【正文】 ， ( i ). 當(dāng)1n ?時(shí) , 由已知顯然結(jié)論成立 . ( ii ). 假設(shè)當(dāng)nk?時(shí)結(jié)論成立 , 即01 ka??. 因?yàn)?1 x??時(shí) 39。 當(dāng)? ?0 , 1x ?時(shí) , 3( ) 3 1 0f x ax x? ? ? ?可化為 2331axx??, 把代數(shù)式2331xx?看作函 數(shù)設(shè)? ?2331gxxx??, 則? ?? ?43 1 2 xgxx?? ?, 所以 ,? ?gx在10,2??? ???上單調(diào)遞增 , 在1,12??????上單調(diào)遞減 , 因此 , 當(dāng)12x ?時(shí) , ? ?gx最大 , ? ?m a x142g x g???? ????, 從而4a ? 當(dāng)? ?1 , 0x ??時(shí) , 3( ) 3 1 0f x ax x? ? ? ?可化為 2331axx??, 當(dāng)? ?1 , 0x ??時(shí) ,? ?? ?43 1 20xgxx?? ??, 所以 ,? ?gx在? ?1 , 0?上單調(diào)遞增 , 因此 ,當(dāng) 1x ?? 時(shí) , ? ?gx最小 , ? ? ? ?m in 14g x g? ? ?, 從而 4a ? . 由以上 , ? 【例 6 】 （ 200 7 廣東卷 , 理 , 文） 已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)2( ) 2 2 3f x a x x a? ? ? ?．如果 函數(shù)()y f x?在區(qū)間[ 1 , 1 ]?上有零點(diǎn)，求a的取值范圍． 【 分析及 解】0a ?時(shí)，不符合題意，所以0a ?, 又 ∴2( ) 2 2 3 0f x ax x a? ? ? ? ?在? ?1 , 1?上有解 2( 2 1 ) 3 2x a x? ? ? ?在? ?1 , 1?上有解 21 2 132xax????在? ?1 , 1?上有解 . 把等式的右邊看作函數(shù) 22132xx??, 設(shè) 22132xyx???,1 , 1x ??????. 問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù) 22132xyx???? ?1 , 1x ??上的值域； 設(shè)32tx??，? ?1 , 1x ??， 則23xt??，? ?1 , 5t ?, 21 ( 3 ) 2 1 7( 6 )22tyttt??? ? ? ? ?， 設(shè) 2277( ) , ( )tg t t g ttt??? ? ?， [ 1 , 7 )t ?時(shí)，( ) 0gt ? ?，此函數(shù)? ?gt單調(diào)遞減， ( 7 , 5 ]t ?時(shí)，( ) 0gt ? ?, 此函數(shù)? ?gt單調(diào)遞增， ∴ 函數(shù) 22132xyx???,? ?1 , 1x ??上的值域是[ 7 3 , 1 ]?， ∴2( ) 2 2 3 0f x ax x a? ? ? ? ?在? ?1 , 1?上有解 等價(jià)于17 3 1a? ? ? 解得1a ?或372a???. 2. 是不是想到運(yùn) 用函數(shù)和方程的性質(zhì) . 【例 1 】 解方程? ?3 4 5 6x x x x x? ? ? ? R. 【分析及解】 不難驗(yàn)證 , 3 3 3 33 4 5 6? ? ?, 即3x ?是方程的一個(gè)解 . 但是 , 方程還有沒有其它的解呢 ? 我們把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù) , 把方程化為 1 2 512 3 6x x x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?. 把方程的左邊看作函數(shù) , 設(shè)? ?1 2 52 3 6xx xfx? ? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ?. 我們研究當(dāng)3x ?時(shí) , 函數(shù)? ?fx的性質(zhì) . 由于xya?, 對(duì)于01 a??是 R 上的減函數(shù) , 則當(dāng)3x ?時(shí) , 有 ? ?3 3 31 2 5 1 2 512 3 6 2 3 6x x xfx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 當(dāng)3x ?時(shí) , 有 ? ?3 3 31 2 5 1 2 512 3 6 2 3 6x x xfx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 , 當(dāng)3x ?時(shí) , 函數(shù)? ? 1fx ?, 即方程沒有3x ?以外的解 . 【例 2 】 解方程5 3 2xxx? ? ? ?. 【分析及解】 這個(gè)方程既有 無理函數(shù) , 又有指數(shù)函數(shù) , 直接解有困難 . 5 2 3 xxx? ? ? ?. 把方程的兩邊分別看作是x的函數(shù) . 設(shè) ? ? ? ?5 2 , 3 .xf x x x g x? ? ? ? ? ? ?fx和? ?gx的共同定義域是? ?2xx ?. 顯然 , ? ? ? ? 11 5 1 2 1 3 , 1 3 3 .fg ? ? ? ? ? ? ?所以 ,? ? ? ?11fg ?, 即1x ?是方程的根 . 由于? ?fx是定義域上的減函數(shù) , ? ?gx是定義域上的增函數(shù) , 則當(dāng)1x ?時(shí) ,? ? ? ? ? ? ? ?111f x f g g? ? ?, 當(dāng)12 x??時(shí) ,? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1f x f g g? ? ?, 由此可知 , 1x ?是方程唯一的根 . 【 例 3 】 求函數(shù)1y x x??的值域 . 【分析及解】解法 1. 通過方程的根求值域 . 方程化為1y x x??, 兩邊平方得 ? ?22 2 1 1 0x y x y? ? ? ? ?, ① 由于函數(shù)的定義域?yàn)? ?1xx ?, 則方程 ① 至少有一個(gè)1?的根，這相當(dāng)于解不等式組（ Ⅰ ）與組（ Ⅱ ） , 并求解集的并集 . （ Ⅰ ）? ? ? ?22112 1 4 1 4 3 0 ,2 1 4 31,22 1 4 30.2y y yyyxyyy x y?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???????? ? ?? ? ? ??? 或（ Ⅱ ）? ? ? ?22112 1 4 1 4 3 0 ,2 1 4 31,22 1 4 30.2y y yyyxyyy x y?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???????? ? ?? ? ? ??? 解得1y ?，所以函數(shù)的值域?yàn)? ?1yy ?. 解法 2. 通過換元進(jìn)行轉(zhuǎn)化 成二次函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解 . 由于函數(shù)的定義域?yàn)? ?1xx ?, 所以設(shè)1tx??,? ?0t ?. 則函數(shù)化為? ? ? ?2 10y t t t t?? ? ? ? ?. 由? ? ? ?22 131024y t t t t t???? ? ? ? ? ? ? ?????, 則函數(shù)? ?t?在? ?0, ??上是增函數(shù)， 于是，? ? ? ?2130 0 124yt ????? ? ? ? ? ?????， 所以函數(shù)的值域?yàn)? ?1yy ?. 解法 3. 直接用函數(shù)的性質(zhì)求解 . 由于函數(shù)的定義域?yàn)? ?1xx ?, 且函數(shù)? ? 1y f x x x? ? ?在? ?1, ??上是增函數(shù)， 所以 , ? ? ? ?1 1 1 1 1y f x f? ? ? ? ?, 即函數(shù)的值域?yàn)? ?1yy ?. 比較這三個(gè)解 法 , 解法 3 優(yōu)于解法 2, 解法 2 又優(yōu)于解法 1. 這是因?yàn)?, 解法 3 直接運(yùn)用了函數(shù)的性質(zhì) , 解法 2, 通過轉(zhuǎn)化之后再運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì) , 可見 , 具備函數(shù)思想 , 用函數(shù)性質(zhì)求解的優(yōu)越之處 . 【例 4 】 ( 1997 年 , 全國卷 ) 甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米 / 小時(shí)，已知 汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米 / 小時(shí)）的平方成正比，且比例系數(shù)為b，固定部分為a元． （ Ⅰ ） 把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米 / 小時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域． （ Ⅱ ） 為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大的速度行駛？ 【分析及解】 （ Ⅰ ）? ?cvvabvSvvSbvSay ??????????????? 02 （ Ⅱ ） 為了求ay S b vv???? ????的最小值 ,有的人選擇了用均值不等式求解 : 22aay S b v S b v S a bvv??? ? ? ? ? ?????. 從而 , 全程運(yùn)輸成本的最小值是2 S a b. 這個(gè)解法有沒有問題 ? 我們來分析一下 . 上面的不等式取得等號(hào)的條件是abvv?, 即bav ?, 但是 , 函數(shù)的定義域是? ?0, c, 那么 ,bav ?是否屬于定義域呢 ? 如果? ?0,avcb??, 用均值不等式的方法就不能求出全程運(yùn)輸成本的最小值 . 因此 , 這個(gè)方法并不完美 . 而站在函數(shù)的角度 , 利用函數(shù)的性質(zhì) , 通過求函數(shù)的值域的方法求最小值 , 是一個(gè)很好的選擇 . 函數(shù)可化為? ?0aby S v v cv????????????? ? ? ? ( 1) 當(dāng)cba?時(shí)，函數(shù)aby S vv????????????在0 vc??時(shí)是減函數(shù) , 所以cv ?時(shí)有最小值???????? bccaSym i n； ( 2) 當(dāng)cba?時(shí)，函數(shù)aby S vv????????????在0avb??時(shí)是減函數(shù) , 在avcb??時(shí)是增函數(shù) , 所以bav ?有 最小值abSy 2m i n ?. 3. 是不是想到 構(gòu)造函數(shù) . 構(gòu)造函數(shù)解題是函數(shù)思想在解題方法中的具體體現(xiàn) . 【例 1 】 （ 2020 全國 Ⅰ 卷，理）設(shè)函數(shù)() xxf x e e ???． （ Ⅰ ） 證明：()fx的導(dǎo)數(shù)( ) 2fx? ?； （ Ⅱ ） 若對(duì)所有0x ?都有()f x ax?，求a的取值范圍． 【分析及解】 （ Ⅰ ）()fx的導(dǎo)數(shù)( ) e exxfx ?? ??． 由于 22x x x xe e e e ?? ?