 1 1 1 1( ) ( )0 0 0 0 011( ) ( ) ( ) [ ]N N N N Nj n r j k r n j k r nN N Nn n k k nx n e X k e X k eNN? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? 由復指數(shù)序列的正交性： 21 () ,0,0 {N j k r n N k rNkrn e?? ? ??? ?? 所以， 210( ) ( )N j n rNnx n e X r?? ???? 得到周期序列的離散傅里葉級數(shù)表達式： 210210( ) ( ) ,1( ) ( ) ,N j k nNnN j k nNkX k x n e kx n X k e nN??? ????? ?? ? ? ??? ?? ? ? ???? 令 2j NNWe??? ， 則得到周期序列的離散傅里葉級數(shù) (DFS)變換對 ： 31 1010( ) [ ( ) ] ( ) ,1( ) [ ( ) ] ( ) ,NknNnNknNkX k DFS x n x n W kx n I DFS X k X k W nN?????? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ???? n和 k均為離散變量。如果將 n當作時間變量， k當作頻率變量，則第一式表示的是時域到頻域的變換，稱為 DFS的正變換。 第二式表示的是頻域到時域的變換，稱為 DFS的反變換。 由于 2211 ()00( ) ( ) ( ) ( )NN j k p N n j k nNNnnX k p N x n e x n e X k????? ? ???? ? ? ??? 故 ()Xk是周期為 N的離散周期信號。 周期序列的信息可以用它在一個周期中的 N個值來代表。 離散傅里葉級數(shù) (DFS)的性質(zhì) ◎ 線性 設周期序列 1()xn和 2()xn的周期都為 N，且 1122[ ( )] ( )[ ( )] ( )D F S x n X kD F S x n X k?? 若 3 1 2( ) ( ) ( )x n ax n bx n??， 則有 ： 3 1 2 1 2( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )X k D F S ax n bx n aX k bX k? ? ? ? ◎ 周期序列的移位 設 [ ( )] ( )D FS x n X k? ， 則 ； [ ( ) ] ( )mkND FS x n m W X k?? 如果 mN，則 m=m1+Nm2， [ ( ) ] ( )nlNI D FS X k l W x n??? ◎ 周期卷積 設 1()xn和 2()xn都是周期為 N的周期序列，它們的 DFS系數(shù)分別為 ： 32 11101220( ) ( )( ) ( )NkmNmNkrNrX k x m WX k x r W???????? 令 12( ) ( ) ( )Y k X k X k? ， 則 ： 11 2 1 2 1 20( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )Nmy n I D F S X k X k x m x n m x n x n??? ? ? ? ?? 上式表示的是兩個周期序列的卷積，稱為周期卷積。周期為 N的兩個序列的周期卷積的離散傅里葉級數(shù)等于它們各自離散傅里葉級數(shù)的乘積。 周期卷積的計算： 周期卷積中的序列 1()xm和 2()x n m? 對 m都是周期為 N的周期序列，它們的乘積對 m也是以 N為周期的，周期卷積僅在一個周期內(nèi)求和。相乘和相加運算僅在 m=0到 N1的區(qū)間內(nèi)進行。計算出 n=0到 N1(一個周期 )的結果后，再將其進行周期延拓，就得到周期卷積 ()yn 。 周期卷積滿足交換律 ： 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )y n x n x n x n x n? ? ? ? 兩個周期序列的乘積 12( ) ( ) ( )y n x n x n? 的 DFS為： 11 2 1 2 1 2020( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )NlY k D F S x n x n X l X k l X k X kNN??? ? ? ? ?? 第五章 快速傅里葉變換 引言 ●DFT 計算量估算 定義： 1010( ) ( ) , 0 , 1 , .. . 11( ) ( ) , 0 , 1 , .. ., 1NnkNnNnkNkX k x n W k Nx n X k W n NN?????? ? ? ????? ? ? ????? （ 1）計算 ()Xk ，假定 ()xn 為復數(shù) ◎計算每個 ()Xk ，需要 N次復數(shù)乘法， N1次復數(shù)加法。 ◎?qū)λ?N個 ()Xk 值，共需 2N 次復數(shù)乘法和 ( 1)NN? 次復數(shù)加法，實現(xiàn)一次復數(shù)乘法需要 4 次實數(shù)乘 2次實數(shù)相加，實現(xiàn)一次復數(shù)相加需要 2 次實數(shù)相加 33 例如：若 N=1024，則需要 1048576 次復數(shù)乘法，即 4194304 次實數(shù)乘法，所需時間過長，難于“實時“實現(xiàn)。對于 2 D? 圖象處理，所需計算量更是大 得驚人。 ◎計算 IDFT 的 ()xn ，也是同樣的道理 ● 為什么可以大量減小 DFT 的計算量， NW 因子有如下所述的周期性及對稱性 （ 1） nkNW 的對稱性： ( )*nk nkNNWW?? （ 2）周期性： ( ) ( )nk n N k n k NN N NW W W