【導讀】外角和任意多邊形的外角和為360°在同一頂點的幾個角的和等于360°三個正三角形和______個正四邊形；＋90n＋120k＝360，整理得__________________，________，k＝________，即用________塊正方形，1．n邊形的內(nèi)角和定理的應用；[解析]設(shè)該多邊形的邊數(shù)為n，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB＋∠CBA＝180°.又∵AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，∴在△APB中，∠APB＝180°－＝90°.∴∠DAP＝∠PAB＝∠DPA，∴△ADP是等腰三角形，在Rt△APB中，AB＝10cm，AP＝8cm.類型之三平行四邊形的判定。[2021·泰州]如圖25－2，四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于點E，CF⊥BC交BD于點F，且AE＝CF.

　　

【正文】 BF ⊥ DC 于點 F ， 則 AC ＝ BE ， DE ＝ DC ＋ CE ＝ DC ＋ AB ＝ 6 ， 又 ∵ BD ＝ AC 且 BD ⊥ AC ， ∴△ B DE 是等腰直角三角形， ∴ BF ＝12DE ＝ 3 ， 故可得梯形 ABCD 的面積為12( AB ＋ CD ) BF ＝ 9. 第 27講 ┃ 歸類示例 [ 201 1 南充 ] 如圖 27 － 3 ，四邊形 ABCD 是等腰梯形， AD ∥ BC ，點 E 、 F 在 BC 上，且 BE ＝ CF ，連結(jié) DE 、AF . 求證： DE ＝ AF . 圖 27 － 3 第 27講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 由四邊形 ABCD 是等腰梯形， 得 AB ＝ DC ， ∠ B ＝ ∠ C ，證明 △ D C E ≌△ ABF ，即可證得 DE ＝ AF . 證明： ∵ BE ＝ FC ， ∴ BE ＋ EF ＝ FC ＋ EF ，即 BF ＝ CE . ∵ 四邊形 ABCD 是等腰梯形， ∴ AB ＝ DC ， ∠ B ＝ ∠ C . 在 △ DCE 和 △ ABF 中， ????? AB ＝ DC ，∠ B ＝ ∠ C ，BF ＝ CE ， ∴△ AB F ≌△ DCE ( S AS ) ， ∴ DE ＝ AF . 第 27講 ┃ 歸類示例 利用等腰梯形 的 性質(zhì) 不僅可 證明 兩直線 平行 ， 而且 可證明 兩邊 相等 或 兩個角 相等 ． ? 類型之三 等腰梯形的判定 第 27講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 定義法； 2. 從同一底上的兩個角的大小關(guān)系來判定梯形是等腰梯形； 3. 從兩條對角線的大小關(guān)系來判定梯形是等腰梯形． 第 27講 ┃ 歸類示例 [ 201 1 茂名 ] 如圖 27 － 4 ，在等腰 △ ABC 中，點 D 、 E分別是兩腰 AC 、 BC 上的點，連結(jié) AE 、 BD 相交于點 O ， ∠ 1 ＝∠ 2. ( 1 ) 求證： OD ＝ OE ； ( 2 ) 求證：四邊形 ABED 是等腰梯形； ( 3 ) 若 AB ＝ 3 DE ， △ D C E 的面積為 2 ，求四邊形 ABED 的面積 ． 圖 27 － 4 第 27講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] (1 ) 證明 △ ABD ≌△ BAE ( A SA ) ． (2) 由 (1) 得 AD ＝BE ，再證 DE ∥ AB 即可． (3) △ DCE ∽△ ACB ，利用相似三角形面積比等于相似比的平方求得． 解： (1) 證明： ∵△ ABC 是 等腰三角形， ∴ AC ＝ BC ， ∴∠ BAD ＝ ∠ ABE ， 又 ∵ AB ＝ BA ， ∠ 2 ＝ ∠ 1 ， ∴△ ABD ≌△ B AE ( A SA ) ， ∴ BD ＝ AE . 又 ∵∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∴ OA ＝ OB ， ∴ BD － OB ＝ AE － OA ，即 OD ＝ OE . 第 27講 ┃ 歸類示例 ( 2 ) 證明：由 ( 1 ) 知： OD ＝ OE ， ∴∠ O E D ＝ ∠ O D E ， ∴∠ O E D ＝12( 180 176。 － ∠ DOE ) ， 同理： ∠ 1 ＝12( 180 176。 － ∠ A O B ) ， 又 ∵∠ DOE ＝ ∠ A O B ， ∴∠ 1 ＝ ∠ O E D ， ∴ DE ∥ AB . ∵ AD 、 BE 是等腰三角形兩腰所在的線段 ， ∴ AD 與 BE 不平行， ∴ 四邊形 ABED 是梯形， 又由 ( 1 ) 知 △ ABD ≌△ BAE ， ∴ AD ＝ BE . ∴ 梯形 ABED 是等腰梯形 ． 第 27講 ┃ 歸類示例 ( 3 ) 由 ( 2 ) 可知： DE ∥ AB ， ∴△ D C E ∽△ ACB ， ∴△ D C E 的面積△ ACB 的面積＝??????DEAB2， 即2△ ACB 的面積＝??????DE3 DE2＝19， ∴△ ACB 的面積＝ 18. ∴ 四邊形 ABED 的面積＝ △ ACB 的面積－ △ D C E 的面積＝18 － 2 ＝ 16 . 第 27講 ┃ 歸類示例 證明等腰梯形首先要 滿足 提醒 的 定義 ，再證明兩腰相等，或同一底上的兩角相等，或?qū)蔷€相等即可． ? 類型之四 梯形的綜合應用 第 27講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 常用輔助線； 2. 動態(tài)幾何問題； 3. 梯形與全等、相似、解直角三角形等知識的綜合運用． 第 27講 ┃ 歸類示例 [ 2021 蘇州 ] 如圖 27 － 5 ① ，在梯形 AB C D 中， AD ∥ BC ，∠ A ＝ 60 176。 ，動點 P 從 A 點出發(fā)，以 1 cm /s 的速度沿著A → B → C → D 的方向不停移動，直到點 P 到達點 D 后才停止．已知 △ P AD 的面積 S ( 單位： cm2) 與點 P 移動的時間 t ( 單位： s ) 的函數(shù)關(guān)系如圖 ② 所示，則點 P 從開始移動到停止移動一共用了________ s ( 結(jié)果保留根號 ) ． 圖 27 － 5 (4＋ 2 3) 第 27講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 根據(jù)圖 ② 判斷出 AB 、 BC 的長度，過點 B 作 BE ⊥ AD于點 E ，然后求出梯形 ABCD 的高 BE ，再根據(jù) t ＝ 2 時 △ P A D 的面積求出 AD 的長度，過點 C 作 CF ⊥ AD 于點 F ，然后求出 DF 的長度，利用勾股定理求 出 CD 的長度，然后求出 AB 、 BC 、 CD的和，再求時間． 由圖 ② 可知， t 在 2 s 到 4 s 時， △ P A D 的面積不發(fā)生變化， ∴ 在 AB 上運動的時間是 2 s ，在 BC 上運動的時間是 4 － 2 ＝2( s ) ． ∵ 動點 P 的運動速度是 1 c m /s ， ∴ AB ＝ 2 cm ， BC ＝ 2 c m . 第 27講 ┃ 歸類示例 過點 B 作 BE ⊥ AD 于點 E ，過點 C 作 CF ⊥ AD 于點 F ， 則四邊形 BCFE 是矩形， ∴ BE ＝ CF ， BC ＝ EF ＝ 2 c m . ∵∠ A ＝ 60 176。 ， ∴ BE ＝ AB s in 60 176。 ＝ 2 32＝ 3 ( cm ) ． AE ＝ AB c os 60 176。 ＝ 2 12＝ 1( cm ) ， ∵12 AD BE ＝ 3 3 ，即12 AD 3 ＝ 3 3 ， 第 27講 ┃ 歸類示例 解得 AD ＝ 6 cm ， ∴ DF ＝ AD － AE － EF ＝ 6 － 1 － 2 ＝ 3 ( cm ) ． 在 Rt △ C D F 中， CD ＝ CF2＋ DF2＝ 32＋（ 3 ）2＝ 2 3( cm ) ， ∴ 動點 P 運動的總路程為 AB ＋ BC ＋ CD ＝ 2 ＋ 2 ＋ 2 3 ＝ ( 4 ＋2 3 )( cm ) ． ∵ 動點 P 的運動速度是 1 c m /s ， ∴ 點 P 從開始移動到停止移動一共用了 ( 4 ＋ 2 3 ) 247。1 ＝ ( 4 ＋2 3 )( s ) ． 第 27講 ┃ 歸類示例 動態(tài)幾何開放性數(shù)學問題是近幾年興起的一種新穎題型，一般是某一個點在某一 個圖形上的運動，難度相對較大，對考生綜合分析問題的能力要求較高 ． 主要形式有開放前提、開放結(jié)論兩大類 ． 解答此類問題要注意全面、整體地把握題目的意思，尤其不能漏掉某些情況 .