高考數學難點突破-難點31--數學歸納法解題-資料下載頁
2025-06-08 00:20本頁面
【正文】 1+1)(1+)…(1+)與的大小.取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推測：(1+1)(1+)…(1+)＞ (*)①當n=1時，已驗證(*)式成立.②假設n=k(k≥1)時(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞則當n=k+1時，,即當n=k+1時，(*)式成立由①②知，(*)式對任意正整數n都成立.于是，當a＞1時，Sn＞logabn+1,當 0＜a＜1時，Sn＜logabn+1：∵a1a2=－q,a1=2,a2≠0,∴q≠0,a2=－,∵anan+1=－qn,an+1an+2=－qn+1兩式相除，得,即an+2=qan于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn…猜想：a2n+1=－qn(n=1,2,3,…)綜合①②，猜想通項公式為an=下證：(1)當n=1,2時猜想成立(2)設n=2k－1時，a2k－1=2qk－1則n=2k+1時，由于a2k+1=qa2k－1∴a2k+1=2qk即n=2k－1成立.可推知n=2k+1也成立.設n=2k時，a2k=－qk,則n=2k+2時，由于a2k+2=qa2k,所以a2k+2=－qk+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.綜上所述，對一切自然數n,猜想都成立.這樣所求通項公式為an=S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=2(1+q+q2+…+qn1)－ (q+q2+…+qn)由于|q|＜1,∴=依題意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜110
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