【正文】 佳的性能。另一方面，從狀態(tài)空間模型輸出方程可以看出，輸出反饋可視為狀態(tài)反饋的一個特例。因此，采用狀態(tài)反饋應能達到更高的性能指標。狀態(tài)反饋的描述式對線性定常連續(xù)系統229。(A，B，C)，若取系統的狀態(tài)變量來構成反饋，則所得到的閉環(huán)控制系統稱為狀態(tài)反饋系統。狀態(tài)反饋閉環(huán)系統的系統結構可如圖61所示輸出反饋的描述式對線性定常連續(xù)系統229。(A，B，C)，若取系統的輸出變量來構成反饋，則所得到的閉環(huán)控制系統稱為輸出反饋控制系統。輸出反饋控制系統的結構圖如下圖所示。輸出反饋閉環(huán)系統為狀態(tài)能控又能觀的。帶狀態(tài)觀測器的閉環(huán)控制系統帶全維狀態(tài)觀測器的閉環(huán)控制系統的狀態(tài)空間模型，可得該閉環(huán)系統的如下幾點特性：1. 分離特性由閉環(huán)系統狀態(tài)空間模型的狀態(tài)方程可知，整個閉環(huán)系統的特征值由矩陣塊ABK的特征值和矩陣塊AGC的特征值所組成，即由狀態(tài)反饋部分的特征值和狀態(tài)觀測器部分的特征值所組成。這兩部分的特征值可單獨設計(配置)，互不影響，這種特性稱為狀態(tài)反饋控制與狀態(tài)觀測器的分離特性。一般在工程上，為保證有較好的控制精度、快速性和超調量等動態(tài)指標，狀態(tài)觀測器部分AGC的特征值的實部應遠小于狀態(tài)反饋部分ABK的特征值的實部，即更遠離虛軸。2. 傳遞函數的不變性帶觀測器的閉環(huán)系統的傳遞函數陣完全等于直接采用狀態(tài)變量作反饋量的閉環(huán)系統的傳遞函數陣，即狀態(tài)觀測器不改變閉環(huán)系統的傳遞函數陣，也就是不改變閉環(huán)系統的外部輸入輸出特性。3. 狀態(tài)觀測誤差不能控由閉環(huán)控制系統狀態(tài)方程可知，狀態(tài)觀測誤差是不能控的，即不能由外部輸入去影響它。最優(yōu)控制 最優(yōu)控制問題的描述，就是將通常的最優(yōu)控制問題抽象成一個統一描述的數學問題，并用數學語言嚴格地表述出來。最優(yōu)控制問題的描述包括：被控系統的數學模型、目標集、容許控制、性能指標、最優(yōu)控制問題的描述。對許多實際被控系統，在一定精度范圍內，其最優(yōu)控制問題中的數學模型也可以分別采用線性定常系統、線性時變系統和非線性定常系統的狀態(tài)空間表達式來描述。目標集：動態(tài)系統在控制u(t)的作用下總要發(fā)生從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉移，這種轉移可以理解為狀態(tài)空間的一個點或系統狀態(tài)的運動。在最優(yōu)控制問題中，系統運動的初始狀態(tài)(稱初態(tài))通常是已知的，即x(t0)=x0為已知，而所要達到的最終狀態(tài)(稱末態(tài))是控制所要求達到的目標。末態(tài)可以是狀態(tài)空間的一個點，更為一般的情況是末態(tài)要落在事先規(guī)定的范圍內，如要求末態(tài)滿足如下約束條件：g1(x(tf)，tf)=0 g2(x(tf)，tf)163。0。式中，g1(x(tf)，tf)和g2(x(tf)，tf)為關于末態(tài)時刻tf和末態(tài)狀態(tài)x(tf)的非線性向量函數。實際上，該末態(tài)約束條件規(guī)定了狀態(tài)空間中的一個時變的或時不變的集合，此種滿足末態(tài)約束的狀態(tài)集合稱為目標集，記為M，并可表示為M={x(tf)：x(tf)206。Rn，g1(x(tf)，tf)=0，g2(x(tf)，tf)163。0}。有些最優(yōu)控制問題并沒有對末態(tài)加以約束，則該問題的目標集為整個狀態(tài)空間Rn，但此時并不意味著對末態(tài)沒有要求，系統還可以通過下面要介紹的性能指標等約束末態(tài)。至于末態(tài)時刻tf，它可以事先規(guī)定，也可以由對末態(tài)的約束條件和性能指標等約束。容許控制：輸入向量u(t)的各個分量ui(t)往往是具有不同的物理屬性和意義的控制量，在實際系統中，大多數控制量受客觀條件的限制，只能在一定范圍內取值。如飛船控制系統中控制量有大小范圍的限制；又如在控制量為開關量的控制系統中，輸入僅能取有限的幾個值，如1，+1。由控制量約束條件所規(guī)定的點集稱為控制域，并記為U。凡在閉區(qū)間[t0，tf]上有定義，且在控制域U內取值的每一個控制函數u(t)稱為容許控制，并記為u(t)206。U。通常假定容許控制u(t)是一個有界連續(xù)函數或者是分段連續(xù)函數。性能指標：從前面的應用實例可以看出，最優(yōu)控制問題最后歸結到從所有容許控制中找出一種效果最好的控制律，這就需要一個能衡量控制效果好壞或評價控制品質優(yōu)劣的性能指標函數。例如， 飛船控制系統要求所攜帶的燃料最少或到達末態(tài)的時間最短，而連續(xù)攪拌槽系統的性能指標為一個帶函數積分的指標，需求其最小。由于各種最優(yōu)控制問題所要解決的主要矛盾不同，設計者的著眼點不同，因此歸結出的性能指標是不同的。一般形式的性能指標為式中，右邊第1項稱為末態(tài)性能指標，體現了對末態(tài)的要求；第2項稱為積分性能指標，體現了對系統狀態(tài)變化過程中的狀態(tài)x(t)和u(t)的要求。在通常情況下，可將各種不同的性能指標視為一般形式的性能指標的一種特例。如飛船控制系統的性能指標可以視為當S(x(tf)，tf)=m(tf) L(x，u，t)=0時上述一般形式性能指標的一個特例。性能指標函數又稱為指標泛函、目標函數、代價函數和評價函數等。最優(yōu)控制問題的描述：總結上述最優(yōu)控制問題的數學模型、目標集、容許控制以及性能指標，則最優(yōu)控制問題的描述可敘述為“已知被控系統的狀態(tài)方程及給定的初態(tài)為規(guī)定的末態(tài)目標集為M={x(tf)： x(tf)206。Rn， g1(x(tf)，tf)=0， g2(x(tf)，tf)163。0}。求一容許控制u(t)206。U，t206。[t0，tf]，使被控系統由給定的初態(tài)x0出發(fā)，在tft0時刻轉移到目標集M，并使如下性能指標為最小。所謂的“最優(yōu)性”，是指被控系統相對于性能指標函數意義下的最優(yōu)性。不同的性能指標函數，最優(yōu)控制結果是不相同的。動態(tài)規(guī)劃與離散系統最優(yōu)控制所謂連續(xù)系統，即系統方程是用線性或非線性微分方程描述的動態(tài)系統。該類系統的控制問題是與傳統的控制系統和控制元件的模擬式實現相適應的，如模擬式電子運算放大器件、模擬式自動化運算儀表、模擬式液壓放大元件等。隨著計算機技術的發(fā)展及計算機控制技術的日益深入，離散系統的最優(yōu)控制問題也必然成為最優(yōu)控制中需深入探討的控制問題，而且成為現代控制技術更為關注的問題。離散系統的控制問題為人們所重視的原因有二。1) 有些連續(xù)系統的控制問題在應用計算機控制技術、數字控制技術時，通過采樣后成為離散化系統，如許多現代工業(yè)控制領域的實際計算機控制問題。2) 有些實際控制問題本身即為離散系統，如某些經濟計劃系統、人口系統的時間坐標只能以小時、天或月等標記；再如機床加工中心的時間坐標是以一個事件(如零件加工活動)的發(fā)生或結束為標志的。最優(yōu)性原理與離散系統的動態(tài)規(guī)劃法基于對多階段決策過程的研究，貝爾曼在20世紀50年代首先提出了求解離散多階段決策優(yōu)化問題的動態(tài)規(guī)劃法。如今，這種決策優(yōu)化方法在許多領域得到應用和發(fā)展，如在生產計劃、資源配置、信息處理、模式識別等方面都有成功的應用。下面要介紹的是，貝爾曼本人將動態(tài)規(guī)劃優(yōu)化方法成功地應用于動態(tài)系統的最優(yōu)控制問題，即構成最優(yōu)控制的兩種主要求解方法之一的最優(yōu)控制動態(tài)規(guī)劃法。動態(tài)規(guī)劃的核心是貝爾曼最優(yōu)性原理。這個原理歸結為一個基本的遞推公式，求解多階段決策問題時，要從末端開始，逆向遞推，直至始端。動態(tài)規(guī)劃的離散基本形式受到問題的維數的限制，應用有一定的局限性。但是，它用于解決線性離散系統的二次型性能指標的最優(yōu)控制問題特別有效。至于連續(xù)系統的最優(yōu)控制問題的動態(tài)規(guī)劃法，不僅是一種可供選擇的有充分性的最優(yōu)控制求解法，它還揭示了動態(tài)規(guī)劃與變分法、極大值原理之間的關系，具有重要的理論價值。最優(yōu)性原理一般問題的問題描述在函數空間中描述N階段的決策過程，為此先引進下述概念與定義。1) 狀態(tài)向量x(k)，表示過程在k時刻的狀態(tài)。對控制問題，相當于狀態(tài)變量向量。2) 決策向量u(k)，表示過程在k時刻的從某一狀態(tài)轉變?yōu)榱硪粻顟B(tài)的動因。對控制問題，則相當于控制輸入向量。3) 策略{u(0)，u(1)，…，u(N1)}，是個階段的決策所組成的決策集合。4) 代價J，由于狀態(tài)發(fā)生轉移所耗費的代價。對控制問題，相當于性能指標。設在決策u(k)的作用下，發(fā)生了狀態(tài)從x(k)到x(k+1)的轉移。顯然新的狀態(tài)x(k+1)完全取決于原來的狀態(tài)x(k)和所采取的決策u(k)。也可以把這種轉移看成是在決策u(k)作用下的狀態(tài)從x(k)到x(k+1)的一種變換，且這種變換關系是唯一的，并用x(k+1)=f(x(k)，u(k)，k)表示。在每一階段，通常有若干個決策可供選擇，我們用Ω(k)代表第k個階段可供選擇的決策的集合。一般說來，階段不同，其決策集合Ω(k)也不同。下面，我們還用Ω代表全部可供選擇的決策的集合，即Ω=Ω(0)∪Ω(1)∪…∪Ω(N1)對多階段的決策問題，可以詳細描述如下。設系統由決策u(k)，經變換式(7182)把狀態(tài)從x(k)轉移到x(k+1)，其相應耗費的代價為F(x(k)，u(k)，k)，k=0，1，…，N1。現需通過一變換序列f(x(0)，u(0)，0)， f(x(1)，u(1)，1)， …， f(x(N1)，u(N1)，N1)，x(k+1)=f(x(k)，u(k)，k)。將初始狀態(tài)x(0)經x(1)，…，x(N1)轉移到終態(tài)x(N)，與這N次轉移相對應的所耗費的總代價為：試求出一個決策序列{u(0)，u(1)，…，u(N1)}206。Ω，使N階段決策問題的總代價最小。動態(tài)規(guī)劃法是求解多階段決策問題的一種最優(yōu)化方法。這一問題的核心是所謂的最優(yōu)性原理。最優(yōu)性原理可以表述如下：一個最優(yōu)性決策具有這樣的性質，即不論初始狀態(tài)和初始決策如何，對于前面決策所形成的狀態(tài)來說，其余諸決策必須構成一個最優(yōu)決策。離散系統的動態(tài)規(guī)劃法離散系統的最優(yōu)控制問題可以歸結為一個多階段決策優(yōu)化問題，其中決策變量即為其控制輸入變量，總代價為其性能指標泛函。因此，利用前面的多階段決策問題的動態(tài)規(guī)劃法，可得離散系統最優(yōu)控制問題的動態(tài)規(guī)劃解法。21