通用版中考數(shù)學二輪復習專題12相似三角形探究課件-資料下載頁
2025-06-19 06:01本頁面
【正文】 角坐標系 xOy中 ， O是坐標原點 ， 以 P(1， 1)為圓心的 ⊙ P與 x軸、 y軸分別相切于點 M和點 N， 點 F從點 M出發(fā) ， 沿 x軸正方向以每秒 1個單位長度的速度運動 ， 連結(jié) PF， 過點 P作 PE⊥ PF交 y軸于點 E， 設(shè)點 F運動的時間是 t秒 (t＞ 0)． (1)若點 E在 y軸的負半軸上 (如圖所示 )， 求證： PE＝ PF； (2)在點 F運動過程中 ， 設(shè) OE＝ a， OF＝ b， 試用含 a的代數(shù)式表示 b； (3)作點 F關(guān)于點 M的對稱點 F′， 經(jīng)過 M， E和 F′三點的拋物線的對稱軸交 x軸于點 Q， 連結(jié) F運動過程中 ， 是否存在某一時刻 ， 使得以點 Q， O， E為頂點的三角形與以點 P， M， F為頂點的三角形相似？若存在 ， 請直接寫出 t的值；若不存在 ， 請說明理由． 【 解析 】 (1)連結(jié) PM， PN， 運用△ PMF≌ △ PNE證明 ， (3)分三種情況：當0＜ t＜ 1時 ， 當 1＜ t＜ 2時 ， 當 t＞ 2時 ， 三角形相似時還要分類討論 ， 根據(jù)比例式求出時間 t. 解： ( 1 ) 連結(jié) PM ， PN ， ∵⊙ P 與 x 軸、 y 軸分別相切于點 M 和點 N ， ∴ PM ⊥ MF ， PN ⊥ ON 且 PM ＝ PN ， ∴∠ PMF ＝ ∠ P NE ＝ 90 176。 且 ∠ NPM ＝ 90 176。 ， ∵ PE ⊥ PF ， ∠ NPE ＝ ∠ MPF ＝ 90 176。 － ∠ MPE ， 在 △ PMF 和 △ PNE 中 ，????? ∠ MPF ＝ ∠ NPE ，PM ＝ PN ，∠ PMF ＝ ∠ PNE ， ∴△ P MF ≌△ PNE ( ASA ) ， ∴ PE ＝ PF (2)① 當 t＞ 1時 ， 點 E在 y軸的負半軸上 ， 由 (1)得 △ PMF≌ △ PNE， ∴ NE＝ MF＝ t， PM＝ PN＝ 1， ∴ b＝ OF＝ OM＋ MF＝ 1＋ t， a＝ NE－ ON＝ t－ 1， ∴ b＝ 2＋ a； ② 當 0＜ t≤1時 ， 同理可證 △ PMF≌ △ PNE， ∴ b＝ OF＝ OM＋ MF＝ 1＋ t， a＝ ON－ NE＝ 1－ t， ∴ b＝ 2－ a ( 3 ) ① 如圖 1 ， 當 1 ＜ t ＜ 2 時 ， ∵ F ( 1 ＋ t ， 0 ) ， F 和 F′ 關(guān)于點 M 對稱 ， ∴ F ′ ( 1 － t ， 0 ) ． ∵ 經(jīng)過 M ， E 和 F′ 三點的拋物線的對稱軸交 x 軸于點 Q ， ∴ Q ( 1 －12t ， 0 ) ， ∴ OQ ＝ 1 －12t ， 由 ( 1 ) 得 △ PMF ≌△ PNE ， ∴ NE ＝ MF ＝ t ， ∴ OE ＝ t － 1 ， 當 △ OEQ ∽△ MPF 時 ，OEMP＝OQMF， ∴t － 11＝1 －12tt， 解得 t ＝1 ＋ 174；當 △ OEQ ∽△ MFP 時 ，OEMF＝OQMP， ∴t － 1t＝1 －12t1， 解得 t ＝ 2 . ② 如圖 2 ， 當 t ＞ 2 時 ， ∵ F ( 1 ＋ t ， 0 ) ， F 和 F′ 關(guān)于點 M 對稱 ， ∴ F ′ ( 1 － t ， 0 ) ． ∵ 經(jīng)過 M ， E 和 F′ 三點的拋物線的對稱軸交 x 軸于點 Q ， ∴ Q ( 1 －12t ， 0 ) ， ∴ OQ ＝12t － 1 ， 由 ( 1 ) 得 △ PMF ≌△ PNE ， ∴ NE ＝ MF ＝ t ， ∴ OE ＝ t － 1 ， 當 △ OEQ ∽△ MPF 時 ，OEMP＝OQMF， ∴t － 11＝12t － 1t， 無解； 當 △ OEQ ∽△ MFP 時 ，OEMF＝OQMP， ∴t － 1t＝12t － 11， 解得 t1＝ 2 ＋ 2 ， t2＝ 2 － 2 ( 舍去 ) ． ③ 當 0 ＜ t ＜ 1 時 ， 同理可求 t ＝ 2 － 2 . 綜上可知 ， 當 t ＝1 ＋ 174， t ＝ 2 ， t ＝ 2 ＋ 2 ， t ＝ 2 － 2 時 ， 使得以點 Q ， O ， E 為頂點的三角形與以點 P ， M ， F 為頂點的三角形相似
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