【正文】 ? ? ? ? ?111f x f g g? ? ?, 當(dāng)12 x??時(shí) ,? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1f x f g g? ? ?, 由此可知 , 1x ?是方程唯一的根 . 【 例 3 】 求函數(shù)1y x x??的值域 . 【分析及解】解法 1. 通過方程的根求值域 . 方程化為1y x x??, 兩邊平方得 ? ?22 2 1 1 0x y x y? ? ? ? ?, ① 由于函數(shù)的定義域?yàn)? ?1xx ?, 則方程 ① 至少有一個(gè)1?的根，這相當(dāng)于解不等式組（ Ⅰ ）與組（ Ⅱ ） , 并求解集的并集 . （ Ⅰ ）? ? ? ?22112 1 4 1 4 3 0 ,2 1 4 31,22 1 4 30.2y y yyyxyyy x y?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???????? ? ?? ? ? ??? 或（ Ⅱ ）? ? ? ?22112 1 4 1 4 3 0 ,2 1 4 31,22 1 4 30.2y y yyyxyyy x y?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???????? ? ?? ? ? ??? 解得1y ?，所以函數(shù)的值域?yàn)? ?1yy ?. 解法 2. 通過換元進(jìn)行轉(zhuǎn)化 成二次函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解 . 由于函數(shù)的定義域?yàn)? ?1xx ?, 所以設(shè)1tx??,? ?0t ?. 則函數(shù)化為? ? ? ?2 10y t t t t?? ? ? ? ?. 由? ? ? ?22 131024y t t t t t???? ? ? ? ? ? ? ?????, 則函數(shù)? ?t?在? ?0, ??上是增函數(shù)， 于是，? ? ? ?2130 0 124yt ????? ? ? ? ? ?????， 所以函數(shù)的值域?yàn)? ?1yy ?. 解法 3. 直接用函數(shù)的性質(zhì)求解 . 由于函數(shù)的定義域?yàn)? ?1xx ?, 且函數(shù)? ? 1y f x x x? ? ?在? ?1, ??上是增函數(shù)， 所以 , ? ? ? ?1 1 1 1 1y f x f? ? ? ? ?, 即函數(shù)的值域?yàn)? ?1yy ?. 比較這三個(gè)解 法 , 解法 3 優(yōu)于解法 2, 解法 2 又優(yōu)于解法 1. 這是因?yàn)?, 解法 3 直接運(yùn)用了函數(shù)的性質(zhì) , 解法 2, 通過轉(zhuǎn)化之后再運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì) , 可見 , 具備函數(shù)思想 , 用函數(shù)性質(zhì)求解的優(yōu)越之處 . 【例 4 】 ( 1997 年 , 全國卷 ) 甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米 / 小時(shí)，已知 汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米 / 小時(shí)）的平方成正比，且比例系數(shù)為b，固定部分為a元． （ Ⅰ ） 把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米 / 小時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域． （ Ⅱ ） 為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大的速度行駛？ 【分析及解】 （ Ⅰ ）? ?cvvabvSvvSbvSay ??????????????? 02 （ Ⅱ ） 為了求ay S b vv???? ????的最小值 ,有的人選擇了用均值不等式求解 : 22aay S b v S b v S a bvv??? ? ? ? ? ?????. 從而 , 全程運(yùn)輸成本的最小值是2 S a b. 這個(gè)解法有沒有問題 ? 我們來分析一下 . 上面的不等式取得等號(hào)的條件是abvv?, 即bav ?, 但是 , 函數(shù)的定義域是? ?0, c, 那么 ,bav ?是否屬于定義域呢 ? 如果? ?0,avcb??, 用均值不等式的方法就不能求出全程運(yùn)輸成本的最小值 . 因此 , 這個(gè)方法并不完美 . 而站在函數(shù)的角度 , 利用函數(shù)的性質(zhì) , 通過求函數(shù)的值域的方法求最小值 , 是一個(gè)很好的選擇 . 函數(shù)可化為? ?0aby S v v cv????????????? ? ? ? ( 1) 當(dāng)cba?時(shí)，函數(shù)aby S vv????????????在0 vc??時(shí)是減函數(shù) , 所以cv ?時(shí)有最小值???????? bccaSym i n； ( 2) 當(dāng)cba?時(shí)，函數(shù)aby S vv????????????在0avb??時(shí)是減函數(shù) , 在avcb??時(shí)是增函數(shù) , 所以bav ?有 最小值abSy 2m i n ?. 3. 是不是想到 構(gòu)造函數(shù) . 構(gòu)造函數(shù)解題是函數(shù)思想在解題方法中的具體體現(xiàn) . 【例 1 】 （ 2020 全國 Ⅰ 卷，理）設(shè)函數(shù)() xxf x e e ???． （ Ⅰ ） 證明：()fx的導(dǎo)數(shù)( ) 2fx? ?； （ Ⅱ ） 若對所有0x ?都有()f x ax?，求a的取值范圍． 【分析及解】 （ Ⅰ ）()fx的導(dǎo)數(shù)( ) e exxfx ?? ??． 由于 22x x x xe e e e ?? ? ? ?, 故( ) 2fx? ?. （當(dāng)且僅當(dāng)0x ?時(shí)等號(hào)成立）． （ Ⅱ ） 構(gòu)造函數(shù)( ) ( )g x f x ax??，則( ) ( ) e exxg x f x a a??? ? ? ? ? ?， 若對所有0x ?都有()f x ax?等價(jià)于若對所有0x ?, 都有( ) 0gx ?, 即等價(jià)于? ?0,x ? ? ?時(shí) ,m in( ) 0gx ?. （ ⅰ ）若2a ?，當(dāng)0x ?時(shí)，( ) 2 0xxg x e e a a?? ? ? ? ? ? ?， 故()gx在? ?0 ?， ∞上為增函數(shù)，所以 ,? ?m in( ) 0g x g?, 所以，0x ?時(shí)，( ) ( 0)g x g?，即()f x ax?． （ ⅱ ）若2a ?，方程( ) 0gx? ?的正根為 214ln2aax???， 此時(shí)，若1( 0 )xx? ，則( ) 0gx? ?， ()gx在該區(qū)間為減函數(shù)．若? ?1 ,xx? ? ?, ()gx在該區(qū)間為增函數(shù) ,所以? ?m in 1()g x g x?. 然而 ,1( 0 )xx? ，時(shí)，( ) ( 0 ) 0g x g??，即? ?m in 1( ) 0g x g x??, 從而1( 0 )xx? ，時(shí) ,()f x ax?，與題設(shè)()f x ax?相矛盾． 綜上，滿足條件的 a 的取值范圍是? ?2? ∞ ，． 【例 2 】 ( 1997 全國卷 ) 設(shè)二次函數(shù)? ? ? ?20f x ax bx c a? ? ? ?, 方程? ? 0f x x??的兩個(gè)實(shí)根12,xx，滿足1210 xxa? ? ?. ( Ⅰ ) 當(dāng)? ?10,xx?時(shí) , 證明? ? 1x f x x??。 ( Ⅱ ) 略 【分析及解】 ( Ⅰ ) 由于12,xx是方程? ? 0f x x??的兩個(gè)實(shí)根 , 所以可以從整體上考慮? ?f x x?, 為此 , 構(gòu)造函數(shù)? ? ? ?F x f x x??, 設(shè)? ?Fx ? ? ?f x x? ? ? ? ?12a x x x x? ? ?. 要 證 明? ? 1x f x x??, 就 需 要 證 明? ?Fx ? ? ?f x x?0?, 以及? ?1x f x? ? ?1 0x x F x? ? ? ?. 因?yàn)?210 xxa? ? ?, 則120 , 0 , 0a x x x x? ? ? ? ?, 因此? ?f x x? ? ? ? ?12a x x x x? ? ?0?, 即? ?x f x?, 又? ?1x f x? ? ?1x x F x? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2x x a x x x x? ? ? ? ?? ? ? ?12 1x x ax ax? ? ? ?, 由21xa?得210 ax??, 又有10xx ??, 于是 , ? ?1x f x? 0,?即? ? 1f x x?, 所以 , ? ? 1x f x x??. ( Ⅱ ) 略 【例 3 】 （ 2020 年，全國卷）已知nmi ,是正整數(shù)，且 1 ＜i≤m＜n． ( Ⅰ ) 略 ； ( Ⅱ ) 證明 nm )1( ?＞mn )1( ?． 【分析及解】 研究第 ( Ⅱ ) 問 . ? ? ? ?11nmmn? ? ? ? ? ? ?l n 1 l n 1n m m n? ? ? ? ? ? ? ?l n 1 l n 1mnmn???? . 為此 , 可以 構(gòu)造函數(shù)? ?? ?l n 1 xgxx?? ( 2 )x ?, 只要證明? ?? ?xxxg??1ln為減函數(shù)就可以了 . 由 ? ?? ?? ? ? ?? ?011ln1ln12????????xxxxxxg, 則? ?? ?xxxg??1ln為減函數(shù) , 由nm ??2可得 ? ? ? ?ngmg ? 因而 ? ? ? ?nnmm ??? 1ln1ln, 于是 , nm )1( ?＞mn )1( ?成立 . 【例 4 】 （ 2020 年湖南卷，理） 已知函數(shù)( ) s i nf x x x??, 數(shù)列 {na} 滿 足 : 110 1 , ( ) , 1 , 2 , 3 , .nna a f a n?? ? ? ? 證明 : （ Ⅰ ）101 nnaa ?? ? ?。 （ Ⅱ ）3116nnaa??. 【分析及解】 （ Ⅰ ） 先用數(shù)學(xué)歸 納法證明01 na??，1 , 2 , 3 ,n ?， ( i ). 當(dāng)1n ?時(shí) , 由已知顯然結(jié)論成立 . ( ii ). 假設(shè)當(dāng)nk?時(shí)結(jié)論成立 , 即01 ka??. 因?yàn)?1 x??時(shí) 39。 ( ) 1 c os 0f x x? ? ?, 所以? ?fx在 ( 0 , 1) 上是增函數(shù) . 又? ?fx在 [ 0, 1] 上連續(xù) , 從而1( 0 ) ( ) ( 1 ) , 0 1 sin 1 1kkf f a f a ?? ? ? ? ? ?即. 故1nk ??時(shí) , 結(jié)論成立 . 由 ( i ) 、 ( ii ) 可知，01 na??對一切正整數(shù)都成立 . 又因?yàn)?1 na??時(shí)，1 si n si n 0n n n n n na a a a a a? ? ? ? ? ? ? ?， 所以1nnaa? ?，綜上所述101 nnaa ?? ? ?． （ Ⅱ ） 構(gòu)造 函數(shù)31( )