【正文】 2 ?? AE ?8. 隨機(jī)抽樣的其它方法 1) 偏倚抽樣方法 2) 近似抽樣方法 3) 近似 修正抽樣方法 4) 多維分布抽樣方法 5) 指數(shù)分布的抽樣 使用蒙特卡羅方法計(jì)算積分 時(shí)，可考慮將積分 I改寫為 其中 f *(x) 為一個(gè)與 f (x) 有相同定義域的新的分布密度函數(shù)。于是可以這樣計(jì)算積分 I： 這里 Xi 是從 f *(x) 中抽取的第 i 個(gè)子樣。 1) 偏移抽樣方法 ?????? dxxfxgdxxfxf xfxgI )()()()( )()( ****?? dxxfxgI )()( ???????????NiiiiNi iiNiiN XgXWNXgXfXfNXgNI 11 *1* )()(1)()()(1)(1? 由此可以看出 ， 原來(lái)由 f (x) 抽樣 ， 現(xiàn)改為由另一個(gè)分布密度函數(shù) f *(x) 抽樣 ， 并附帶一個(gè)權(quán)重糾偏因子 這種方法稱為偏倚抽樣方法 。 從 f (x) 中抽取的 Xf ， 滿足 而對(duì)于偏倚抽樣 ， 有 一般情況下 ， Xf 是具有分布 f (x) 總體的簡(jiǎn)單子樣的個(gè)體 ， 只代表一個(gè) 。 Xf* 是具有分布 f *(x) 總體的簡(jiǎn)單子樣的個(gè)體 ， 但不代表一個(gè) ， 而是代表 W(Xf*) 個(gè) ，這時(shí) Xf*是帶權(quán) W(Xf*)服從分布 f (x) 。 )()()( * xfxfxW ? dxxfdxdXxP f )()( ???? dxxfdxxfxWdxdXxPXWff )()()()()( *** ?????? 在實(shí)際問(wèn)題中，分布密度函數(shù)的形式有時(shí)是非常復(fù)雜的，有些甚至不能用解析形式給出，只能用數(shù)據(jù)或曲線形式給出。如中子散射角余弦分布多數(shù)是以曲線形式給出的。對(duì)于這樣的分布，需要用近似分布密度函數(shù)代替原來(lái)的分布密度函數(shù)， 用近似分布密度函數(shù)的抽樣代替原分布密度函數(shù)的抽樣 ，這種方法稱為近似抽樣方法。 2) 近似抽樣方法 設(shè) fa(x) ≈ f (x)，即 fa(x) 是 f (x) 的一個(gè)近似分布密度函數(shù)。對(duì)于階梯近似，有 其中， x0， x1， … ， xn為任意分點(diǎn)。在此情況下，近似抽樣方法為： 或 a) 階梯近似 iiixxa xxxfdxxfxfii???? ??? 1* ,)()(1當(dāng) ????????????????????????????ijjijjijjiiiifiaiaiiiaiaiaifffffxxxXxFxFxxxFxFxFxXaa1*11*11**1111111),()()(),()()()(????當(dāng)當(dāng) 對(duì)于梯形近似，有 其中， c 為歸一因子， fi ＝ f (xi) ， x0， x1， … ， xn為任意分點(diǎn)。根據(jù)對(duì)稱抽樣方法，梯形近似抽樣方法為： b) 梯形近似 iiiiiiiia xxxffxxxxfcxf ???????? ?????????? 11111 ,)()( 當(dāng)? ?)1)(()(2))()()()(21121111211111?????????????????????????????iiifiiifiiiiiiaiaiaxxxXxxxXxxfffxFxFxFaa＞ ≤ 除了上述這種近似外，近似抽樣方法還包括對(duì)直接抽樣方法中 分布函數(shù)反函數(shù)的近似處理 ，以及用具有 近似分布的隨機(jī)變量代替原分布的隨機(jī)變量 。 例 23. 正態(tài)分布的近似抽 樣 我們知道，隨機(jī)數(shù) ξ的期望值為 1/2，方差為 1/12，則隨機(jī)變量 漸近正態(tài)分布，因此，當(dāng) n 足夠大時(shí)便可用 Xn 作為正態(tài)分布的近似抽樣。特別是 n＝ 12 時(shí)，有 nnXniin1212111?????? ??????6112212iiiX ?? 對(duì)于任意分布密度函數(shù) f (x) ，設(shè) fa(x) 是 f (x) 的一個(gè)近似分布密度函數(shù)，它的特點(diǎn)是抽樣簡(jiǎn)單，運(yùn)算量小。令 則分布密度函數(shù) f(x) 可以表示為乘加分布形式： 其中 H1(x) 為非負(fù)函數(shù)， f1(x) 為一分布密度函數(shù)。 對(duì) f(x) 而言， fa(x) 是它的近似分布密度函數(shù)，而H1(x) f1(x)正好是這種近似的修正。 3) 近似 修正抽樣方法 )()(inf0)( xfxfmaxf a ??)()()()( 11 xfxHxfmxf a ??? 近似 修正抽樣方法如下： 抽樣效率 由上述近似 修正抽樣方法可以看出 ， 如果近似分布密度函數(shù) fa(x) 選得好 ， m 接近 1， 這時(shí)有很大可能直接從 fa(x) 中抽取 Xfa ， 而只有很少的情況需要計(jì)算與f (x) 有關(guān)的函數(shù) H1(Xf1)。 在乘抽樣方法中 ， 每一次都要計(jì)算 H(Xfa)＝ f (Xfa)／ fa(Xfa)。 因此 ， 當(dāng) f (x) 比較復(fù)雜時(shí) ， 近似 修正抽樣方法有很大好處 。 12)1( MmmE ???11111)(fffffXXXXMXHma??????≤ ≤ ＞ ＞ 例 24. 裂變中子譜分布的近似 修正抽樣 裂變中子譜分布的一般形式為： 其中 A， B， C， Emin， Emax 均為與元素有關(guān)的量。 對(duì)于鈾 235， A=， B=， C=， Emin=0， Emax=∞。 若采用乘減抽樣方法，其抽樣效率約為 。 m a xm in,sh)( EEEBEeCEf AE ????? ? 令 相應(yīng)的 則 從 fa(x) 的抽樣為 從 f1(x) 的抽樣為 ?????? ????????????EAAAAEfAEAEEf a?? 1exp1)(exp)(12? ?EAmEBECAAEH ?? ??????? ???? expsh1)( 21)()()()( 11 EfEHEfmEf a ??? BEECAEfEfmEfaEf aashinf)( )(inf20)(0)( ???? 332ln1)ln(1????AAEAEff a?????? 參數(shù) λ的確定 ， 使 1－ Aλ＞ 0， 且使 H1(E) 的上界 M1 最小 。 裂變中子譜的近似修正抽樣方法為 對(duì)于鈾 235， m≈， M≈， λ≈， 抽樣效率 E≈。 而且近似修正抽樣方法有 概率直接用近似分布抽樣 ， 只計(jì)算一次對(duì)數(shù) 。 因此 ，較之乘減抽樣方法大大節(jié)省了計(jì)算時(shí)間 ， 提高了抽樣效率 。 3321121ln1)ln()(1??????AAXAXMXHmfff????????≤ ≤ ＞ ＞ 為方便起見(jiàn)，這里僅討論二維分布的情況，對(duì)于更高維數(shù)的分布，可用類似的方法處理。 對(duì)于任意二維分布密度函數(shù)，總可以用其邊緣分布密度函數(shù)和條件分布密度函數(shù)的乘積表示 : 其中 fl(x)， f2(y|x) 分別為分布 f (x,y) 的邊緣分布密度函數(shù)和條件分布密度函數(shù)，即 4) 多維分布抽樣方法 ???????????dyyxfyxfxfyxfxyfdyyxfxf),(),()(),()(),()(121)()(),( 21 xyfxfyxf ?? 二維分布密度函數(shù)的抽樣方法是 : 首先由 fl(x) 中抽取 Xf1， 再由 f2(y|Xf1) 中抽樣確定 Yf2 。 對(duì)于多維分布密度函數(shù) ， 也可直接采用類似于一維分布密度函數(shù)的抽樣方法 。 例如 ， 對(duì)如下形式的二維分布密度函數(shù)： 其中 H(x,y) 為非負(fù)函數(shù) ， f1(x,y) 為任意二維分布密度函數(shù) 。 設(shè) M 為 H(x,y) 的上界 ， 則有二維分布的乘抽樣方法如下： ),(),(),( 1 yxfyxHyxf ?1111,),(ffffffYYXMYXH????≤ ＞ 例 25. 下面二維分布密度函數(shù)的抽樣 將 f (x,y) 寫為 其中 用直接抽樣方法分別從 fl(x) 和 f2(y|Xf1) 中抽樣，得到 0,1),( ????yxxeyxfxy)()(),( 21 xyfxfyxf ?? xyexxyfxxf????)(1)(2212121lnln1121?????????fffXYX 前面已經(jīng)介紹了，指數(shù)分布 的直接抽樣為： 這不僅需要計(jì)算對(duì)數(shù)，而且由于要使用偽隨機(jī)數(shù)，受精度的限制，該抽樣值在小概率處即數(shù)值較大處呈現(xiàn)明顯得離散性。 下面介紹兩種抽樣方法可以避免這些問(wèn)題。 5) 指數(shù)分布的抽樣 0,)( ?? ? xexf x?ln??fX 所用隨機(jī)數(shù)的平均個(gè)數(shù) N＝ e2 / ( e－ 1)≈ 方法一 011100?????????????nXnniiiinfii為偶數(shù)＞ ≤ N Y 方法二 00111000????????????????nXnniiiYYYYinfi為偶數(shù)，＞ ≤ N Y ? 作 業(yè) 1) 光子散射后能量分布的抽樣 把光子散射能量分布改寫成如下形式進(jìn)行抽樣： ???????????????? ????????????????? ???222 11111)(1)(xxxxxKxf???? 在 ［ 1, 1+2α］ 上定義如下函數(shù) : 32221221)1()(2)(11)21)((2)(21)(1221)(xxKxHxKxHxfxxf????????????????? ?????????????????????? ＞ ≤ 謝謝觀看 /歡迎下載 BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES. BY FAITH I BY FAIT