【正文】 son 方程26132131 13 213 13413 121 13 213 R(c)R(c)sehv() ()(c)c(c)2tantan,2R()cR(c)sechRu() c()()c2c()2tantanh2?????? ???? ??????? ????????????? ?? ?? ???? ?.?????? （3116）132131 13 213 13413 121 13 213 R(c)R(c)shv() ,()(c)c(c)+2ot ot2R()cR(c)thRu() c()()c2c()+2otcoth2?????? ???? ??????? ??????????? ?? ?? ??? ?? ,??????（3117） （311 11 R(c)12R(c)112R(c)1 12R(c)114()ev() ,e4()4()eRu() .2 ce4()c???????? ??????????????? ??????????????? ?? ?? ???????? ???? ????紅河學院本科畢業(yè)論文（設計）27118）當 時，即 時，方程（31）有解為0,ac?1,Rcc????? （3121 111 2121 1111()c()sehv() ,R()RR2(c)(c)tan2(c)(c)sehRu() ,2c c()cRR()()tancc2???? ?????????? ????????? ??????? ?? ???? ?? ????? ??119） （3121 111 2121 1111()c(c)shv() ,R()RR2()(c)otc2(c)()cshRu() .2c c()cRR()()otcc2????? ????????? ??????? ????? ?? ????? ?? ??? ??120）4. 總結與展望本文利用首次積分法求得 Drinfel’dSokolovWilson 方程的精確行波解，從開題到完成整個過程并非一帆風順，雖然許多常見的非線性波動方程均可用這，而且同一個方程可能得到的首次積分會不一樣，也就是不唯一，但是如果得到了首次積分，運用首次積分方法可以方便、快捷地求出某些非線性演化方程的精確孤波解，與傳統(tǒng)方法較之主 Drinfel’dSokolovWilson 方程28要的優(yōu)勢是避免了大量復雜和繁瑣的計算，提供精確和簡單行波解的表達式．因此首次積分法在解決某些非線性方程的復雜孤波解時是一種有效并且有著巨大潛力的方法．本文的研究只是初步很淺的得到一些精確解，只研究了 m=1 和 m=2 兩種情況，當 m=3 時情況就會更加復雜，首次積分的形式可能會更多，得到的精確解應該會更多，但是由于本人的實力有限，很難得到 m=3 的首次積分，實在很遺憾，這要是首次積分的不足之處，也許在不久的將來，會有人在這一方面做出突破，得到更好的結果．對于本文的工作，作者提出以下三方面的后續(xù)研究：第一：能否系統(tǒng)的歸納出那些方程可以運用首次積分法求解會簡單方便．第二：關于首次積分法能否結合其他的一些輔助方程方法得到更為精確的解．第三：當 m 比較大是能否有所突破使得計算推演更為簡便快捷 ．紅河學院本科畢業(yè)論文（設計）29參考文獻[1] . Gardner, . Greene, . Kruskal. Method for solving the KdV equation[J]. Phys. Rev. Lett, 1967, 19: 10951097.[2] R. Hirota. Exact solution of the KdV equation for multiple collisious of solutions [J]. Phys. Rev. Lett, 1971, 27: 11921194.[3] . Ablowitz, . Clarkson. Solitions, nonlinear evolution equations and inverse scattering [M]. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1991.[4] W. Malfliet .Solitary wave solutions of nonlinear wave equation [J]. Am J Phys, 1992, 60: 650654.[5] . Wang. The solitary wave solutions for a pound KdVBurgers equation [J]. Phys. Lett. A,1996, 213: 279287.[6] . Fu, . Liu, . Liu. New Jacobi elliptic function expansion and new periodic wave solutions of nonlinear wave equation [J]. Phys. Lett. A, 2022, 290: 7276.[7] . Fen. On explicit exact solutions to the pound BurgersKdV equation [J]. Phys. Lett. A, 2022, 293: 5766.[8] . Fen. Exact solution to an approximate sineGordon equation in (n+1)dimensional space [J]. Phys. Lett. A, 2022, 302: 6476.[9] . Fen, . Wang. The first integral method to the twodimensional BurgeKdV equation [J]. Phys. Lett. A, 2022, 308:173178.[10] . Wang, . Wang, . Zhang. The periodic wave solutions for two systems of nonlinear wave equation [J]. Chin. Phys, 2022, 12(12): 13411348.[11] P. Boito, M. Manna, F. Pempinelli. Flora on a spectral transform of a KdVlike equation related to the Schrodinger operator in the plane [J]. Inverse Problems, 1987, 3(1): 2526.[12] 盧殿臣，楊廣娟．變系數(shù)(2+1) 維非線性色散長波方程新的類孤子解和局域想干結構 [J].應用數(shù)學，2022, 20(4): 777782.[13] 智紅燕，陳勇，張鴻慶．廣義射影 Riccati 方程方法與(2+1)維色散長波方紅河學院本科畢業(yè)論文（設計）30程新的精確行波解 [J] .數(shù)學物理學報，2022, 25A(7): 956964.[14] 楊先林，唐駕時． (2+1)維色散長波方程的行波解 [J]. 廣西師范大學學報(自然科學版)，2022, 26(3)：3336.[15] . Lu, . Liu. A subODE method for generalized Gardner and BBM equation with nonlinear terms of any order [J]. Appl. Math. Comput, 217(2022): 14041407.[16] 閆榮， [J]. 寶雞文理學院學報(自然科學版)，2022,3: 2729.[17] 王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松. 常微分方程 [M]. 北京：高等教育出版社，.[18] S. Abbasbandy, A. Shirzadi. The first integral method for modified BBM equation [J]. Commun Nonlinear Sci Nulat Simulat, 2022, 15: 17591764.紅河學院本科畢業(yè)論文（設計）31附錄表一：輔助方程的 解，242()()()dFpqFr?????????? r p()F?1 12(1)k??2k??sn,k2 2()k??22?c,?3 212k?1dn,k4 ?()???1s(,)(,)???5 2k21k?2k?1nc,k,6 1?221??1d(,)(,)???7 k?k?sc,kn,/c,k?8 1212(1)d(,)(,)/d(,)??9 2k?2k?cs,kn,/s,k?10 1(1)?2kd(,)(,)/d(,)??11 2()k?2k?1s,kn,/s,k?12 22(1)?dc(,)(,)/c(,)??紅河學院本科畢業(yè)論文（設計）32表二：橢圓函數(shù)與雙曲函數(shù)、三角函數(shù)的關系 當 時，我們有以下結果k1?sn(,)tah()??(,k)sech()?dn,k)sech()??s,k)sinh()?d(,k)si()d(,)1(,)ot()(,)co()n(,)coh()??s,k)csh()?ds,k)csh()?d,k)1 當 時，我們有以下結果k0?s(,)si()?(,)os()?n(,)1??sc(,)tan()?sd(,k)si()d(,k)s()(,k)cs()(,k)sec()n(,)1??cs(,)ot()?ds(,)cs()?dc(,)sec()?紅河學院本科畢業(yè)論文（設計）33表三：輔助方程 的解，其中??????234=XABXC????2=??序號1 ??22 2sech,0,44sechABACB?????????????????????22222sec,0,44secAABAB???????????????????????3 ??2sech,0,AC???4 ??2cs,4hAB?????5 1tan,0,?????????6 coth,.2AAB?????紅河學院本科畢業(yè)論文（設計）34致謝首先，感謝我的母校紅河學院這四年來對我的栽培，特別感謝數(shù)學學院為我提供了良好的學習環(huán)境和指導教育，還要感謝各位領導、老師們對我的關懷和指導，使得我在這四年中學到了很多寶貴的知識和進入社會前的指導.本次畢業(yè)論文設計從論文的選題到設計的完成都是在何斌老師的悉心教導下完成的。在整個過程中何老師給予了我耐心指導，糾正我的不良習慣和作風，讓我在制作畢業(yè)論文的過程中深深的體會到科研過程的不易，改變了我生活中懶散，隨意的做事風格，俗話說見賢思齊，何老師的生活作風和治學態(tài)度表示崇高的敬意，嚴格律己，質樸淡泊，求真務實，這些高貴的品質將會影響我一生。感謝我的父母，謝謝您們對我學業(yè)的支持，謝謝您們對我的關愛和教育，因為您們，才會有今天的我，無論未來怎樣，由衷的感謝您們，我才能順利的完成學業(yè)。感謝數(shù)學學院的全體老師，謝謝你們傳授給我知識，特別的感謝易老師對我生活上、思想上、學習上的的幫助。謝謝您們，可愛的老師。還要感謝我的同學們，沒有您們的幫助和支持，我的學習和生活都會一團糟，在此由衷的謝謝您們