一定積分的概念二定積分的簡單性質(zhì)三定積分的計(jì)算四定積-資料下載頁
2025-07-17 23:32本頁面
【正文】 線 及 x 軸所圍成的開口曲 邊梯形的面積 21xy ?A1可記作 ? ??? 1 2dx xA其含義可理解為 ????? bb x xA 1 2dl i mbbb x 11l i m ?????? ??????????? ?? ??? bb 11lim 1?1 連續(xù)函數(shù)在無限區(qū)間上的積分 定義 1. 設(shè) ,),[)( ??? aCxf ,ab ?取 若 存在 , 則稱此極限為 f (x) 在區(qū)間 的廣義積分 , 記作 這時(shí)稱廣義積分 收斂 。 如果上述極限不存在 , 就稱廣義積分 發(fā)散 . 類似地 , 若 ,],()( bCxf ???則定義 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),[ ??a,),()( ????? Cxf若 則定義 xxfcaad)(l i m ????xxfbcbd)(lim ?????( c 為任意取定的常數(shù) ) 只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱 發(fā)散 . ,??? 并非不定型 , 說明 : 上述定義中若出現(xiàn) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 它表明該廣義積分發(fā)散 . 引入記號 。)(lim)( xFF x ?????? )(l i m)( xFF x ??????則有類似牛 – 萊公式的計(jì)算表達(dá)式 : xxfa d)(? ?? )(xF? )()( aFF ????xxfb d)(? ?? )(xF? )()( ???? FbFxxf d)(? ???? )(xF? )()( ?????? FF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 1. 計(jì)算廣義積分 解 : ?? ??? ]a rc t a n[ x)2( ???2?? ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xoy21 1xy ??思考 : 分析 : 原積分發(fā)散 ! 注意 : 對廣義積分 , 只有在收斂的條件下才能使用 “偶倍奇零” 的性質(zhì) , 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 . xx xx a r c t a nlima r c t a nlim ?????? ??例 2. 計(jì)算廣義積分 解 : tpept ???原式 ? ?? ??0 d1 teptptpep???2121p?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 暇積分 ——無界函數(shù)的積分 引例 :曲線 所圍成的 與 x 軸 , y 軸和直線 開口曲邊梯形的面積 可記作 其含義可理解為 ???? 10 dl i m ?? xxA ?? 12lim 0 x???)1(2l i m0???? ??2?xy1?0Axy?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義 2. 設(shè) ,],()( baCxf ?而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)無界 , 存在 , 這時(shí)稱暇積分 收斂 。 如果上述極限不存在 , 就稱暇積分 發(fā)散 . 類似地 , 若 ,),[)( baCxf ?而在 b 的左鄰域內(nèi)無界 , 若極限 數(shù) f (x) 在 （ a , b] 上的暇積分 , 記作 則定義 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則稱此極限為函 而在點(diǎn) c 的 無界點(diǎn)常稱 鄰域內(nèi)無界 , xxfca d)(? xxfbc d)(??為 瑕點(diǎn) . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則定義 ??11 2dx x? 211 ????? 111 ????????? x下述解法是否正確 : , ∴ 積分收斂 例 3. 計(jì)算暇積分 ?????? ? 0a r c s in at??? atlim解 : 顯然瑕點(diǎn)為 a , 所以 原式 ??? atlim ??? atlim 2??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 4. 討論暇積分 的收斂性 . 解 : ???01 2dxx?? 10 2dxx101lim???????????txt tt x101lim????????????所以暇積分 發(fā)散 . ? ?t dxxa0 22 1 0a rc s intax ??????、 ? 函數(shù) 1. 定義 )0(d)( 0 1 ??? ? ?? ?? sxexs xs2. 性質(zhì) (1) 遞推公式 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證 : ? ?? ???? 0 d)1( xexs xs)0()()1( ????? ssss(分部積分 ) ??? ???0 dxs ex? ? ? ?? ??? ??? ?? 0 1 d0 xexsex xsxs)(ss??注意到 : ? ?? ??? 0 d)1( xe x1?有,N ???? n)()1( nnn ???? )1()1( ???? nn)1(!??? n?(2) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 得令 ,2ux ?)0(d2)( 0 122 ??? ? ?? ?? suues su習(xí)題課 一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法 定積分及其相關(guān)問題 第 五 章 例 1 求 解 : xxxI d)c o s(s in20 2? ???xxx dc o ss in20? ???xxx d)s in(c o s40? ???xxx d)c o s(s i n24? ?? ??]c o s[ s i n xx ?? 04?]s i nc o s[ xx ???42??)12(2 ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2?yo x4?xsinxcos例 2： 若 解 : 令 試證 : xxf d)(si n2 0?? ??,xt ?? ? 則 ttft d)(s in)(0? ??? ? ?ttf d)(s i n0?? ?? ttft d)(s i n0?? ?xxf d)(si n2 0?? ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因?yàn)? xxf d)(s in20???對右端第二個(gè)積分令 xt ?? ?xxf d)(s in2 20???綜上所述 xxf d)(si n2 0?? ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束
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