【正文】 AFD, 又 ∠ CFD=180176?！?AFD, ∴∠ CFD=∠ E=55176。, 又 ∵∠ E=∠ C=55176。, ∴∠ BDF=∠ C+∠ CFD=110176。. (3)連接 OE. ∵∠ CFD=∠ E=∠ C, ∴ FD=CD=BD=4. 在 Rt△ ABD中 ,cos B=? ,BD=4,∴ AB=6. ∵ E是 ? 的中點 ,AB是☉ O的直徑 , ∴∠ AOE=90176。. ∵ AO=OE=3,∴ AE=3? . ∵ E是 ? 的中點 , ∴∠ ADE=∠ BAE,又 ∵∠ AEG=∠ DEA, ∴ △ AEG∽ △ DEA. ∴ ? =? ,即 EGED=AE2=18. 23AB︵2AB︵AEEG DEAE思路分析 (1)直接利用圓周角定理得出 AD⊥ BC,勁兒利用線段垂直平分線的性質得出 AB= AC,即可得出 ∠ E=∠ C。 (2)利用圓內接四邊形的性質得出 ∠ AFD=180176?！?E,進而得出 ∠ BDF=∠ C+∠ CFD,即可得出答案 。 (3)根據 cos B=? ,得出 AB的長 ,再求出 AE的長 ,進而得出△ AEG∽ △ DEA,求出答案即可 . 2326.(2022寧夏 ,23,10分 )將一副三角板 Rt△ ABD與 Rt△ ACB(其中 ∠ ABD=90176。,∠ D=60176。,∠ ACB=9 0176。,∠ ABC=45176。)如圖擺放 ,Rt△ ABD中 ∠ D所對直角邊與 Rt△ ACB的斜邊恰好重合 .以 AB為直徑 的圓經過點 C,且與 AD交于點 E,分別連接 EB,EC. (1)求證 :EC平分 ∠ AEB。 (2)求 ? 的值 . ? ACEBECSS解析 (1)證明 :∵ Rt△ ACB中 ,∠ ACB=90176。,∠ ABC=45176。, ∴∠ BAC=∠ ABC=45176。, ∵∠ AEC=∠ ABC,∠ BEC=∠ BAC, ∴∠ AEC=∠ BEC, 即 EC平分 ∠ AEB. (2)如圖 ,設 AB與 CE交于點 M. ∵ EC平分 ∠ AEB, ∴ ? =? . 在 Rt△ ABD中 ,∠ ABD=90176。,∠ D=60176。, ∴∠ BAD=30176。, ∵ 以 AB為直徑的圓經過點 E, ∴∠ AEB=90176。, ∴ tan∠ BAE=? =? , ∴ AE=? BE, AMMB AEEBBEAE 333∴ ? =? =? . 作 AF⊥ CE于 F,BG⊥ CE于 G. 在△ AFM與△ BGM中 , ∵∠ AFM=∠ BGM=90176。,∠ AMF=∠ BMG, ∴ △ AFM∽ △ BGM, ∴ ? =? =? , ∴ ? =? =? =? . ? AMMB AEEB 3AFBG AMMB 3ACEBECSS 1212C E A FC E B G??AFBG 3思路分析 (1)由 Rt△ ACB中 ∠ ABC=45176。,得出 ∠ BAC=∠ ABC=45176。,根據圓周角定理得出 ∠ AEC =∠ ABC,∠ BEC=∠ BAC,等量代換得出 ∠ AEC=∠ BEC,即 EC平分 ∠ AEB. (2)設 AB與 CE交于點 ? =? .易知 ∠ BAD=30176。,由直徑所對的圓 周角是直角得出 ∠ AEB=90176。,解直角△ ABE得到 AE=? BE,那么 ? =? =? .作 AF⊥ CE于 F, BG⊥ CE于 △ AFM∽ △ BGM,根據相似三角形對應邊成比例得出 ? =? =? ,進而求 出 ? =? =? =? . AMMB AEEB3 AMMB AEEB3AFBG AMMB 3ACEBECSS 1212C E A FC E B G??AFBG 3解題關鍵 本題考查了相似三角形的判定與性質 ,圓周角定理 ,銳角三角函數(shù)定義 ,通過作輔助 線得出 ? =? =? 是解題的關鍵 . AFBG AMMB 327.(2022內蒙古呼和浩特 ,24,9分 )如圖 ,已知 AD是△ ABC的外角 ∠ EAC的平分線 ,交 BC的延長 線于點 D,延長 DA交△ ABC的外接圓于點 F,連接 FB,FC. (1)求證 :∠ FBC=∠ FCB。 (2)已知 FA FD=12,若 AB是△ ABC外接圓的直徑 ,FA =2,求 CD的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 AFBC內接于圓 , ∴∠ FBC+∠ FAC=180176。, 又 ∵∠ CAD+∠ FAC=180176。, ∴∠ FBC=∠ CAD,? (1分 ) ∵ AD是△ ABC的外角 ∠ EAC的平分線 , ∴∠ EAD=∠ CAD, 又 ∵∠ EAD=∠ FAB, ∴∠ FAB=∠ CAD.? (2分 ) 又 ∵∠ FAB=∠ FCB,∴∠ FBC=∠ FCB.? (3分 ) (2)由 (1)知 ∠ FBC=∠ FCB,∠ FCB=∠ FAB, ∴∠ FAB=∠ FBC,? (4分 ) 又 ∵∠ BFA=∠ BFD,∴ △ AFB∽ △ BFD.? (5分 ) 于是有 ∠ FBA=∠ FDB,? =? , 即 BF2=FA FD=12,∴ BF=2? .? (6分 ) BFFD FABF3而 FA =2,∴ FD=6,AD=4, ∵ AB為圓的直徑 ,∴∠ BFA=∠ BCA=90176。,? (7分 ) ∴ tan∠ FBA=? =? =? , ∴∠ FBA=30176。,? (8分 ) 又 ∵∠ FBA=∠ FDB, ∴∠ FDB=30176。,∴ CD=2? .? (9分 ) AFBF 22333328.(2022江蘇南京 ,26,8分 )如圖 ,四邊形 ABCD是☉ O的內接四邊形 ,BC的延長線與 AD的延長線 交于點 E,且 DC=DE. (1)求證 ∠ A=∠ AEB。 (2)連接 OE,交 CD于點 F,OE⊥ :△ ABE是等邊三角形 . ? 證明 (1)∵ 四邊形 ABCD是☉ O的內接四邊形 , ∴∠ A+∠ BCD=180176。. 又 ∠ DCE+∠ BCD=180176。, ∴∠ A=∠ DCE. ∵ DC=DE,∴∠ DCE=∠ AEB. ∴∠ A=∠ AEB.? (4分 ) (2)∵∠ A=∠ AEB,∴ △ ABE是等腰三角形 . ∵ OE⊥ CD,∴ CF=DF. ∴ OE是 CD的垂直平分線 .∴ ED=EC. 又 ∵ DC=DE,∴ DC=DE=EC. ∴ △ DCE是等邊三角形 . ∴∠ AEB=60176。. ∴ △ ABE是等邊三角形 .? (8分 ) 29.(2022貴州遵義 ,26,12分 )如圖 ,△ ABC中 ,AB=AC,以 AB為直徑作☉ O,交 BC于點 D,交 CA的延 長線于點 E,連接 AD、 DE. (1)求證 :D是 BC的中點 。 (2)若 DE=3,BDAD=2,求☉ O的半徑 。 (3)在 (2)的條件下 ,求弦 AE的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB為☉ O的直徑 , ∴ AD⊥ BC.? (2分 ) 又 ∵ AB=AC, ∴ D是 BC的中點 .? (4分 ) (2)∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C, 又 ∵∠ B=∠ E,∴∠ C=∠ E,∴ DC=DE, ∴ BD=DE=3,? (5分 ) 又 ∵ BDAD=2,∴ AD=1.? (6分 ) 在 Rt△ ABD中 ,BD=3,AD=1, ∴ AB=? =? =? ,? (7分 ) 則☉ O的半徑為 ? .? (8分 ) (3)解法一 :在△ CAB和△ CDE中 , ∠ B=∠ E,∠ C=∠ C(公共角 ), ∴ △ CAB∽ △ CDE,? (9分 ) 22BD AD? 2231? 10102∴ ? =? ,? (10分 ) ∵ CA=AB=? ,∴ CE=? =? =? ,? (11分 ) ∴ AE=CEAC=? ? ? =? .? (12分 ) CBCECACD10 CB CDCA? 6310?9 1 059510 10 4 1 05解法二 :連接 BE, ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ BEC=90176。.? (9分 ) 在△ ADC和△ BEC中 , ∠ ADC=∠ BEC=90176。,∠ C=∠ C, ∴ △ ADC∽ △ BEC,? (10分 ) ∴ ? =? , ∴ CE=? =? =? ,? (11分 ) CDCE CACBCD CBCA? 3610?9 1 05∴ AE=CEAC=? .? (12分 ) 此題第 (3)問的解法較多 ,請參照給分 . 4 1 05評析 本題考查了圓的有關性質 ,等腰三角形的性質 ,勾股定理 ,相似三角形的性質與判定 .屬 中檔題 . 30.(2022湖北武漢 ,22,8分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,C,P是 ? 上兩點 ,AB=13,AC=5. (1)如圖① ,若點 P是 ? 的中點 ,求 PA的長 。 (2)如圖② ,若點 P是 ? 的中點 ,求 PA的長 . ? ? 圖① 圖② AB︵AB︵BC︵解析 (1)如圖 ,連接 PB,BC. ∵ AB是☉ O的直徑 ,P是 ? 的中點 , ∴ PA =PB,∠ APB=90176。. ∵ AB=13,∴ PA =? AB=? . ? (2)如圖 ,連接 PB, OP交 BC于 D點 . ∵ P是 ? 的中點 ,∴ OP⊥ BC于 D,BD=CD. ∵ OA=OB,∴ OD=? AC=? . ∵ OP=? AB=? , ∴ PD=OPOD=? ? =4. AB︵22 1 3 22BC︵12 5212 132132 52∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。. ∵ AB=13,AC=5,∴ BC=? =12, ∴ BD=? BC=6. ∴ PB=? =2? . ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ APB=90176。,∴ PA =? =3? . ? 22AB AC?1222PD BD? 1322AB PB? 1331.(2022遼寧沈陽 ,22,10分 )如圖 ,☉ O是△ ABC的外接圓 ,AB為直徑 ,OD∥ BC交☉ O于點 D,交 AC 于點 E,連接 AD,BD,CD. (1)求證 :AD=CD。 (2)若 AB=10,cos∠ ABC=? ,求 tan∠ DBC的值 . ? 35解析 (1)證明 :∵ AB為☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。. 又 ∵ OD∥ BC,∴∠ AEO=∠ ACB=90176。. ∴ OD⊥ AC.∴ ? =?. ∴ AD=CD. (2)∵ AB=10, ∴ OA=OD=? AB=5. ∵ OD∥ BC,∴∠ AOE=∠ ABC. 在 Rt△ AEO中 , OE=OAcos∠ AOE=OAcos∠ ABC=5? =3. ∴ DE=ODOE=53=2. 由勾股定理得 ,AE=? =? =4. 在 Rt△ AED中 ,tan∠ DAE=? =? =? . 又 ∵∠ DBC=∠ DAE,∴ tan∠ DBC=? . AD︵ CD︵123522AO OE? 2253?DEAE 24 1212評析 本題綜合考查了圓的知識 ,解直角三角形 ,屬中等難度題 . 32.(2022天津 ,21,10分 )已知☉ O的直徑為 10,點 A,點 B,點 C在☉ O上 ,∠ CAB的平分線交☉ O于點 D. (1)如圖① ,若 BC為☉ O的直徑 ,AB=6,求 AC,BD,CD的長 。 (2)如圖② ,若 ∠ CAB=60176。,求 BD的長 . ? 解析 (1)由 BC為☉ O的直徑 ,得 ∠ CAB=∠ BDC=90176。. 在 Rt△ CAB中 ,BC=10,AB=6, ∴ AC=? =? =8. ∵ AD平分 ∠ CAB,∴ ?= ? .∴ CD=BD. 在 Rt△ BDC中 ,BC=10,CD2+BD2=BC2, ∴ BD2=CD2=50.∴ BD=CD=5? . (2)如圖 ,連接 OB,OD. ? ∵ AD平分 ∠ CAB,且 ∠ CAB=60176。, ∴∠ DAB=? ∠ CAB=30176。.∴∠ DOB=2∠ DAB=60176。. 22BC AB? 2210 6?CD︵ BD︵212又 ∵ 在☉ O中 ,OB=OD,∴ △ OBD是等邊三角形 . ∵ ☉ O的直徑為 10,∴ OB=5,∴ BD=5. 考點二 與圓有關的位置關系 1.(2022重慶 ,9,4分 )如圖 ,已知 AB是☉ O的直徑 ,點 P在 BA的延長線上 ,PD與☉ O相切于點 D,過點 B作 PD的垂線交 PD的延長線于點 ☉ O的半徑為 4,BC=6,則 PA的長為 ? ( ) ? ? 3答案 A 連接 DO,∵ PD與☉ O相切于點 D,∴∠ PDO=90176。.∵ BC⊥ PC,∴∠ PCB=90176。,∴ DO∥ BC,∴ △ POD∽ △ PBC,∴ ? =? ,∴ ? =? ,∴ PA =4,故選 A. POPB ODBC 48PAPA?? 46思路分析 利用切線的性質得出 ∠ PDO=90176。,再利用相似三角形的判定和性質求出結果 . 2.(2022湖南邵陽 ,8,3分 )如圖 ,△ ABC的邊 AC與☉ O相交于 C、 D兩點 ,且經過圓心 O,邊 AB與☉ O