【導讀】義的對號和單純的演算上,因而他關(guān)心的是題目的模式和題型加方法的解題套路,常常遇到這樣的場面：在解某一道題目時，同學甲是構(gòu)造一個函數(shù)解決的，并注意發(fā)揮數(shù)學思想的功能.或然與必然的思想等.到運用這個函數(shù)的性質(zhì)去解決問題,如果沒有明確所研究的對象是函數(shù)的時候，你是否想到用函數(shù)與變化的觀點去思考與解決問題呢？又如，解方程中的消元?；枷胂鄬τ谙ǎ浞椒?，誘導公式和割補法等來說，具有較高的層次。為完善的解題系統(tǒng).的值組成的集合A;的取值范圍;若不存在,請說明理由.這是一個含參數(shù)的不等式的問題,如何處理這一問題呢?的中點的不同位置進行分類討論.的圖象(圖1)可以看出,如果對函數(shù)圖象比較熟悉的話,可以知道,??上的最大值只能在。下面研究第(Ⅱ)問.

　　

【正文】 sin6g x x x x? ? ?， 01 x?? ． 由（ Ⅰ ）知，當01 x??時，s i n xx?，從而 22 2 239。2( ) c o s 1 2 s in 2 0 .2 2 2 2 2x x x x xg x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 所以? ?gx在 ( 0, 1 ) 上是增函數(shù) . 又? ?gx在 [ 0 , 1] 上連續(xù) , 且? ?00g ?, 所以當01 x??時，? ? 0gx ?成立 . 于是31( ) 0 , si n 06n n n ng a a a a? ? ? ?即． 故3116nnaa? ?． 【例 5 】 （ 據(jù) 2020 年全國卷 Ⅱ ，理 改編 ) 已知函數(shù)? ? l n ,g x x x?設(shè)ba ??0. 證明 ? ? ? ? ? ? 2ln220 abbagbgag ???????? ???? 【分析及解】 為證明這個不等式 , 參考ba ??0, 我們可以 把字母b看作變量x,從而使待證明的不等式化為 ? ? ? ? ? ?0 2 l n 22axg a g x g x a???? ? ? ? ????? 由此啟發(fā)我們 構(gòu)造函 數(shù)( ) ( ) ( ) 2 ,2axF x g a g x g???????? ? ? 由( ) l n 1g x x? ??可得( ) ( ) 2 l n l n .22a x a xF x g x g x?? ? ? ????? ? ? ? ????????? 當,0)(,0 ???? xFax 時 在此),0()( axF 在內(nèi)為減函數(shù) . 當),()(,0)(, ????? axFxFax 在因此時上為增函數(shù) . 從而，當)(, xFax 時?有極小值).( aF 因為 ,0)(,0)( ??? bFabaF 所以 即 ).2(2)()(0bagbgag???? 再 構(gòu)造函數(shù) ( ) ( ) ( ) l n 2 ,G x F x x a? ? ? 則 ).l n(ln2ln2lnln)( xaxxaxxG ???????? 當.0)(,0 ??? xGx 時 因此),0()( ??在xG上為減函數(shù) . 因為 ,0)(,0)( ??? bGabaG 所以 即 .2ln)()2(2)()( abbagbgag ????? 【例 6 】 求證： 對任意實數(shù)x, 不等式1 1 1a b a ba b a b???? ? ? ?成立 . 【分析及解】 這個不等式中的每一項的形式都相同 , 這就促使我們用一個共同的式子來統(tǒng)一 , 即 構(gòu)造函數(shù) ? ? ? ?01xf x xx??? 容易證明 , ? ?1xfxx??是? ?0, ??上的增函數(shù) . 又a+b a b??, 因此 , ? ? ? ? ? ?f a + b f a f b??, 即 11a b a ba b a b???? ? ? ?11aba b a b??? ? ? ?11abab????. 4 ．是不是想到了把等式看作為一個含未知數(shù)的方程，是不是想到了對這個方程的根（例如根的虛實，正負，范圍等）有什么要求？ 【例 1 】 已知,? ? ?都是銳角 , 且滿足 2 2 2c os c os c os 2 c os c os c os 1? ? ? ? ? ?? ? ? ?. 求? ? ???得值 . 【分析及解】 這時一個與三角函數(shù)有關(guān)的求值題 , 表面上看 , 不是一個方程問題 ,但 是 , 如果 我們 想到 把這個等式看作一個關(guān)于c os , c os , c os? ? ?中的某一個的二次方程 , 例如看作關(guān)于c o s ?的一元二次方程 , 問題就好解決得多 : ? ? ? ?2 2 2c o s 2 c o s c o s c o s c o s c o s 1 0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?, ? ?2 2 2 2 2 24 c o s c o s 4 c o s c o s 1 4 sin sin? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 所以 , ? ?222 c o s c o s 4 s in s inc o s c o s2? ? ? ?? ? ???? ? ? ?. 因為,? ? ?都是銳角 , 所以 ,? ?c os c os? ? ?? ? ?應舍去 . 因此 , ? ?c os c os? ? ?? ? ?, 又因為0 , 02?? ? ? ?? ? ? ? ?, 所以 , ? ?? ? ? ?? ? ?, 即? ? ? ?? ? ?. 【例 2 】 已知：,ab均為正實數(shù)，且 44sin c o s 1xxa b a b??? 求證：? ?88333s in c o s 1xxab ab??? 【分析及解】 把已知等式化作關(guān)于某個字母的方程． ? ? ? ?44sin c osa b b x a b a x ab? ? ? ?， ? ? ? ?4 2 4 4 2 4c o s sin c o s 1 sin 0x a b x x a b x? ? ? ? ?， ① 計算 它的判別式 ： ? ?24 4 2 4 4s in c o s 1 4 c o s s inb x x b x x??? ? ? ? ??? ? ? ? ?4 4 2 2 4 4 2 2sin c o s 1 2 sin c o s sin c o s 1 2 sin c o s2b x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?222sin c o s 1 sin c o s 1 0b x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 方程 ① 的解為 ? ?444s in c o s 12 c o sb x xax? ? ??， 即 22s inc o saxbx?． 從而 22si n , c o sabxxa b a b????， ? ? ? ?4488433 3 3 3sin c o s 1abx x a ba b a ba b a b a b a b? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ???． 【例 3 】 已知數(shù)列? ?nx和? ?ny滿足下列關(guān)系： 111,0.xy?????且112 3 ,2.n n nn n nx x yy x y?????????試求實數(shù)a，使? ?nnx ay?成等比數(shù)列． 【分析 及解】 由題設(shè)可得111,0.xy????? 222,1.xy????? 337,4.xy????? 因為數(shù)列? ?nnx ay?成等比數(shù)列，則前三項也成等比數(shù)列，即1 , 2 , 7 4aa??成等比數(shù)列． 這時，可以建立一個關(guān)于a的方程，? ?22 7 4aa? ? ?， 解 得 3a ??． 下面證明數(shù)列? ?3nnxy ?是等比數(shù)列． ? ? ? ?11 2 3 2n n n n n nx 3 y x y 3 x y?? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 3 3 2 3nnxy? ? ? ? ? ? ? ?2 3 3nnxy? ? ?． 于是，數(shù)列? ?3nnxy ?是以23?為公比的等比數(shù)列． 我們是用特殊的前三項建立方程的方法 把待定的系數(shù)a求出來，再對于一般情形進行證明的．這種方法是待定系數(shù)法，本題的解題思路也是特殊 與 一般數(shù)學思想的反映． 【例 4 】 已知數(shù)列? ?na中 ,1 10a ?，且115 2 5nnnaa ? ? ?, 求? ?na的通項公式． 【分析及解】 先對遞推式進行變形，115255nnnnaa??，113255nnnnaa?? ? ?， 設(shè)? ?5nn nabn??? N，則132nnbb ??． ① 我們引入待定的系數(shù),??，使,??滿足? ?1nnbb ? ? ?? ? ?， ② 從而能出現(xiàn)等比數(shù)列．展開②式得， 1nnbb ? ? ? ?? ? ? ③ 對照③式和①式，可得方程組3,2.?? ? ????? ? ??解得3 , 1?? ? ? ?， 即數(shù)列? ?1nb ?是以11101 1 1 355ab ? ? ? ? ? ?為首項，3為公比的等比數(shù)列． 11 3 3 3nnnb?? ? ? ?，31nnb ??，于是，315nnn nab ? ? ?，15 3nnna ??．? ?n ?? N 【例 5 】 （ 200 7 廣東卷 , 理 , 文） 已知a是實數(shù)，函數(shù)2( ) 2 2 3f x a x x a? ? ? ?．如果函數(shù)()y f x?在區(qū)間[ 1 , 1 ]?上有零點，求a的取值范圍． 【分析及解】 我們曾用函數(shù)思想解決了這個題目 , 現(xiàn)在 , 換一個角度 . 函數(shù)()y f x?在區(qū)間? ?1 , 1?上有零點， 等價于 方程2( ) 2 2 3 0f x ax x a? ? ? ? ?在? ?1 , 1?上有解， 當0a ?時， 方程( ) 0fx ?是一次方程，2 3 0x ??，解為? ?31 , 12x ? ? ?不符合題意， 當0a ?時 , 方程( ) 0fx ?是二次方程， 方程? ? 0fx ?在? ?1 , 1?上有解 ，對解的的要求是： （ 1 ）? ? 0fx ?在? ?1 , 1?上有一個解（另一個解不屬于區(qū)間? ?1 , 1?，這時應滿足( 1 ) ( 1 ) 0ff ? ? ?， （ 2 ）? ? 0fx ?在? ?1 , 1?上有兩個解，這時應滿足( 1 ) 0( 1 ) 04 8 ( 3 ) 0111afafaaa???????? ? ? ? ????? ? ? ???，，. 解（ 1 ）得? ? ? ?( 1 ) ( 1 ) 1 5 0f f a a? ? ? ? ? ?得15 a??， 解（ 2 ）得不等式組得372a???或5a ? 由（ 1 ）和（ 2 ）得372a???或1a ?. 所以實數(shù)a的取值范圍是372a???或1a ?. 解決這個題目的關(guān)鍵是 明確二次方程( ) 0fx ?在在? ?1 , 1?上有解，相當于這個方程在區(qū)間? ?1 , 1?上有一個解或者有兩個解，弄清這個要求，問題就容易解決了。