【正文】 量。經(jīng)過研究學(xué)者的多年研究，現(xiàn)階段機(jī)器人動(dòng)力學(xué)求解方法主要分為以下幾類，1．牛頓歐拉方法，運(yùn)用機(jī)械系統(tǒng)的各運(yùn)動(dòng)參數(shù)和力的關(guān)系遞推建立的牛頓歐拉方程來進(jìn)行參數(shù)建模，進(jìn)行研究機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。國(guó)外研究學(xué)者Walker amp。 Orin將該方法引入到機(jī)器人領(lǐng)域求解了該問題。該方法為機(jī)器人動(dòng)力學(xué)最基礎(chǔ)的研究方法之一。但該方法在系統(tǒng)是較復(fù)雜的多自由機(jī)器人時(shí)，求解較為困難?，F(xiàn)階段隨著對(duì)機(jī)器人工作性能要求的越來越高，則要求對(duì)機(jī)器人進(jìn)行快速準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)分析，需對(duì)該方法進(jìn)行改進(jìn)，以提高計(jì)算的準(zhǔn)確性和快速性。2．拉格朗日法，該方法的求解依據(jù)是系統(tǒng)能量，根據(jù)系統(tǒng)能量方程求得機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)模型。Hollerbach解決機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題首次使用了該方法。機(jī)器人系統(tǒng)理論為多體系統(tǒng)理論，但若系統(tǒng)自由度數(shù)較多時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程將變得較繁瑣。拉格朗日方法只考慮機(jī)器人系統(tǒng)能量，在很多情況下是很方便的，拉格朗日方法的主要研究方向?yàn)榻档瓦\(yùn)算復(fù)雜程度。3．凱恩法，將偏速度概念引入到動(dòng)力學(xué)求解方法中。該方法只需要進(jìn)行一次從基礎(chǔ)桿件到機(jī)器人末端部件的推導(dǎo)便可得出機(jī)器人系統(tǒng)模型。凱恩法在19世紀(jì)60年代產(chǎn)生于美國(guó)，凱恩法適用范圍較廣，其運(yùn)算量也比較小。該方法的缺點(diǎn)是偏速度的物理概念意義比較含糊，在應(yīng)用解決實(shí)際工程問題方面較差。4．旋量對(duì)數(shù)法，該方法是從另一方面研究動(dòng)力學(xué)的全新機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析方法，旋量對(duì)數(shù)法以牛頓歐拉方法為基礎(chǔ)，它將系統(tǒng)模型的矢量與矢量矩融合為一體。經(jīng)過不斷發(fā)展國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)應(yīng)用該方法成功解決了實(shí)際工作過程中的問題，現(xiàn)階段研究該方法的學(xué)者較多，為一個(gè)熱門發(fā)展方向。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究方法還有許多方法，最近發(fā)展速度較快的方法是凱恩法與旋量對(duì)數(shù)法，此兩種方法具有計(jì)算速度快，方便準(zhǔn)確等優(yōu)點(diǎn)。由于凱恩法應(yīng)用機(jī)械控制理論以及可以和計(jì)算機(jī)相結(jié)合的特點(diǎn)，促進(jìn)了該方法的快速發(fā)展。由于本文研究的機(jī)器人為6自由度工業(yè)機(jī)器人，拉格朗日方法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)僅需考慮系統(tǒng)能量，比較便捷。本文采用拉格朗日方法進(jìn)行六自由度機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析，在分析機(jī)器人動(dòng)力學(xué)過程中忽略機(jī)器人各關(guān)節(jié)部件之間的摩擦力。在機(jī)械系統(tǒng)分析中，拉氏函數(shù)即指機(jī)械系統(tǒng)能量的變化量。將機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能之差定義為拉格朗日函數(shù)。即 ()可將機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程表達(dá)式用拉格朗日函數(shù)表示如下： () 式中n為機(jī)器人連桿的數(shù)目，為機(jī)器人系統(tǒng)關(guān)節(jié)變量，其單位根據(jù)關(guān)節(jié)類型為移動(dòng)關(guān)節(jié)或者旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)分為m或者rad。，分別表示為關(guān)節(jié)變量相對(duì)于時(shí)間的微分。為機(jī)器人作用于第i個(gè)關(guān)節(jié)上的力或者力矩。綜上所述，由方程()()可得求解機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的拉格朗日方法如下： ()注意：式()中為機(jī)器人關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，不僅是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)而且是時(shí)間的函數(shù)。本文所研究的六自由度機(jī)器人連桿的動(dòng)能可由如下公式解出，連桿的動(dòng)能表達(dá)式為： ()其中，為偽慣性矩陣。所以，具有n個(gè)自由度的機(jī)器人的總動(dòng)能可表示如下： ()此外，機(jī)器人第關(guān)節(jié)連桿驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)能為： ()其中，為關(guān)節(jié)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為角速度。則機(jī)器人連桿系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)器的總動(dòng)能為： ()綜上所述，可以得到機(jī)器人的總動(dòng)能為： （）式中，為機(jī)器人慣性矩陣。 （）為關(guān)節(jié)變量及關(guān)節(jié)變量相對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。為機(jī)器人關(guān)節(jié)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 機(jī)器人連桿的勢(shì)能為： （）在此，設(shè)定不考慮機(jī)器人各關(guān)節(jié)部件內(nèi)部傳動(dòng)系統(tǒng)的自身重量，則可得總勢(shì)能表達(dá)式為： （）為第個(gè)連桿的自重，是重力加速度矢量，為是第連桿相對(duì)于前一關(guān)節(jié)的矢徑。那么把以上參數(shù)代入拉氏動(dòng)力學(xué)方程可得到， ()根據(jù)拉氏函數(shù)動(dòng)力學(xué)方程便可求得各關(guān)節(jié)的所受到的力如下： ()上式可寫成 ()亦可以改寫為矩陣形式 ()上式中各參數(shù)的意義是，機(jī)器人的慣性矩陣表達(dá)式，表示第關(guān)節(jié)的在運(yùn)動(dòng)過程中的科氏和離心力的系數(shù)矩陣表達(dá)式。即 為機(jī)器人的重力項(xiàng)矩陣，是所求得的機(jī)器人各內(nèi)部傳動(dòng)部件的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。綜上所得便建立了六自由度工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)參數(shù)模型。在后面的章節(jié)中將通過仿真軟件對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析。 機(jī)器人軌跡規(guī)劃的意義實(shí)際工作中，對(duì)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃是其的一項(xiàng)重要研究?jī)?nèi)容，它直接影響到整個(gè)系統(tǒng)的工作效率以及能耗等。所謂的軌跡規(guī)劃是在其實(shí)際工作中根據(jù)系統(tǒng)所給任務(wù)要求，確定機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)參數(shù)并生成運(yùn)行軌跡。對(duì)工業(yè)機(jī)器人軌跡進(jìn)行軌跡規(guī)劃可以有效提高工業(yè)機(jī)器人在實(shí)際工作中運(yùn)行的精度以及平穩(wěn)性。通過軌跡規(guī)劃可以使整個(gè)系統(tǒng)在工作中運(yùn)行更加平穩(wěn)，使噪音以及沖擊達(dá)到最小化。對(duì)工業(yè)機(jī)器人的平穩(wěn)運(yùn)行、提高其工作效率以及系統(tǒng)可靠性具有重要意義。所謂的軌跡是指機(jī)器人在運(yùn)行中所走過的路徑即機(jī)器人末端點(diǎn)的各運(yùn)動(dòng)參數(shù)即位移、速度以及加速度。規(guī)劃是指一種問題的求解方法，即從所給的已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的操作步驟來得出問題的求解方法。機(jī)器人的軌跡規(guī)劃是根據(jù)系統(tǒng)對(duì)其在工作過程中各關(guān)節(jié)的速度加速度等所提出的要求，來生成一條機(jī)器人末端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線，該軌跡曲線盡可能平滑，使機(jī)器人的運(yùn)行盡可能平穩(wěn)。關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行軌跡規(guī)劃就是根據(jù)系統(tǒng)所提要求，解得角速度、角加速度等相對(duì)于時(shí)間的變化量。笛卡爾空間規(guī)劃是求出機(jī)器人末端執(zhí)行器相對(duì)于參考坐標(biāo)系的位置、速度及加速度等運(yùn)動(dòng)參數(shù)，對(duì)應(yīng)的各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角等可通過機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解求出。但是所要確保的是在兩種坐標(biāo)系中進(jìn)行規(guī)劃必須滿足所生成軌跡為平滑的。主要軌跡規(guī)劃研究方法簡(jiǎn)介：現(xiàn)階段生成軌跡的方法主要有三次多項(xiàng)式函數(shù)插值、B樣條插值函數(shù)以及高次多項(xiàng)式函數(shù)插值等方法。Lin等學(xué)者使用高次多項(xiàng)式插值求解出軌跡片段并連接各關(guān)鍵點(diǎn)得出較為合理的機(jī)器人軌跡。Bazaz 通過總結(jié)對(duì)前人的研究，生成了具有光滑轉(zhuǎn)折的曲線段進(jìn)行連接機(jī)器人的關(guān)鍵點(diǎn)得出機(jī)器人軌跡的方法。后來一些學(xué)者在總結(jié)以前規(guī)劃的基礎(chǔ)上通過對(duì)機(jī)器人原有規(guī)劃算法進(jìn)行改進(jìn)，解決了機(jī)器人在工作過程中初始以及結(jié)束時(shí)系統(tǒng)的家速度突變的問題，保證了整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)中的平穩(wěn)性。在關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行軌跡規(guī)劃，應(yīng)首先知道開始和終止時(shí)刻的機(jī)器人末端位置點(diǎn)在空間中的位置和姿態(tài)，根據(jù)實(shí)際工作所給的一系列對(duì)軌跡的約束條件，對(duì)關(guān)節(jié)變量進(jìn)行插值運(yùn)算，根據(jù)需要選擇不同方法進(jìn)行軌跡生成。具體方法有三次多項(xiàng)式函數(shù)插值以及B樣條插值等?，F(xiàn)在根據(jù)機(jī)器人末端操作器由起始位置到終止位置的一系列路徑點(diǎn)。通過這些點(diǎn)由運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解求解原理可以求出機(jī)器人各關(guān)節(jié)變量一系列值，機(jī)器人的軌跡規(guī)劃的實(shí)質(zhì)就是將這一系列的變量值構(gòu)造成一個(gè)平滑的函數(shù)，即各關(guān)節(jié)沒有加速度突變，讓該系統(tǒng)在實(shí)際工作中的運(yùn)動(dòng)更加平穩(wěn)。如果要對(duì)機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃必須知道機(jī)器人的若干個(gè)位置，即機(jī)器人初始點(diǎn)和末端點(diǎn)以及工作過程中重要的路徑點(diǎn)的位姿。下面介紹運(yùn)用多項(xiàng)式插值函數(shù)生成機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡的方法：機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡可以用系統(tǒng)中的每個(gè)變量參數(shù)相對(duì)于時(shí)間的函數(shù)進(jìn)行表示。將機(jī)器人末端操作器的位姿函數(shù)設(shè)置為。該函數(shù)在初始時(shí)刻的關(guān)節(jié)變量為，經(jīng)過時(shí)刻末端點(diǎn)終止時(shí)刻的關(guān)節(jié)變量值為。實(shí)際工況中，若要使機(jī)器人運(yùn)行平穩(wěn)必須要知道機(jī)器人在運(yùn)行過程中的位置以及速度約束等。將末端操作器的初始時(shí)刻和終止時(shí)刻位置設(shè)置為， ()進(jìn)而，系統(tǒng)在實(shí)際工作中的另一個(gè)約束條件為， ()由上述所給出的工業(yè)機(jī)器人的幾個(gè)約束條件便可確定唯一的函數(shù)，即機(jī)器人末端點(diǎn)軌跡的表達(dá)式， ()對(duì)式()方程兩側(cè)進(jìn)行微分得出該軌跡上的速度和加速度表達(dá)式， ()將已知的機(jī)器人位置和速度約束條件帶入()()兩式可得 ()求解方程組()可得 ()將式()帶入式()便可得機(jī)末端操作器運(yùn)用三次多項(xiàng)式插值函數(shù)得到的運(yùn)動(dòng)軌跡。然而，采用三次多項(xiàng)式插值函數(shù)對(duì)機(jī)器人的軌跡進(jìn)行規(guī)劃雖然可以保證末端位置點(diǎn)的位置和速度是連續(xù)的，但不能保證機(jī)器人的加速度是連續(xù)的，其加速度可能產(chǎn)生突變，影響機(jī)器人的運(yùn)行平穩(wěn)以及可靠性。若采用B樣條插值函數(shù)的方法則能夠較好地解決這一問題。該插值函數(shù)方法包括凸包性、局部可改性、對(duì)稱性以及三階可微性等諸多優(yōu)點(diǎn)。 假定該樣條函數(shù)的第段參變量的函數(shù)為[43]： ()式()中，u為參數(shù)且，為該函數(shù)的系數(shù)多項(xiàng)式，表示第段插值函數(shù)曲線上參數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)矢量，是該曲線的若干控制點(diǎn)，因?yàn)橄噜彽能壽E路徑需要連續(xù)，那么點(diǎn)矢量在0,1處需要滿足以下條件， ()將式()代入式()可得， ?()同樣的，由曲線二階以及三階可導(dǎo)，便能夠求得， ()根據(jù)式()可得出， ()另外，根據(jù)柯西關(guān)系即坐標(biāo)變換不變性可得， ()若為三次多項(xiàng)式，則可根據(jù)以上各條件求得的表達(dá)式。根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可得，根據(jù)式()和()可得，又根據(jù)式()并考慮對(duì)稱性有，可得的表達(dá)式如下：其中，所求軌跡曲線中控制點(diǎn)求法：前式中為控制點(diǎn)，在軌跡規(guī)劃中，機(jī)器人的型值點(diǎn)即機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中通過逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解得到的重要節(jié)點(diǎn)往往是通過控制點(diǎn)求得的。假設(shè)為型值點(diǎn)。由以下條件可得， () ()式()中有個(gè)未知數(shù)，但是僅有個(gè)方程，若要求解方程式，我們必須補(bǔ)充兩個(gè)已知條件。因此，我們?nèi)≈亟Y(jié)點(diǎn)條件，將所求得的所有型值點(diǎn)代入上式得： ()據(jù)此，由方程()便可以得到唯一的一組，由得到的機(jī)器人B樣條曲線為， ()假設(shè)空間中存在一組型值點(diǎn)，根據(jù)方程()可求得個(gè)控制點(diǎn)，通過建立的曲線便可將相鄰的曲線段連接起來，整條軌跡由條B樣條小線段組成，第段將兩點(diǎn)聯(lián)系起來。四個(gè)控制點(diǎn)的坐標(biāo)為：。為固結(jié)于末端操作器上的點(diǎn)，在0~1之間選取不同的值，便可得到相應(yīng)的軌跡曲線?？捎脕肀硎拒壽E曲線上坐標(biāo)系的兩個(gè)坐標(biāo)。該函數(shù)的邊界條件，在運(yùn)用這個(gè)樣條函數(shù)法求解機(jī)器人軌跡路徑時(shí)，將通過添加軌跡曲線的邊界條件來求解軌跡上未知的兩個(gè)位置點(diǎn)。，將式()方程兩邊對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)?？傻茫? () () () 由此便可以求得末端位置點(diǎn)的和關(guān)節(jié)速度及加速度表達(dá)式為， ()關(guān)節(jié)的一階導(dǎo)數(shù)矢量除了第一個(gè)分量，其余分量為零時(shí)，這一矢量定義為，令可得控制變量的表達(dá)式為。b．由終點(diǎn)位置速度為零以及起始位置加速度為零這兩個(gè)條件可得，該系統(tǒng)的余下的邊界條件可運(yùn)用相同的方法求出。根據(jù)此方法便能求得機(jī)器人末端操作器的B樣條插值函數(shù)軌跡。 本章小結(jié)本章內(nèi)容分析了機(jī)器人動(dòng)力學(xué)以及軌跡規(guī)劃的一般方法。本文著重介紹了拉格朗日方法求解機(jī)器人動(dòng)力學(xué)，并建立動(dòng)力學(xué)參數(shù)模型。前面介紹機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)以及動(dòng)力學(xué)的目的均為為機(jī)器人軌跡規(guī)劃做鋪墊。本文分析了機(jī)械系統(tǒng)軌跡規(guī)劃方法中的三次多項(xiàng)式插值函數(shù)進(jìn)行機(jī)器人軌跡的生成，并分析了該插值方法的不足，詳細(xì)的介紹了機(jī)器人軌跡規(guī)劃方法中的B樣條插值方法。第五章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)以及軌跡規(guī)劃的仿真第五章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)以及軌跡規(guī)劃的仿真前面幾章設(shè)計(jì)創(chuàng)建了機(jī)器人三維模型，根據(jù)運(yùn)動(dòng)參數(shù)以及各部件的尺寸，運(yùn)用DH方法構(gòu)建了參數(shù)模型，并求解了機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，現(xiàn)在運(yùn)用仿真軟件進(jìn)行仿真來驗(yàn)證求解方法的正確性。本文運(yùn)用matlab的Robotics Toolbox模塊對(duì)前面建立的機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行仿真研究。在matlab的工作環(huán)境中，可以運(yùn)用Robotics工具箱對(duì)前面建立的機(jī)器人模型運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行仿真分析。通過該軟件可以對(duì)該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行理論上的定性分析。在該工具箱中根據(jù)DH方法建立的數(shù)學(xué)模型，在該軟件中建立機(jī)器人模型，求得機(jī)器人各關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量。進(jìn)而對(duì)機(jī)器人進(jìn)行分析。該工具箱是由國(guó)外的研發(fā)團(tuán)隊(duì)所創(chuàng)立的一個(gè)函數(shù)模型庫(kù)，該模型庫(kù)建立了機(jī)器人的各連桿之間的函數(shù)關(guān)系。用戶可以按照需要輸入所求機(jī)器人的關(guān)節(jié)連桿數(shù)值，對(duì)機(jī)器人進(jìn)行參數(shù)模型的建立。該工具箱具有以下特征：(1)該工具箱通過輸入各參數(shù)來建立虛擬的機(jī)器人模型?？梢苑奖阌脩魧?duì)該系統(tǒng)操作并進(jìn)行研究分析。(2)該工具箱是根據(jù)機(jī)器人的連桿參數(shù)建立，比較符合機(jī)器人實(shí)際結(jié)構(gòu)。若要對(duì)機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行仿真首先要?jiǎng)?chuàng)建該結(jié)構(gòu)虛擬模型，輸入各連桿部件參數(shù)值。若要得到完整的機(jī)器人結(jié)構(gòu)模型，應(yīng)將前述所求的機(jī)器人各參數(shù)代入模型。該工具箱運(yùn)用link以及robot函數(shù)成立該模型。而且，該工具箱中的link連桿函數(shù)的使用方式如下：表示相鄰連桿部件軸線間的夾角，表示兩相鄰關(guān)節(jié)軸線公垂線的尺寸，是表示相鄰兩根公垂線之間的角度值，表示相鄰連桿公垂線之間的尺寸大小。表示該關(guān)節(jié)的類型，其中‘0’表示關(guān)節(jié)類型為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，‘1’表示該關(guān)節(jié)類型為移動(dòng)關(guān)節(jié)。有兩種類型，‘standard’表示為標(biāo)準(zhǔn)的DH參數(shù)，‘modified’表示經(jīng)過修改后的DH參數(shù)。Robot函數(shù)調(diào)用格式為表示運(yùn)用進(jìn)行創(chuàng)建一個(gè)機(jī)器人參數(shù)模型。運(yùn)用本文第三章DH方法所得的機(jī)器人連桿參數(shù)并代入機(jī)器人工具箱中建立機(jī)器人模型。具體建立格式為：。，在此我們?cè)O(shè)置模型的初始為。圖5. 1 MATLAB中機(jī)器人模型Fig The MATLAB