構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列(公開課)-資料下載頁
2025-06-24 16:44本頁面
【正文】 由此可知，當時等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何都成立。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項，進而猜出數(shù)列的通項公式，最后再用數(shù)學歸納法加以證明。八、換元法例13 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則故，代入得即因為，故則，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。九、不動點法例14 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個不動點。因為。所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動點，即方程的兩個根，進而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項公式，最后求出數(shù)列的通項公式。例15 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的不動點。因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，故。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動點，即方程的根，進而可推出，從而可知數(shù)列為等差數(shù)列，再求出數(shù)列的通項公式，最后求出數(shù)列的通項公式。十、特征根法例16 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：的相應特征方程為，解之求特征根是，所以。由初始值，得方程組求得從而。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出，從而可得數(shù)列的通項公式。
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