【正文】 ? ?, 故( ) 2fx? ?. （當且僅當0x ?時等號成立）． （ Ⅱ ） 構(gòu)造函數(shù)( ) ( )g x f x ax??，則( ) ( ) e exxg x f x a a??? ? ? ? ? ?， 若對所有0x ?都有()f x ax?等價于若對所有0x ?, 都有( ) 0gx ?, 即等價于? ?0,x ? ? ?時 ,m in( ) 0gx ?. （ ⅰ ）若2a ?，當0x ?時，( ) 2 0xxg x e e a a?? ? ? ? ? ? ?， 故()gx在? ?0 ?， ∞上為增函數(shù)，所以 ,? ?m in( ) 0g x g?, 所以，0x ?時，( ) ( 0)g x g?，即()f x ax?． （ ⅱ ）若2a ?，方程( ) 0gx? ?的正根為 214ln2aax???， 此時，若1( 0 )xx? ，則( ) 0gx? ?， ()gx在該區(qū)間為減函數(shù)．若? ?1 ,xx? ? ?, ()gx在該區(qū)間為增函數(shù) ,所以? ?m in 1()g x g x?. 然而 ,1( 0 )xx? ，時，( ) ( 0 ) 0g x g??，即? ?m in 1( ) 0g x g x??, 從而1( 0 )xx? ，時 ,()f x ax?，與題設(shè)()f x ax?相矛盾． 綜上，滿足條件的 a 的取值范圍是? ?2? ∞ ，． 【例 2 】 ( 1997 全國卷 ) 設(shè)二次函數(shù)? ? ? ?20f x ax bx c a? ? ? ?, 方程? ? 0f x x??的兩個實根12,xx，滿足1210 xxa? ? ?. ( Ⅰ ) 當? ?10,xx?時 , 證明? ? 1x f x x??。 當1n ?時，,23)4(21,10010???? aaaa ∴20 10 ??? aa； 2176。nna a n??? ? ? N （ Ⅱ ） 求數(shù)列}{ na的通項公式 an. 【分析及解】 （ Ⅰ ） 解法 1. 把11( 4 ) , .2nnna a a n??? ? ? N看作一個函數(shù) , 其中把na看作自變量 , 把1na ?看作na的函數(shù) , 即設(shè))4(21)( xxxf ??. 由此啟發(fā)得? ? .22221])2(4[21)4(21 221??????????? kkkkkaaaaa 于是 ,2?ka 又因為? ?21112 2 0 ,22k k k k k k ka a a a a a a?? ? ? ? ? ? ? ? ?所以 kk aa ?? 1, 由以上有1 2 , 。 ( ) 6 2f x x??, 得3 , 2ab? ? ?. 所以 ? ? 232f x x x??. 又因為點( , )( )nn S n ?? N均在函數(shù)()y f x?的圖像上，所以232nS n n??. 當 n ≥2 時，? ?221( 3 2 ) 3 1 2 ( 1 ) 6 5n n na S S n n n n n???? ? ? ? ? ? ? ? ? ???。 由橢圓1C可知 ,22 y? ? ?, 因此 , 求使圓2C與橢圓1C有公共點的r的集合 , 等價于在定義域為? ?2 , 2y ??的情況下 , 求函數(shù)? ?2252 1 04r f y y y? ? ? ? ?值域 . 由? ? ? ?4 5 42 1 , 2 9 , ,55f f f??? ? ? ?????可得? ?fy的值域是2541,5r???????, 即541,5r??? ????, 它的補集就是圓2C與橢圓1C沒有公共點的r的集合 , 因此 , 兩條曲線沒有公共點的r的取值范圍是01 r??或545r ? 圖 1 1（ 2 ） 思路 2. 用方程思想來思考 . 兩條曲線沒有公共點 , 等價于方程2252 1 0 04y y r? ? ? ? ?或者沒有實數(shù)根，或者兩個根? ?12, 2 , 2yy ??. 若沒有實數(shù)根，則 ? ?254 4 1 0 0 ,4r??? ? ? ? ? ????? 解得 545r ?或545r ??. ( 由0r ?,545r ??舍去 ). 若兩個根? ?12, 2 , 2yy ??，設(shè)225( ) 2 1 0 ,4y y y r? ? ? ? ? ?則 22( 2 ) 9 0 ,( 2 ) 1 0 .rr??? ? ? ??? ? ? ?? 解得01 r??. 因此 , 兩條曲線沒有公共點的 r 的取值范圍是01 r??或545r ?. 【 例 2 】 已知集合? ?22( , ) ( 1 ) ( 1 ) 1M x y x x y y? ? ? ? ? ?, 則集合 M 表示的圖形是 ( ) . A . 直線 B . 線段 C . 拋物線 D . 圓 【分析及解】 初看此題 , 可能不知如何下手 , 會進行平方等運算 , 然而會發(fā)現(xiàn) ,運 算 較為 復(fù)雜 , 我們放棄 繁 瑣的運算 , 而用函數(shù)和變量來思考 . 思路 1. 把式子中的字母,xy看作變量 , 把等式中出現(xiàn)的代 數(shù)式看作函數(shù) . 等式化為2221111x x y yyy? ? ? ? ? ? ??? 構(gòu)造函數(shù)2( ) 1 ( )f x x x x? ? ? ? R, 則上式就是( ) ( )f x f y??, 由于 , 函數(shù)2( ) 1 ( )f x x x x? ? ? ? R為 R 上的增函數(shù) , 則 ,xy??即??所以 , 集合 M 表示的圖形是直線 . 故選 A. 這個問題的解決是函數(shù)思想的勝利 . 我們還可以用另一種函數(shù)來思考 . 思路 2. 構(gòu)造一個常見的函數(shù)2( ) l g ( 1 ) ( )g x x x x? ? ? ? R, 則()gx為 R 上的增函數(shù) ,且為奇函數(shù) . 又已知等式可化為 22( ) ( ) l g ( 1 ) l g ( 1 ) l g 1 0g x g y x x y y? ? ? ? ? ? ? ? ? 于是有 ( ) ( ) ( )g x g y g y? ? ? ?,因此,xy??即?? 所以 ,集合 M 表示的圖形是直線 .故選 ( A ) . 思路 3. 以方程的知識為切入點 , 設(shè)22 1 , 1 ,s x x t y y? ? ? ? ? ? 于是 ,st分別是方程22 2 1 0 , 2 1 0s x s t y t? ? ? ? ? ?的正根 . 由此可得112 0 , 2 0 ,s x t yst? ? ? ? ? ?相加并注意到 1st ? , 2 ( ) 0 ,sts t x yst?? ? ? ? ?即?? 所以 , 集合 M 表示的圖形是直線 . 故選 A. 從以上兩個例題可以 認識到函數(shù)和方程思想 的基本內(nèi)涵 . F. 克萊因有一句名言： “ 一般受教育者在數(shù)學(xué)課上應(yīng)該學(xué)會的重要事情使用變量和函數(shù)來思考。 ” 什么是函數(shù)和方程思想？ 我們先從兩個例題談起。 在高考復(fù)習(xí)時，要充分認識數(shù)學(xué)思想在提高解題能力的重要性，有意識地在復(fù)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)思想。 ”( 《 2020年普通高考數(shù)學(xué)科試題評價報告》（教育部考試中心） ) 3. 考試中心對教學(xué)與復(fù)習(xí)的建議 : 在考試中心對數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的建議中指出： “ 數(shù)學(xué)思想方法較之數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識有更高的層次．具有觀念性的地位， 如果說數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可用文字和符號來記錄和描述，那么 數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)意識，只 能領(lǐng)會、運用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認識、處理和解決 . ” ． “ 數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識的同時獲得 ，與此同時又應(yīng)該領(lǐng)會它們在形成知識中的作用， 到了 復(fù)習(xí)階段應(yīng)該對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)基本方法進行疏理、總結(jié)，逐個認識它們的本質(zhì)特征、思維程序或者操作程序，逐步做到自覺地、靈活地施用于所要解決的問題． 近幾年來，高考的每一道數(shù)學(xué)試題幾乎都考慮到數(shù)學(xué)思想方法或數(shù)學(xué)基本方法的運用，目的也是加強這些方面的考查 . 同樣 , 這些高考試題也成為檢驗數(shù)學(xué)知識 , 同時又是檢驗數(shù)學(xué)思想方法的良好素材 , 復(fù)習(xí)時可以有意識地加以運用 .”. ( 二 ) 數(shù)學(xué)思想方法的三個層次 : 數(shù)學(xué)基本方法 包括： 待定系數(shù)法，換元法，配方法，割補法，反證法等； 數(shù)學(xué)邏輯方法 （或思維方法）包括： 分析與綜合。 高考數(shù)學(xué)科提出 “ 以能力立意命題 ” ，正是為了更好地考查數(shù)學(xué)思想，促進考生數(shù)學(xué)理性思維的發(fā)展。 第 4 次轉(zhuǎn)化： 第 ( Ⅱ 問 ) 把212 1 xxtmm ????轉(zhuǎn)化為??? 12 tmm 82 ?a的問題 ； 第 5 次轉(zhuǎn)化 : 把??? 12 tmm 82 ?a轉(zhuǎn)化 為??? 12 tmm ? ?aT m ax的問題 ； 第 6 次轉(zhuǎn)化：把??? 12 tmm ? ?aT m ax又轉(zhuǎn)化為022 ??? tmm對? ?1,1??t恒成立的問題 ； 第 7 次轉(zhuǎn)化： 把022 ??? tmm對? ?1,1??t恒成立的問題 轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)? ? ?tg 22 ?? mmt 0?對? ?1,1??t恒成立問題 . 第 8 次轉(zhuǎn)化：把? ? ?tg 22 ?? mmt 0?對? ?1,1??t恒成立問題轉(zhuǎn)化為求? ?gt的最小值的問題． 這 8 次轉(zhuǎn)化 每一次轉(zhuǎn)化都是把生題化為熟題 . ② 函數(shù) 與 方程思想 : 在解題過程中 ,我們多次把代數(shù)式看作函數(shù) , 第 1 次是 把? ? 22 ??? axxx?看作是 x 的函數(shù)； 第 2 次是 把? ? ?aT 82 ?a看作是 a 的函數(shù)； 第 3 次是? ? ?tg 22 ?? mmt看作是t的函 數(shù)。 若0?m,? ?tg是t的一次函數(shù) , 這樣 , 要使? ? 0?tg對? ?1,1??t恒成立 , 只要? ? 01 ??g及? ? 01 ?g同時成立即可 ( 圖 3 ， 4) . 解不等式組 ? ?? ?????????????.021,02122mmgmmg 得2??m或2?m. 所以存在實數(shù)m, 使不等式??? 12 tmm21 xx ?對任意Aa ?,? ?1,1??t恒成立 ., 其取值范圍是? ?22 ??? mmm 或. 圖 4圖 3這一試題的解題過程是以數(shù)學(xué)思想作指導(dǎo)的解題過程 . ① 化歸 與轉(zhuǎn)化 思想 : 在解題規(guī)程中進行了幾次化歸 和 轉(zhuǎn)化 . 第 1 次轉(zhuǎn)化：把三次函數(shù)? ? ? ?23 243f x x a x x x? ? ? ? R 在區(qū)間? ?1,1?上是增函數(shù) 轉(zhuǎn)化為在這一區(qū)間? ? 0?? xf的問題 。 ( Ⅱ ) 設(shè)關(guān)于x的方程? ? 3312 xxxf ??的兩個非零實根為21 , xx. 試問 : 是否存在實數(shù)