通用版中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題12相似三角形探究課件-資料下載頁(yè)
2025-06-20 12:19本頁(yè)面
【正文】 角坐標(biāo)系 xOy中 ， O是坐標(biāo)原點(diǎn) ， 以 P(1， 1)為圓心的 ⊙ P與 x軸、 y軸分別相切于點(diǎn) M和點(diǎn) N， 點(diǎn) F從點(diǎn) M出發(fā) ， 沿 x軸正方向以每秒 1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng) ， 連結(jié) PF， 過(guò)點(diǎn) P作 PE⊥ PF交 y軸于點(diǎn) E， 設(shè)點(diǎn) F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是 t秒 (t＞ 0)． (1)若點(diǎn) E在 y軸的負(fù)半軸上 (如圖所示 )， 求證： PE＝ PF； (2)在點(diǎn) F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 ， 設(shè) OE＝ a， OF＝ b， 試用含 a的代數(shù)式表示 b； (3)作點(diǎn) F關(guān)于點(diǎn) M的對(duì)稱點(diǎn) F′， 經(jīng)過(guò) M， E和 F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交 x軸于點(diǎn) Q， 連結(jié) F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 ， 是否存在某一時(shí)刻 ， 使得以點(diǎn) Q， O， E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn) P， M， F為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在 ， 請(qǐng)直接寫出 t的值；若不存在 ， 請(qǐng)說(shuō)明理由． 【 解析 】 (1)連結(jié) PM， PN， 運(yùn)用△ PMF≌ △ PNE證明 ， (3)分三種情況：當(dāng)0＜ t＜ 1時(shí) ， 當(dāng) 1＜ t＜ 2時(shí) ， 當(dāng) t＞ 2時(shí) ， 三角形相似時(shí)還要分類討論 ， 根據(jù)比例式求出時(shí)間 t. 解： ( 1 ) 連結(jié) PM ， PN ， ∵⊙ P 與 x 軸、 y 軸分別相切于點(diǎn) M 和點(diǎn) N ， ∴ PM ⊥ MF ， PN ⊥ ON 且 PM ＝ PN ， ∴∠ PMF ＝ ∠ P NE ＝ 90 176。 且 ∠ NPM ＝ 90 176。 ， ∵ PE ⊥ PF ， ∠ NPE ＝ ∠ MPF ＝ 90 176。 － ∠ MPE ， 在 △ PMF 和 △ PNE 中 ，????? ∠ MPF ＝ ∠ NPE ，PM ＝ PN ，∠ PMF ＝ ∠ PNE ， ∴△ P MF ≌△ PNE ( ASA ) ， ∴ PE ＝ PF (2)① 當(dāng) t＞ 1時(shí) ， 點(diǎn) E在 y軸的負(fù)半軸上 ， 由 (1)得 △ PMF≌ △ PNE， ∴ NE＝ MF＝ t， PM＝ PN＝ 1， ∴ b＝ OF＝ OM＋ MF＝ 1＋ t， a＝ NE－ ON＝ t－ 1， ∴ b＝ 2＋ a； ② 當(dāng) 0＜ t≤1時(shí) ， 同理可證 △ PMF≌ △ PNE， ∴ b＝ OF＝ OM＋ MF＝ 1＋ t， a＝ ON－ NE＝ 1－ t， ∴ b＝ 2－ a ( 3 ) ① 如圖 1 ， 當(dāng) 1 ＜ t ＜ 2 時(shí) ， ∵ F ( 1 ＋ t ， 0 ) ， F 和 F′ 關(guān)于點(diǎn) M 對(duì)稱 ， ∴ F ′ ( 1 － t ， 0 ) ． ∵ 經(jīng)過(guò) M ， E 和 F′ 三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交 x 軸于點(diǎn) Q ， ∴ Q ( 1 －12t ， 0 ) ， ∴ OQ ＝ 1 －12t ， 由 ( 1 ) 得 △ PMF ≌△ PNE ， ∴ NE ＝ MF ＝ t ， ∴ OE ＝ t － 1 ， 當(dāng) △ OEQ ∽△ MPF 時(shí) ，OEMP＝OQMF， ∴t － 11＝1 －12tt， 解得 t ＝1 ＋ 174；當(dāng) △ OEQ ∽△ MFP 時(shí) ，OEMF＝OQMP， ∴t － 1t＝1 －12t1， 解得 t ＝ 2 . ② 如圖 2 ， 當(dāng) t ＞ 2 時(shí) ， ∵ F ( 1 ＋ t ， 0 ) ， F 和 F′ 關(guān)于點(diǎn) M 對(duì)稱 ， ∴ F ′ ( 1 － t ， 0 ) ． ∵ 經(jīng)過(guò) M ， E 和 F′ 三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交 x 軸于點(diǎn) Q ， ∴ Q ( 1 －12t ， 0 ) ， ∴ OQ ＝12t － 1 ， 由 ( 1 ) 得 △ PMF ≌△ PNE ， ∴ NE ＝ MF ＝ t ， ∴ OE ＝ t － 1 ， 當(dāng) △ OEQ ∽△ MPF 時(shí) ，OEMP＝OQMF， ∴t － 11＝12t － 1t， 無(wú)解； 當(dāng) △ OEQ ∽△ MFP 時(shí) ，OEMF＝OQMP， ∴t － 1t＝12t － 11， 解得 t1＝ 2 ＋ 2 ， t2＝ 2 － 2 ( 舍去 ) ． ③ 當(dāng) 0 ＜ t ＜ 1 時(shí) ， 同理可求 t ＝ 2 － 2 . 綜上可知 ， 當(dāng) t ＝1 ＋ 174， t ＝ 2 ， t ＝ 2 ＋ 2 ， t ＝ 2 － 2 時(shí) ， 使得以點(diǎn) Q ， O ， E 為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn) P ， M ， F 為頂點(diǎn)的三角形相似
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