【正文】 2an.∵a1＝1，∴an≠0，∴＝2，∴{an}是公比q＝2的等比數(shù)列，∴an＝2n－1.(2)Sn＝.(3)∵＝Sn＝2n－1，∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)－n＝＝2n＋1－n－2.13．當(dāng)n＝1時，由題意得S1＝3a1＋2，所以a1＝－1；當(dāng)n≥2時，因為Sn＝3an＋2，所以Sn－1＝3an－1＋2；兩式相減得an＝3an－3an－1，即2an＝3an－1.由a1＝－1≠0，得an≠0.所以(n≥2，n∈N*).由等比數(shù)列定義知數(shù)列{an}是首項a1＝－1，公比q＝的等比數(shù)列.所以an＝－()n－1．14．(1)設(shè)第n年所需費用為an(單位萬元)，則a1＝12，a2＝16，a3＝20，a4＝24．(2)設(shè)捕撈n年后，總利潤為y萬元，則y＝50n－[12n＋4]－98＝－2n2＋40n－98．由題意得y＞0，∴2n2－40n＋98＜0，∴10－＜n＜10＋.∵n∈N*，∴3≤n≤17，即捕撈3年后開始盈利.(3)∵y＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，∴當(dāng)n＝10時，y最大＝102．即經(jīng)過10年捕撈盈利額最大，共盈利102＋8＝110(萬元).15．(1)由an＝f(－)，得(an＋1＞0)，∴{}為等差數(shù)列，∴＝＋(n－1)4．∵a1＝1，∴an＝(n∈N*).(2)由，得bn－bn＋1＝∵n∈N*，∴bn－bn＋1＞0，∴bn＞bn＋1(n∈N*)，∴{bn}是遞減數(shù)列.∴bn的最大值為.若存在最小正整數(shù)m，使對任意n∈N*有bn＜成立，只要使b1＝即可，∴m＞.∴對任意n∈N*使bn＜成立的最小正整數(shù)m＝8．16．(1)解：設(shè)不動點的坐標(biāo)為P0(x0，y0)，由題意，得，解得，y0＝0，所以此映射f下不動點為P0(，0).(2)證明：由Pn＋1＝f(Pn)，得，所以xn＋1－＝－(xn－)，yn＋1＝y(tǒng)n.因為x1＝2，y1＝2，所以xn－≠0，yn≠0，所以.由等比數(shù)列定義，得數(shù)列{xn－}(n∈N*)是公比為－1，首項為x1－＝的等比數(shù)列，所以xn－＝(－1)n－1，則xn＝＋(－1)n－1.同理yn＝2()n－1.所以Pn(＋(－1)n－1，2()n－1).設(shè)A(，1)，則|APn|＝.因為0＜2()n－1≤2，所以－1≤1－2()n－1＜1，所以|APn|≤＜2．故所有的點Pn(n∈N*)都在以A(，1)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，即點Pn(xn，yn)存在一個半徑為2的收斂圓.第三章 不等式測試九 不等式的概念與性質(zhì)一、選擇題1．A 2．D 3．A 4．B 5．C提示：3．∵a＞2，b＞2，∴．∵ab＞0，∴ab＞a＋.5．∵1＜x＜10，∴0＜lgx＜1，∴l(xiāng)g(lgx)＜0．又lg2x－lgx2＝lgx(lgx－2)＜0，∴l(xiāng)g2x＜lgx2．故選C.二、填空題6．＞；＜；＝ 7．a(chǎn)＜ab2＜ab 8．a(chǎn)－b∈(27，56)，∈(，3)9．①④；④①；②①；②④(注：答案不唯一，結(jié)論必須是上述四個中的兩個)10．P＜Q提示：8．由60＜a＜84，28＜b＜33－33＜－b＜－28，則27＜a－b＜56，．10．∵(a＋)2－(a＋1)(a＋2)＝＞0，且a＋＞0，(a＋1)(a＋2)＞0，∴a＋＞，又∵0＜b＜1，∴P＜Q.三、解答題11．略解：.證明如下：∵，又a＞b＞0，m＞0，∴b－a＜0，a(a＋m)＞0，∴.12．證明：因為，∴p＞q.13．證明：∵(a3－a＋1)－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，∴當(dāng)a＞1時，(a3－a＋1)＞(a2－a＋1)，又函數(shù)y＝logax單調(diào)遞增，∴M＞N；當(dāng)0＜a＜1時，(a3－a＋1)＜(a2－a＋1)，又函數(shù)y＝logax單調(diào)遞減，∴M＞N.綜上，當(dāng)a＞0，且a≠1時，均有M＞N.14．略解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比是q，等差數(shù)列{bn}的公差是d.由a3＝b3及a1＝b1＞0，得a1q2＝b1＋2d q2＝1＋；由a1≠a3q2≠1，從而d≠0．∴a5－b5＝a1q4－(b1＋4d)＝(b1＋2d)(1＋)－b1－4d＝＞0．∴a5＞b5．測試十 均值不等式一、選擇題1．C 2．B 3．D 4．B 5．A提示：5．∵正數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝cd＝4，∴ab≤(a＋b)2＝4，c＋d≥2＝4，∴等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2，c＝d＝2時取到，∴ab≤c＋d，且等號成立時a，b，c，d的取值唯一.二、填空題6．6；3 7．2；1 8．－5 9．3 10．[－3，1]提示：8．．當(dāng)且僅當(dāng)3－a＝，即a＝－1時，取得最大值－5．9．函數(shù)f(x)＝2log2(x＋2)－log2x的定義域是(0，＋∞)，且f(x)＝2log2(x＋2)－log2x＝≥log28＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時，f(x)取得最小值3．10．由a，b，c成等比數(shù)列，得b2＝ac.∴(3－b)2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac≥4ac＝4b2，整理得b2＋2b－3≤0，解得b∈[－3，1].三、解答題11．略解：.證明如下：∵四個互不相等的正數(shù)a，b，c，d成等比數(shù)列，∴ad＝bc.∴.又a≠d，∴.12．略解：比較與的大小，也就是與的大小.又，從而，當(dāng)t＝1時，；當(dāng)t≠1，0＜a＜1時，；a＞1時，.13．略解：∵．當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時，等號成立，從而的最大值為.∵不等式恒成立，∴a≥，即a的取值范圍是[，＋∞).14．略解：(1)用函數(shù)單調(diào)性的定義可證明：當(dāng)x∈(0，]時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈[，＋∞]時，f(x)在(0，＋∞).(2)由(1)得，當(dāng)≥2時，f(x)在(0，2]上單調(diào)遞減，f(x)在(0，2]上的最小值為f(2)；當(dāng)＜2時，f(x)在(0，]上單調(diào)遞減，在[，2]上單調(diào)遞增，從而f(x)在(0，2]上的最小值為f().∴g(a)＝測試十一 一元二次不等式及其解法一、選擇題1．A 2．D 3．C 4．A 5．B提示：5．①當(dāng)p＝0時，y＝－1，適合題意；②當(dāng)p≠0時，y＝px2－px－1為二次函數(shù)，依題意有．綜合①，②知B正確.二、填空題6．{x|－4＜x＜3 7．. 8．{x|－＜x＜，且x≠09．{x|－1＜x＜0，或3＜x＜4 10．a(chǎn)∈(－∞，－1)∪(0，1)提示：10．x2－(a＋)x＋1＜0(x－a)(x－)＜0．∵該集合為非空集合，∴a＜.即①或②解①得0＜a＜1；解②得a＜－1．綜合①，②得a＜－1，或0＜a＜1．三、解答題11．略解：原不等式(x＋a)(x－3a)＜0．分三種情況討論：①當(dāng)a＜0時，解集為{x|3a＜x＜－a}；②當(dāng)a＝0時，原不等式x2＜0，顯然解集為；③當(dāng)a＞0時，解集為{x|－a＜x＜3a}.12．略解：由3x－4y＋k＝0得，代入x2＋y2－2x＝0，得，即25x2＋(6k－32)x＋k2＝0，令＝(6k－32)2－425k2＞0，解得－8＜k＜2．13．略解：A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x＜－4或x＞2}.當(dāng)a＞0時，C＝{x|a＜x＜3a}，當(dāng)a＝0時，C＝，當(dāng)a＜0時，C＝{x|3a＜x＜a}.(1)A∩B＝{x|2＜x＜3}，欲使A∩B C，則解得1≤a≤2；(2)(UA)∩(UB)＝{x＝|－4≤x≤－2}，欲使(UA)∩(UB)C，則解得－2＜a＜－.14．略解：①當(dāng)a＝0時，原不等式x＞；②當(dāng)a＞0時，由于＝4－4a，所以(1)當(dāng)0＜a＜1時，原不等式；(2)當(dāng)a≥1時，原不等式解集為.③當(dāng)a＜0時，由于＝4－4a＞0，所以原不等式，或.測試十二 不等式的實際應(yīng)用一、選擇題1．A 2．C 3．C 4．A提示：2．依題意，有(300－2x)x－(500＋30x)≥8600，化簡整理為x2－135x＋4550≤0，解得65≤x≤70．3．設(shè)產(chǎn)銷量為每年x(萬瓶)，則銷售收入為70x(萬元)，從中征收附加稅為70x(萬元)，且x＝100－10r，依題意得70(100－10r)≥112，得r2－10r＋16≤0，解得2≤r≤8．4．方法－：(1＋k2)x≤k4＋42．設(shè)．從而，f(k)的最小值是．這說明只要不大于的實數(shù)x必是不等式x≤f(k)的解.由于2＜，0＜，從而選A.方法二：將x＝0，x＝2分別代入不等式進(jìn)行檢驗即可.二、填空題5．81cm2 6．(－4，4) 7．{x|x＜3 8．[0，1]提示：7．∵x|x－2|＜3或2≤x＜3或x＜2，∴不等式f(x)＜3的解集為{x|x＜3}.8．在同一坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y1＝|x＋1|和y2＝kx的圖象進(jìn)行研究.三、解答題9．略解：設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為x，y，則x＋y＋＝2．∴，∴.∴xy≤6－4，∴S＝xy≤3－2，此時三角形為等腰直角三角形.10．略解：由題意：＋＞12，得x＜－40(舍)，或x＞30．＋＞10，解得x＜－50(舍)，或x＞40．即x甲＞30km/h，x乙＞40km/h，∴乙車超過路段限速，應(yīng)負(fù)主要責(zé)任11．略解：－x2＋2x＋a＞0恒成立a＞x2－2x在區(qū)間[－1，3]上恒成立.由于x2－2x在區(qū)間[－1，3]上的最大值是3，從而a＞3．12．略解：設(shè)版面橫向長為xcm，則縱向長為cm，那么紙張橫向長為(x＋8)cm，縱向長為(＋12)cm.∴紙張的面積S＝(x＋8)(＋12)＝2496＋＋12x.∵x＞0，＞0，12x＞0．∴S≥2496＋2＝3456(cm2).當(dāng)且僅當(dāng)＝12x，即x＝40(cm)，＝60(cm).∴紙張的寬為40＋8＝48(cm)，長為60＋12＝72(cm)時，紙的用量最小.測試十三 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題一、選擇題1．D 2．B 3．A 4．A 5．C提示：5．設(shè)軟件買x片，磁盤少買y盒，則約束條件為在可行域內(nèi)的解為(3，2)、(4，2)、(5，2)、(6，2)、(3，3)、(4，3)、(3，4)，共有7個.二、填空題6．四 7．(－2，3) 8．[－3，1] 9．[0，＋∞) 10．2提示：10．分類討論去掉絕對值符號，可得曲線圍成的圖形是邊長為的正方形.三、解答題11．略.12．略解：設(shè)購買35kg的x袋，24kg的y袋，則共花費z＝140x＋，做出目標(biāo)函數(shù)z＝140x＋120y對應(yīng)的一組平行線，觀察在點(1，3)處，z取得最小值500，即最少需要花費500元.13．略解：設(shè)第一種應(yīng)裝x袋，第二種應(yīng)裝y袋，則所獲利潤z＝＋.x，y應(yīng)滿足約束條件直線x＋2y＝300與3x＋2y＝480的交點M(90，105)，z＝＋，此時z＝90＋105＝．∴第一種裝法應(yīng)裝90袋，第二種裝法應(yīng)裝105袋，可使利潤最大，.14．略解：設(shè)甲庫運往A鎮(zhèn)x噸大米，乙?guī)爝\往A鎮(zhèn)y噸大米，易知x，y應(yīng)滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)是z＝2012x＋2510(100－x)＋1512y＋208(80－y)＝37800－10x＋20y.易知目標(biāo)函數(shù)在(0，70)處取最大值，(70，0)處取最小值.(1)甲庫運往A鎮(zhèn)70噸、運往B鎮(zhèn)30噸，乙?guī)齑竺兹窟\往B鎮(zhèn)，總運費最小，為37100元.(2)甲庫全部運往B鎮(zhèn)，乙?guī)爝\10噸給B鎮(zhèn)，70噸給A鎮(zhèn)，總運費最多，.測試十四 不等式全章綜合練習(xí)一、選擇題1．C 2．B 3．C 4．D 5．D二、填空題6．(－2，4)， 7．－1 8． 9．－1≤a≤0 10．(－∞，10]三、解答題11．解：由|x－1|＜6，得－6＜x－1＜6，解得－5＜x＜7．由＞0，得(x－8)(2x－1)＞0，解得x＞8，或x＜.(1)A∩B＝{x|－5＜x＜7∩{x|x＞8，或x＜＝{x|－5＜x＜.(2)∵UA＝{x|x≤－5，或x≥7，∴(UA)∪B＝{x|x≤－5，或x≥7∪{x|x＞8，或x＜＝{x|x≥7，或x＜.12．解：設(shè)此工廠每日需甲種原料x噸，乙種原料y噸，則可得產(chǎn)品z＝90x＋100y(千克).由題意，得上述不等式組表示的平面區(qū)域如右圖所示，陰影部分(含邊界)即為可行域.作直線l：90x＋100y＝0，并作平行于直線l的一組直線與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的M點，且與直線l的距離最大，＋3y＝12和5x＋4y＝20的交點，容易解得，此時z取到最大值．答：當(dāng)每天提供甲原料噸，乙原料噸時，每日最多可生產(chǎn)440千克產(chǎn)品.13．(1)由于34與均不屬于數(shù)集{1，3，4}，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P.由于12，13，16，23，都屬于數(shù)集{1，2，3，6}，∴該數(shù)集具有性質(zhì)P.(2)∵A＝{a1，a2，…，an}具有性質(zhì)P，∴anan與中至少有一個屬于A.由于1≤a1＜a2＜…＜an，∴anan＞an，故ananA.從而1＝∈A，∴a1＝1．∵1＝a1＜a2＜…＜an，∴akan＞an，故akanA(k＝2，3，…，n).由A具有性質(zhì)P可知∈A(k＝1，2，3，…，n).又∵，∴.從而，∴.測試十五 數(shù)學(xué)必修5模塊自我檢測題一、選擇題1．D 2．C