【正文】 1 5 , 4 2 1 , 4 2 3 , 4 23 , 4 2 7 , 4 3 0 , 4 3 0 , 4 3 4 , 4 4 3 , 4 4 5 , 4 4 5 , 4 5 1 , 4 5 4 品種 B ： 3 6 3 , 3 7 1 , 3 7 4 , 3 8 3 , 3 8 5 , 3 8 6 , 3 9 1 , 3 9 2 , 3 9 4 , 3 9 4 , 3 9 5 , 3 9 7 , 3 9 7 , 4 0 0 , 4 0 1 , 4 01 , 4 0 3 , 4 0 6 , 4 0 7 , 4 1 0 , 4 1 2 , 4 1 5 , 4 1 6 , 4 2 2 , 4 3 0 ( 1 ) 畫出品種 A 、 B 畝產(chǎn)數(shù)據(jù)的莖葉圖； ( 2 ) 用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點？ ( 3 ) 通過觀察莖葉圖，對品種 A 與 B 的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進行比較，寫出統(tǒng)計結(jié)論． 解析 ( 1 ) 莖葉圖如圖所示 ( 2 ) 用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)不僅可以看出數(shù)據(jù)的分布狀況，而且可以看出每組中的具體數(shù)據(jù)． ( 3 ) 通過觀察莖葉 圖可以發(fā)現(xiàn)品種 A 的平均每畝產(chǎn)量為 4 1 1 . 1 千克，品種 B 的平均畝產(chǎn)量為 3 9 7 . 8 千克．由此可知，品種 A 的平均畝產(chǎn)量比品種 B 的平均畝產(chǎn)量高．但品種 A 的畝產(chǎn)量不夠穩(wěn)定，而品種 B 的畝產(chǎn)量比較集中在平均產(chǎn)量附近 . 題型十一 方差、標準差的計算方法 例 1 1 . 計算數(shù)據(jù) 5 , 7 , 7 , 8 , 1 0 , 1 1 的標準差、方差． 分析 本題考查樣本數(shù)據(jù)的標準差、方差定義． 解析 ∵ x ＝ (5 ＋ 7 ＋ 7 ＋ 8 ＋ 10 ＋ 1 1 ) 247。 6 ＝ 8 ，且 數(shù)據(jù) x i 5 7 7 8 10 11 x i － x － 3 － 1 － 1 0 2 3 ( x i－ x )2 9 1 1 0 4 9 ∴ s2＝ (9 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 0 ＋ 4 ＋ 9 ) 247。 6 ＝ 4 ， ∴ s ＝ 4 ＝ 2. 所以這組數(shù)據(jù)的方差為 4 ，標準差為 2. 點評 樣本數(shù)據(jù)的方差、標準差的計算量較大，也可采用計算器或計算機進行計算． 計算樣本數(shù)據(jù) x1， x2， ? ， xn的方差、標準差的算法步驟是： 第一步：算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù) x ； 第二步：算出每個樣本數(shù) 據(jù)與樣本平均數(shù) 的差， xi－ x ( i ＝1 , 2 ， ? ， n ) ； 第三 步：算出第二步中 xi－ x ( i ＝ 1 , 2 ， ? ， n ) 的平方； 第四步：算出第三步中 n 個平方數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差； 第五步：算出第四步中平均數(shù)的算術(shù)平方根，即為樣本標準差 . 變式遷移 11 已知一組數(shù)據(jù) x 1 ， x 2 ， ? ， x n 的平均數(shù) x ＝ 5 ，方差 s2＝ 4 ，則數(shù)據(jù) 3 x 1 ＋ 7 , 3 x 2 ＋ 7 ， ? ， 3 x n ＋ 7 的平均數(shù)和標準差分別為 ( ) A ． 1 5 , 3 6 B ． 2 2 , 6 C ． 1 5 , 6 D ． 2 2 , 3 6 答案 B 解析 x ′ ＝3 x 1 ＋ 7 ＋ 3 x 2 ＋ 7 ＋ ? ＋ 3 x n ＋ 7n ＝3 ? x 1 ＋ x 2 ＋ ? ＋ x n ? ＋ 7 nn＝ 3 x ＋ 7 ＝ 22 ， s ′2＝ 32? x 1 － x ?2＋ ? x 2 － x ?2＋ ? ＋ ? x n － x ?2n ＝ 9 s2＝ 36. 題型十二 平均數(shù)、標準差、方差的應用 例 12. 已知母雞產(chǎn)蛋的最佳溫度在 10 ℃ 左右，下面是在甲、乙兩地六個時間測得的溫度，你認為甲、乙兩地哪地更適合母雞產(chǎn)蛋？ 時刻 ( 時 ) 4 8 12 16 20 24 甲 ( ℃ ) － 5 7 15 14 － 4 － 3 乙 ( ℃ ) 1 4 10 7 2 0 解析 ( 1 ) x 甲 ＝16 ( － 5 ＋ 7 ＋ 15 ＋ 14 － 4 － 3) ＝ 4 ， x 乙 ＝16 (1 ＋ 4 ＋ 10 ＋ 7 ＋ 2 ＋ 0) ＝ 4. ( 2 ) 極差：甲地溫度極差＝ 15 － ( － 5) ＝ 20 ；乙地溫度極差＝ 10－ 0 ＝ 10. ( 3 ) 標準差： s 甲 ＝16 [ ? － 5 － 4 ?2＋ ? ＋ ? － 4 － 4 ?2＋ ? － 3 － 4 ?2] ≈ 8 . 4 ； s 乙 ＝16 [ ? 1 － 4 ?2＋ ? ＋ ? 2 － 4 ?2＋ ? 0 － 4 ?2] ≈ 3 . 5 . ( 4 ) 方差 s2甲 ≈ 7 0 . 7 ， s2乙 ≈ 1 2 . 3 . 顯然兩地的平均溫度相等，乙地溫度的極差、標準差、方差較小，說明了乙地溫度波動較小，因此，乙地比甲地更適合母雞產(chǎn)蛋． 點評 通過以樣本數(shù)字特征的分析，可以使我們宏觀掌握總體的數(shù)字特征，為我們在實際問題中判斷、決策提供理論依據(jù)．因此我們在生活、生產(chǎn)實踐中不僅要善于發(fā)現(xiàn)問題，而且要勇于用所學的統(tǒng)計知識去解決問題 . 變式遷移 12 某校高一 ( 1 ) 、 ( 2 ) 班各有 49 名學生 ，兩班在一次數(shù)學測驗中的成績統(tǒng)計如下表： 班級 平均分 眾數(shù) 中位數(shù) 標準差 高一 ( 1 ) 班 79 70 87 1 9 . 8 高二 ( 2 ) 班 79 70 79 5 . 2 ( 1 ) 請你對下面的一段話給予簡要分析： 高一 ( 1 ) 班的小剛回家對媽媽說： “ 昨天的數(shù)學測驗，全班平均79 分，得 70 分的人最多，我得了 85 分，在班里可算是上游了． ” ( 2 ) 請你根據(jù)表中數(shù)據(jù)，對這兩個班的測驗情況進行簡要分析并提出教學建議． 解析 ( 1 ) 由中位數(shù)可知， 85 分排在 25 位之后，位次上講 85 分不能說是上游，但也不能單純以位次來判定學習的好壞 ，小剛得了85 分，說明他對這階段的學習內(nèi)容掌握較好，從學習內(nèi)容掌握上講也可以說位于上游． ( 2 ) 高一 ( 1 ) 班成績的中位數(shù)為 87 分，說明高于 87 分的人數(shù)占一半以上，而平均分為 79 分，標準差又很大，說明低分也很多，兩極分化嚴重，建議加強對學習困難者的幫助．高一 ( 2 ) 班成績的中位數(shù)與平均分都為 79 分，標準差又小，說明學生之間差別較小，學習很差的學生少，但學習優(yōu)異的學生也很少，建議采取措施提高優(yōu)秀率 . 方 法 路 路 通 1 ．三種抽樣方法的共同特點：在抽樣過程中每一個個體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了這些抽樣方法的客觀性和公平性，其中簡單隨機抽樣是最簡單和最基本的抽樣方法，在進行系統(tǒng)抽樣和分層抽樣時都要用到簡單隨機抽樣． 2 ．當總體個數(shù)較少時，用簡單隨機抽樣；當總體個數(shù)較多時，用系統(tǒng)抽樣，當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常常用分層抽樣． 3 ．總體分布估計的方法：用樣本的特征估計總體的特征，當樣本的容量無限增大時，估計就越準確． 4 ．明確掌握幾種表示頻率分布方法的優(yōu)點與不足及每種方法的特點，準確表示出頻率分布． 5 ．由頻率分布的兩個特征可知：要使樣本能夠很好地反映總體的特征，必須隨機抽取代表性較好的樣本． 6 ．要注意在頻率分布直方圖中縱軸代表的量是頻率組距，而不是頻率 . 正 誤 題 題 辨 例 . 如圖是一個容量為 2 0 0 的樣本頻率分布直方圖．請根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)填空： ( 1 ) 樣本數(shù)據(jù)落在 [ 5 , 9 ) 的頻率為 _ _ _ _ _ _ _ _ ； ( 2 ) 樣本數(shù)據(jù)落在 [ 9 , 1 3 ) 的頻率為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 錯解 ( 1 ) 落在 [ 5 , 9 ) 的頻率為 0 . 0 8 . ( 2 ) 落在 [ 9 , 1 3 ) 的頻率為 0 . 0 9 . 點擊 頻率分布直方圖中縱軸表示頻率組距，而不直接表示頻率． 正解 ( 1 ) 落在 [ 5 , 9 ) 的頻率為 0 . 0 8 4 ＝ 0 . 3 2 ； ( 2 ) 落在 [ 9 , 1 3 ) 的頻率為 0 . 0 9 4 ＝ 0 . 3 6 . 答案 ( 1 ) 0 . 3 2 ( 2 ) 0 . 3 6 THANKS