【正文】 后的圖形；②∠BAC=90176。（如圖）附加題：如圖，若以△ABC的邊AB、AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角△ABE和△ACD，其它條件不變，試探究線段DE與AM之間的關(guān)系．【分析】（1）分三種情況討論，當(dāng)∠BAC=90176。，易得△ABC≌△AED；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得ED=2AM；進(jìn)而可以在∠BAC＞90176。與∠BAC＜90176。時(shí)，比較可得有ED=2AM的結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，選?、谝椎么鸢福窘獯稹拷猓海?）分三種情況；當(dāng)∠BAC=90176。，M是BC的中點(diǎn)∴AM=BM=MC=∠EAD=∠BAC=90176。，AE=AB，AC=AD∴△ABC≌△AED∴ED=BC∴ED=2AM當(dāng)∠BAC＞90176。，易得ED=2AM當(dāng)∠BAC＜90176。，易得ED=2AM（2）已知（1）的結(jié)論，若∠BAC=90176。，可得ED=2AM附加：結(jié)合上題可得：2AM=DE延長CA到F使AF=AC，連接BF易證△ABF≌△ADE∴BF=DE∵2AM=BF∴2AM=DE．【點(diǎn)評】本題為探究性題目，要求學(xué)生能全面考查可能出現(xiàn)的情況，并依次求出其中的關(guān)系．　27．（2012?中山模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90176。，∠A=60176。，AB=12cm，若點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以2cm/秒的速度向A點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/秒的速度向C點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)P、Q分別從B、A同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動時(shí)間為t秒．解答下列問題：（1）用含t的代數(shù)式表示線段AP，AQ的長；（2）當(dāng)t為何值時(shí)△APQ是以PQ為底的等腰三角形？（3）當(dāng)t為何值時(shí)PQ∥BC？【分析】（1）由題意，可知∠B=30176。，AC=6cm．BP=2t，AP=AB﹣BP，AQ=t．（2）若△APQ是以PQ為底的等腰三角形，則有AP=AQ，即12﹣2t=t，求出t即可．（3）若PQ∥BC，則有AQ：AC=AP：AB．從而問題可求．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90176。，∠A=60176。，∴∠B=30176。．又∵AB=12cm，∴AC=6cm，BP=2t，AP=AB﹣BP=12﹣2t，AQ=t．（2）∵△APQ是以PQ為底的等腰三角形，∴AP=AQ，即12﹣2t=t，解得t=4，即當(dāng)t=4秒時(shí)△APQ是等腰三角形．（3）∵當(dāng)AQ：AC=AP：AB時(shí)，有PQ∥BC，∴t：6=（12﹣2t）：12，解得t=3．即當(dāng)t=3秒時(shí)，PQ∥BC．【點(diǎn)評】此題考查等腰三角形的判定和直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用能力．　28．（2015秋?杭州校級期中）如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，若動點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動，且速度為每秒2cm，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，CP把△ABC的周長分成相等的兩部分．（2）當(dāng)t為何值時(shí)，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，并求出此時(shí)CP的長；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？【分析】（1）先由勾股定理求出△ABC的斜邊AB=10cm，則△ABC的周長為24cm，所以當(dāng)CP把△ABC的周長分成相等的兩部分時(shí)，點(diǎn)P在AB上，此時(shí)CA+AP=BP+BC=12cm，再根據(jù)時(shí)間=路程247。速度即可求解；（2）根據(jù)中線的性質(zhì)可知，點(diǎn)P在AB中點(diǎn)時(shí)，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，進(jìn)而求解即可；（3）△BCP為等腰三角形時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：①CP=CB；②BC=BP；③PB=PC．【解答】解：（1）△ABC中，∵∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，∴△ABC的周長=8+6+10=24cm，∴當(dāng)CP把△ABC的周長分成相等的兩部分時(shí)，點(diǎn)P在AB上，此時(shí)CA+AP=BP+BC=12cm，∴t=12247。2=6（秒）；（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB中點(diǎn)時(shí)，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，此時(shí)CA+AP=8+5=13（cm），∴t=13247。2=（秒），∴CP=AB=10=5cm；（3）△BCP為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①如果CP=CB，那么點(diǎn)P在AC上，CP=6cm，此時(shí)t=6247。2=3（秒）；如果CP=CB，那么點(diǎn)P在AB上，CP=6cm，此時(shí)t=（秒）（點(diǎn)P還可以在AB上，此時(shí)，作AB邊上的高CD，利用等面積法求得CD=，再利用勾股定理求得DP=，所以BP=，AP=，所以t=（8+）247。2=（秒））②如果BC=BP，那么點(diǎn)P在AB上，BP=6cm，CA+AP=8+10﹣6=12（cm），此時(shí)t=12247。2=6（秒）；③如果PB=PC，那么點(diǎn)P在BC的垂直平分線與AB的交點(diǎn)處，即在AB的中點(diǎn)，此時(shí)CA+AP=8+5=13（cm），t=13247。2=（秒）；綜上可知，當(dāng)t=，△BCP為等腰三角形．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的周長與面積，三角形的中線，難度適中．利用分類討論的思想是解（3）題的關(guān)鍵．　29．（2015秋?泰興市校級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90176。，AC=6cm，BC=8cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t=1時(shí)，求△ACP的面積．（2）t為何值時(shí)，線段AP是∠CAB的平分線？（3）請利用備用圖2繼續(xù)探索：當(dāng)t為何值時(shí)，△ACP是以AC為腰的等腰三角形？（直接寫出結(jié)論）【分析】（1）把t=1代入得出CP=2，利用三角形的面積進(jìn)行解答即可；（2）過P作PE⊥AB，設(shè)CP=2t，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行解答即可；（3）根據(jù)AC=CP，利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）把t=1得出CP=2，所以△ACP的面積=；（2）過P作PE⊥AB，如圖1：CP=2t，BP=（8﹣2t）cm，AE=AC=6cm，PE=CP=2t，BE=10﹣6=4，可得：（8﹣2t）2=（2t）2﹣42解得：t=；（3）如圖2，3，4：因?yàn)椤鰽CP是以AC為腰的等腰三角形，當(dāng)AC=CP=6時(shí)，t1=6247。2=3s；當(dāng)AC=CP=6時(shí)，；當(dāng)AC=AP=6時(shí)，s．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定，三角形的面積，難度適中．利用分類討論的思想是解（3）題的關(guān)鍵．　30．（2010秋?元壩區(qū)期末）如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F．試回答：（1）圖中等腰三角形是　△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC　．猜想：EF與BE、CF之間的關(guān)系是　EF=BE+CF?。碛桑海?）如圖②，若AB≠AC，圖中等腰三角形是　△EOB、△FOC?。诘冢?）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？（3）如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關(guān)系又如何？說明你的理由．【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根據(jù)EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，則EO=BE，OF=FC，則EF=BE+FC．（2）由（1）的證明過程可知：在證△OEB、△OFC是等腰三角形的過程中，與AB=AC的條件沒有關(guān)系，故這兩個(gè)等腰三角形還成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的結(jié)論仍成立．（3）思路與（2）相同，只不過結(jié)果變成了EF=BE﹣FC．【解答】解：（1）圖中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；EF、BE、FC的關(guān)系是EF=BE+FC．理由如下：∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，F(xiàn)O=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF．（2）當(dāng)AB≠AC時(shí)，△EOB、△FOC仍為等腰三角形，（1）的結(jié)論仍然成立．（證明過程同（1））（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE﹣FC．理由如下：同（1）可證得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO﹣FO=BE﹣FC．【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線、角平分線的性質(zhì)等知識．進(jìn)行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．　第40頁（共40頁）