線性代數(shù)盧剛1-3章答案-資料下載頁
2025-06-28 21:47本頁面
【正文】 若，問（1）系數(shù)矩陣的秩是多少？（2）增廣矩陣的秩是多少？（3）該方程組是否有解？有多少解？（4）該方程組對應的齊次線性方程組是否有基礎解系？解：（1）（2）（3），該方程組有解。有無窮多解（4），所以該方程組對應的齊次線性方程組有基礎解系。2．確定的值，使方程組 （1） 有唯一的解；（2）無解；（3）有無窮多解。解：（1） 當時，方程組有唯一解。（2） 沒有無解的情況。（3） 當時，有無窮多解。3．已知方陣為三階非零矩陣，且滿足，試求的值。解：設三階非零矩陣B按列分塊為，不妨設是其非零列，則由得： 根據(jù)A為方陣時，方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式 = 0，所以。4．解下列方程組：（1） 解：（1）得等價方程組 ，取，得通解：或取，代入等價方程組的對應齊次方程組，得到一個基礎解系：，并在等價方程組中令得一個特解：，故方程組的通解為 ，即 （2）解（2），方程組無解。（3）解（3）得等價方程組：，取得： 5．設齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為。證明：必有為該齊次線性方程組的一個非零解，其中為的代數(shù)余子式。解：因為系數(shù)矩陣A的秩為，所以至少有一個元素的代數(shù)余子式不為零，不妨設為的代數(shù)余子式，取代入方程組，由行列式的性質(zhì)得，即為該齊次線性方程組的一個非零解。6．試證：含有個未知量個方程的線性方程組有解的必要條件是行列式，但這個條件不是充分的，試舉一例。證明：必要性：即證“方程組有解”因為方程組有解，所以（未知量個數(shù)），所以階行列式行列式為0不是該方程組有解的充分條件，反例：，但方程組無解。7．設三維列向量問取何值時（1）有的唯一線性表示式，并寫出該表示式；（2）可由線性表出，但表示式不唯一；（3）不能表示成的線性組合。解：設，對應的非齊次線性方程組的增廣矩陣為（1）能由唯一線性表示的充要條件，故當且時，得，故得唯一表示式：（2） 當時，可由線性表出，但表示式不唯一（3） 當時，即不能表示成的線性組合。8．設有線性方程組 問：（1）為何值時，方程組無解？ （2）為何值時，方程組有解？（3）有解時，求其解。解：對線性方程組的增廣矩陣進行初等變換。(1) 當或或時，方程組無解。(2) 當,及時，方程組有解.(3) 當,及時，方程組的增廣矩陣 得等價方程組，令，得方程組的通解：9．設都是階方陣，且，證明：。解：設B按列分塊為, 則即，設方程組的解空間的秩為 因此,故有：10．設是非齊次線性方程組的一個特解，是其導出組的一個基礎解系，令 試證該方程組的任一解可表示成如下形式：其中解：設是非齊次線性方程組的任一個解，則是對應齊次線性方程組 的解，而是方程組的基礎解系，故有所以 令．則得，其中11．設含個未知量的非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為是其個線性無關的解，試證它的任一解可表示為其中解：首先，對于滿足的任意實數(shù)，有，因此是方程組的解．其次，作向量，則是對應齊次方程組的解，且向量組線性無關，因為，若等式成立，即由題設線性無關，因此，故線性無關，因此是方程組的基礎解系，故方程組的任一解向量可表示為其中，即63第 63 頁 共 63 頁
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