通用版中考數(shù)學二輪復(fù)習專題13特殊四邊形探究課件-資料下載頁
2025-06-20 12:19本頁面
【正文】 一元二次方程 x2－ 25x＋ 144＝ 0的兩個根 (OA＜ OB)， 點 D是線段 BC上的一個動點 (不與點 B， C重合 )， 過點 D作直線 DE⊥ OB， 垂足為 E. (1)求點 C的坐標； (2)連結(jié) AD， 當 AD平分 ∠ CAB時 ， 求直線 AD的解析式； (3)若點 N在直線 DE上 ， 在坐標平面內(nèi) ， 是否存在這樣的點 M， 使得以 C， B，N， M為頂點的四邊形是正方形 ？ 若存在 ， 請直接寫出點 M的坐標；若不存在 ，請說明理由 ． 解： (1)解一元二次方程 x2－ 25x＋ 144＝ 0得 x1＝ 9， x2＝ 16， 又 ∵ OA＜ OB，∴ OA＝ 9， OB＝ 16， 在 Rt△ AOC中 ， ∠ CAB＋ ∠ ACO＝ 90176。 ， 在 Rt△ ABC中 ， ∠ CAB＋ ∠ CBA＝ 90176。 ， ∴∠ ACO＝ ∠ CBA， ∵∠ AOC＝ ∠ COB＝90176。 ， ∴ △ AOC∽ △ COB， ∴ OC2＝ OAOB， ∴ OC＝ 12， ∴ C(0， 12) (2)在 Rt△ AOC和 Rt△ BOC中 ， ∵ OA＝ 9， OC＝ 12， OB＝ 16， ∴ AC＝ 15， BC＝ 20， ∵ AD平分 ∠ CAB， ∴∠ CAD＝ ∠ EAD， ∵ DE⊥ AB，∴∠ ACD＝ ∠ AED＝ 90176。 ， 又 ∵ AD＝ AD， ∴ △ ACD≌ △ AED(AAS)，∴ AE＝ AC＝ 15， ∴ OE＝ AE－ OA＝ 15－ 9＝ 6， BE＝ 10， ∵∠ DBE＝ ∠ ABC， ∠ DEB＝ ∠ ACB＝ 90176。 ， ∴ △ BDE∽ △ BAC， ∴DEAC＝BEBC， ∴ DE ＝152， ∴ D ( 6 ，152) ．設(shè)直線 AD 的解析式是 y ＝ kx ＋ b ， ∵ 過 A ( － 9 ， 0 ) 和 D 點 ， 代入得????? － 9k ＋ b ＝ 0 ，6k ＋ b ＝152，解得?????k ＝12，b ＝92，直線 AD 的解析式 是 y ＝12x ＋92 ( 3 ) 存在點 M ， 使得 C ， B ， N ， M 為頂點的四邊形是正方形． ① 以 BC 為對角線時 ， 如圖 1 ， 作 BC 的垂直平分線交 BC 于 Q ， 交 x 軸于 F ， 在直線 FQ 上取一點 M ， 使 ∠ CMB ＝ 90 176。 ， 則符 合此條件的點有兩個 ， BQ ＝ CQ ＝12BC ＝ 10 ， ∵∠ B QF ＝ ∠ BOC ＝ 90 176。 ， ∠ QBF ＝ ∠ CB O ， ∴△ BQF ∽△ B OC ， ∴BFBC＝BQOB， ∵ BQ ＝ 10 ， OB ＝ 16 ， BC ＝ 20 ， ∴ BF ＝252， ∴ OF ＝ 16 －252＝72， 即 F (72， 0 ) ， ∵ OC ＝ 12 ， OB ＝ 16 ， Q 為 BC 中點 ， ∴ Q ( 8 ， 6 ) ， 設(shè)直線 QF 的解析式是 y ＝ ax ＋ c ， 代入 得?????6 ＝ 8a ＋ c ，0 ＝72a ＋ c ， 解得?????a ＝43，c ＝－143，∴ 直線 FQ 的解析式是 y ＝43x －143， 設(shè) M 的坐標是 ( x ，43x －143) ， 根據(jù) MQ ＝12BC ＝ 10 和勾股定理 得 ( x － 8 )2＋ (43x －143－ 6 )2＝ 102， 解得 x 1 ＝ 14 ， x 2 ＝ 2 ， 即 M 的坐標是 ( 14 ， 14 ) ， ( 2 ， － 2 ) ． ② 如圖 2 ， 以 BC 為一邊時 ， 過 B 作 BM 3 ⊥ BC ， 且 BM 3 ＝ BC ＝ 20 ， 過 M 3 作 M 3 Q ⊥ OB 于 Q ， 還有一點 M 4 ， CM 4 ＝ BC ＝ 20 ， CM 4 ⊥ BC ， 則 ∠ COB ＝ ∠ M 3 QB ＝ ∠ CBM 3 ＝ 90176。 ， ∴∠ BCO ＋ ∠ CBO ＝ 90176。 ， ∠ CBO ＋ ∠ M 3 BQ ＝ 90176。 ， ∴∠ BCO ＝ ∠ M 3 BQ ， ∵ 在 △ BCO 和 △ M 3 BQ 中????? ∠ BC O ＝ ∠ M 3 BQ ，∠ COB ＝ ∠ BQM 3 ，BC ＝ BM 3 ， ∴ △ BCO≌ △ M3BQ(AAS)， ∴ BQ＝ CO＝ 12， QM3＝ OB＝ 16， OQ＝ 16＋ 12＝ 28， 即 M3的坐標是 (28， 16)， 同理可求出 CT＝ OB＝ 16， M4T＝ OC＝ 12， OT＝ 16－ 12＝ 4， ∴ M4的坐標是 (－ 12， － 4)． 綜上可知 ， 滿足條件的點 M的坐標是 (28， 16)或 (14， 14) 或 (－ 12， － 4)或 (2， － 2)
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