【正文】 佳的性能。另一方面，從狀態(tài)空間模型輸出方程可以看出，輸出反饋可視為狀態(tài)反饋的一個(gè)特例。因此，采用狀態(tài)反饋應(yīng)能達(dá)到更高的性能指標(biāo)。狀態(tài)反饋的描述式對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng)229。(A，B，C)，若取系統(tǒng)的狀態(tài)變量來(lái)構(gòu)成反饋，則所得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)稱(chēng)為狀態(tài)反饋系統(tǒng)。狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可如圖61所示輸出反饋的描述式對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng)229。(A，B，C)，若取系統(tǒng)的輸出變量來(lái)構(gòu)成反饋，則所得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)稱(chēng)為輸出反饋控制系統(tǒng)。輸出反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)能控又能觀的。帶狀態(tài)觀測(cè)器的閉環(huán)控制系統(tǒng)帶全維狀態(tài)觀測(cè)器的閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，可得該閉環(huán)系統(tǒng)的如下幾點(diǎn)特性：1. 分離特性由閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的狀態(tài)方程可知，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的特征值由矩陣塊ABK的特征值和矩陣塊AGC的特征值所組成，即由狀態(tài)反饋部分的特征值和狀態(tài)觀測(cè)器部分的特征值所組成。這兩部分的特征值可單獨(dú)設(shè)計(jì)(配置)，互不影響，這種特性稱(chēng)為狀態(tài)反饋控制與狀態(tài)觀測(cè)器的分離特性。一般在工程上，為保證有較好的控制精度、快速性和超調(diào)量等動(dòng)態(tài)指標(biāo)，狀態(tài)觀測(cè)器部分AGC的特征值的實(shí)部應(yīng)遠(yuǎn)小于狀態(tài)反饋部分ABK的特征值的實(shí)部，即更遠(yuǎn)離虛軸。2. 傳遞函數(shù)的不變性帶觀測(cè)器的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣完全等于直接采用狀態(tài)變量作反饋量的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣，即狀態(tài)觀測(cè)器不改變閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣，也就是不改變閉環(huán)系統(tǒng)的外部輸入輸出特性。3. 狀態(tài)觀測(cè)誤差不能控由閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)方程可知，狀態(tài)觀測(cè)誤差是不能控的，即不能由外部輸入去影響它。最優(yōu)控制 最優(yōu)控制問(wèn)題的描述，就是將通常的最優(yōu)控制問(wèn)題抽象成一個(gè)統(tǒng)一描述的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言嚴(yán)格地表述出來(lái)。最優(yōu)控制問(wèn)題的描述包括：被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、目標(biāo)集、容許控制、性能指標(biāo)、最優(yōu)控制問(wèn)題的描述。對(duì)許多實(shí)際被控系統(tǒng)，在一定精度范圍內(nèi)，其最優(yōu)控制問(wèn)題中的數(shù)學(xué)模型也可以分別采用線性定常系統(tǒng)、線性時(shí)變系統(tǒng)和非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式來(lái)描述。目標(biāo)集：動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在控制u(t)的作用下總要發(fā)生從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，這種轉(zhuǎn)移可以理解為狀態(tài)空間的一個(gè)點(diǎn)或系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)。在最優(yōu)控制問(wèn)題中，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)(稱(chēng)初態(tài))通常是已知的，即x(t0)=x0為已知，而所要達(dá)到的最終狀態(tài)(稱(chēng)末態(tài))是控制所要求達(dá)到的目標(biāo)。末態(tài)可以是狀態(tài)空間的一個(gè)點(diǎn)，更為一般的情況是末態(tài)要落在事先規(guī)定的范圍內(nèi)，如要求末態(tài)滿足如下約束條件：g1(x(tf)，tf)=0 g2(x(tf)，tf)163。0。式中，g1(x(tf)，tf)和g2(x(tf)，tf)為關(guān)于末態(tài)時(shí)刻tf和末態(tài)狀態(tài)x(tf)的非線性向量函數(shù)。實(shí)際上，該末態(tài)約束條件規(guī)定了狀態(tài)空間中的一個(gè)時(shí)變的或時(shí)不變的集合，此種滿足末態(tài)約束的狀態(tài)集合稱(chēng)為目標(biāo)集，記為M，并可表示為M={x(tf)：x(tf)206。Rn，g1(x(tf)，tf)=0，g2(x(tf)，tf)163。0}。有些最優(yōu)控制問(wèn)題并沒(méi)有對(duì)末態(tài)加以約束，則該問(wèn)題的目標(biāo)集為整個(gè)狀態(tài)空間Rn，但此時(shí)并不意味著對(duì)末態(tài)沒(méi)有要求，系統(tǒng)還可以通過(guò)下面要介紹的性能指標(biāo)等約束末態(tài)。至于末態(tài)時(shí)刻tf，它可以事先規(guī)定，也可以由對(duì)末態(tài)的約束條件和性能指標(biāo)等約束。容許控制：輸入向量u(t)的各個(gè)分量ui(t)往往是具有不同的物理屬性和意義的控制量，在實(shí)際系統(tǒng)中，大多數(shù)控制量受客觀條件的限制，只能在一定范圍內(nèi)取值。如飛船控制系統(tǒng)中控制量有大小范圍的限制；又如在控制量為開(kāi)關(guān)量的控制系統(tǒng)中，輸入僅能取有限的幾個(gè)值，如1，+1。由控制量約束條件所規(guī)定的點(diǎn)集稱(chēng)為控制域，并記為U。凡在閉區(qū)間[t0，tf]上有定義，且在控制域U內(nèi)取值的每一個(gè)控制函數(shù)u(t)稱(chēng)為容許控制，并記為u(t)206。U。通常假定容許控制u(t)是一個(gè)有界連續(xù)函數(shù)或者是分段連續(xù)函數(shù)。性能指標(biāo)：從前面的應(yīng)用實(shí)例可以看出，最優(yōu)控制問(wèn)題最后歸結(jié)到從所有容許控制中找出一種效果最好的控制律，這就需要一個(gè)能衡量控制效果好壞或評(píng)價(jià)控制品質(zhì)優(yōu)劣的性能指標(biāo)函數(shù)。例如， 飛船控制系統(tǒng)要求所攜帶的燃料最少或到達(dá)末態(tài)的時(shí)間最短，而連續(xù)攪拌槽系統(tǒng)的性能指標(biāo)為一個(gè)帶函數(shù)積分的指標(biāo)，需求其最小。由于各種最優(yōu)控制問(wèn)題所要解決的主要矛盾不同，設(shè)計(jì)者的著眼點(diǎn)不同，因此歸結(jié)出的性能指標(biāo)是不同的。一般形式的性能指標(biāo)為式中，右邊第1項(xiàng)稱(chēng)為末態(tài)性能指標(biāo)，體現(xiàn)了對(duì)末態(tài)的要求；第2項(xiàng)稱(chēng)為積分性能指標(biāo)，體現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變化過(guò)程中的狀態(tài)x(t)和u(t)的要求。在通常情況下，可將各種不同的性能指標(biāo)視為一般形式的性能指標(biāo)的一種特例。如飛船控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)可以視為當(dāng)S(x(tf)，tf)=m(tf) L(x，u，t)=0時(shí)上述一般形式性能指標(biāo)的一個(gè)特例。性能指標(biāo)函數(shù)又稱(chēng)為指標(biāo)泛函、目標(biāo)函數(shù)、代價(jià)函數(shù)和評(píng)價(jià)函數(shù)等。最優(yōu)控制問(wèn)題的描述：總結(jié)上述最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型、目標(biāo)集、容許控制以及性能指標(biāo)，則最優(yōu)控制問(wèn)題的描述可敘述為“已知被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程及給定的初態(tài)為規(guī)定的末態(tài)目標(biāo)集為M={x(tf)： x(tf)206。Rn， g1(x(tf)，tf)=0， g2(x(tf)，tf)163。0}。求一容許控制u(t)206。U，t206。[t0，tf]，使被控系統(tǒng)由給定的初態(tài)x0出發(fā)，在tft0時(shí)刻轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集M，并使如下性能指標(biāo)為最小。所謂的“最優(yōu)性”，是指被控系統(tǒng)相對(duì)于性能指標(biāo)函數(shù)意義下的最優(yōu)性。不同的性能指標(biāo)函數(shù)，最優(yōu)控制結(jié)果是不相同的。動(dòng)態(tài)規(guī)劃與離散系統(tǒng)最優(yōu)控制所謂連續(xù)系統(tǒng)，即系統(tǒng)方程是用線性或非線性微分方程描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。該類(lèi)系統(tǒng)的控制問(wèn)題是與傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)和控制元件的模擬式實(shí)現(xiàn)相適應(yīng)的，如模擬式電子運(yùn)算放大器件、模擬式自動(dòng)化運(yùn)算儀表、模擬式液壓放大元件等。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展及計(jì)算機(jī)控制技術(shù)的日益深入，離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題也必然成為最優(yōu)控制中需深入探討的控制問(wèn)題，而且成為現(xiàn)代控制技術(shù)更為關(guān)注的問(wèn)題。離散系統(tǒng)的控制問(wèn)題為人們所重視的原因有二。1) 有些連續(xù)系統(tǒng)的控制問(wèn)題在應(yīng)用計(jì)算機(jī)控制技術(shù)、數(shù)字控制技術(shù)時(shí)，通過(guò)采樣后成為離散化系統(tǒng)，如許多現(xiàn)代工業(yè)控制領(lǐng)域的實(shí)際計(jì)算機(jī)控制問(wèn)題。2) 有些實(shí)際控制問(wèn)題本身即為離散系統(tǒng)，如某些經(jīng)濟(jì)計(jì)劃系統(tǒng)、人口系統(tǒng)的時(shí)間坐標(biāo)只能以小時(shí)、天或月等標(biāo)記；再如機(jī)床加工中心的時(shí)間坐標(biāo)是以一個(gè)事件(如零件加工活動(dòng))的發(fā)生或結(jié)束為標(biāo)志的。最優(yōu)性原理與離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃法基于對(duì)多階段決策過(guò)程的研究，貝爾曼在20世紀(jì)50年代首先提出了求解離散多階段決策優(yōu)化問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。如今，這種決策優(yōu)化方法在許多領(lǐng)域得到應(yīng)用和發(fā)展，如在生產(chǎn)計(jì)劃、資源配置、信息處理、模式識(shí)別等方面都有成功的應(yīng)用。下面要介紹的是，貝爾曼本人將動(dòng)態(tài)規(guī)劃優(yōu)化方法成功地應(yīng)用于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題，即構(gòu)成最優(yōu)控制的兩種主要求解方法之一的最優(yōu)控制動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心是貝爾曼最優(yōu)性原理。這個(gè)原理歸結(jié)為一個(gè)基本的遞推公式，求解多階段決策問(wèn)題時(shí)，要從末端開(kāi)始，逆向遞推，直至始端。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的離散基本形式受到問(wèn)題的維數(shù)的限制，應(yīng)用有一定的局限性。但是，它用于解決線性離散系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題特別有效。至于連續(xù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃法，不僅是一種可供選擇的有充分性的最優(yōu)控制求解法，它還揭示了動(dòng)態(tài)規(guī)劃與變分法、極大值原理之間的關(guān)系，具有重要的理論價(jià)值。最優(yōu)性原理一般問(wèn)題的問(wèn)題描述在函數(shù)空間中描述N階段的決策過(guò)程，為此先引進(jìn)下述概念與定義。1) 狀態(tài)向量x(k)，表示過(guò)程在k時(shí)刻的狀態(tài)。對(duì)控制問(wèn)題，相當(dāng)于狀態(tài)變量向量。2) 決策向量u(k)，表示過(guò)程在k時(shí)刻的從某一狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粻顟B(tài)的動(dòng)因。對(duì)控制問(wèn)題，則相當(dāng)于控制輸入向量。3) 策略{u(0)，u(1)，…，u(N1)}，是個(gè)階段的決策所組成的決策集合。4) 代價(jià)J，由于狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)移所耗費(fèi)的代價(jià)。對(duì)控制問(wèn)題，相當(dāng)于性能指標(biāo)。設(shè)在決策u(k)的作用下，發(fā)生了狀態(tài)從x(k)到x(k+1)的轉(zhuǎn)移。顯然新的狀態(tài)x(k+1)完全取決于原來(lái)的狀態(tài)x(k)和所采取的決策u(k)。也可以把這種轉(zhuǎn)移看成是在決策u(k)作用下的狀態(tài)從x(k)到x(k+1)的一種變換，且這種變換關(guān)系是唯一的，并用x(k+1)=f(x(k)，u(k)，k)表示。在每一階段，通常有若干個(gè)決策可供選擇，我們用Ω(k)代表第k個(gè)階段可供選擇的決策的集合。一般說(shuō)來(lái)，階段不同，其決策集合Ω(k)也不同。下面，我們還用Ω代表全部可供選擇的決策的集合，即Ω=Ω(0)∪Ω(1)∪…∪Ω(N1)對(duì)多階段的決策問(wèn)題，可以詳細(xì)描述如下。設(shè)系統(tǒng)由決策u(k)，經(jīng)變換式(7182)把狀態(tài)從x(k)轉(zhuǎn)移到x(k+1)，其相應(yīng)耗費(fèi)的代價(jià)為F(x(k)，u(k)，k)，k=0，1，…，N1。現(xiàn)需通過(guò)一變換序列f(x(0)，u(0)，0)， f(x(1)，u(1)，1)， …， f(x(N1)，u(N1)，N1)，x(k+1)=f(x(k)，u(k)，k)。將初始狀態(tài)x(0)經(jīng)x(1)，…，x(N1)轉(zhuǎn)移到終態(tài)x(N)，與這N次轉(zhuǎn)移相對(duì)應(yīng)的所耗費(fèi)的總代價(jià)為：試求出一個(gè)決策序列{u(0)，u(1)，…，u(N1)}206。Ω，使N階段決策問(wèn)題的總代價(jià)最小。動(dòng)態(tài)規(guī)劃法是求解多階段決策問(wèn)題的一種最優(yōu)化方法。這一問(wèn)題的核心是所謂的最優(yōu)性原理。最優(yōu)性原理可以表述如下：一個(gè)最優(yōu)性決策具有這樣的性質(zhì)，即不論初始狀態(tài)和初始決策如何，對(duì)于前面決策所形成的狀態(tài)來(lái)說(shuō)，其余諸決策必須構(gòu)成一個(gè)最優(yōu)決策。離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃法離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題可以歸結(jié)為一個(gè)多階段決策優(yōu)化問(wèn)題，其中決策變量即為其控制輸入變量，總代價(jià)為其性能指標(biāo)泛函。因此，利用前面的多階段決策問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃法，可得離散系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法。21