【導讀】已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤。2},如果A∩B≠?［例1］設A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=?符號上分辨出所考查的知識點，進而解決問題.屬★★★★★級題目.，這樣難度就降低了.清其實質內涵，因而可能感覺無從下手.的情況進行限制，可得到b、k的范圍，又因b、k∈N,進而可得值.等，需要考生切實掌握.本題主要強化學生的這種能力.屬★★★★級題目.設對事件A、B都贊成的學生人數為x,則對A、B都不贊成的學生人數為3x+1,的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集。兩種可能，此時應分類討論.則a的取值范圍是_________.只有一個元素時，a,b的關系式是_________.－1)＜0及x1x2=1>0知，方程①只有負根，不符合要求.有一根在區(qū)間(0，1］內，從而方程①至少有一個根在區(qū)間［0，2］內.

　　

【正文】 x2+130x－ 500≥ 1300 ∴ x2－ 65x+900≤ 0，∴ (x－ 20)(x－ 45)≤ 0，解得 20≤ x≤ 45 ∴當月產量在 20~45 件之間時，月獲利不少于 1300 元 . (2）由 (1）知 y=－ 2x2+130x－ 500=－ 2(x－ 265 )2+ ∵ x 為正整數，∴ x=32 或 33 時， y 取得最大值為 1612 元， ∴當月產量為 32 件或 33 件時，可獲得最大利潤 1612 元 . 難點 7 奇偶性與單調 性 (一 ) 函數的單調性、奇偶性是高考的重點內容之一，考查內容靈活多樣 .本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調性的定義，掌握判定方法，正確認識單調函數與奇偶函數的圖象 . ●難點磁場 (★★★★ )設 a0,f(x)=xx eaae ? 是 R 上的偶函數， (1)求 a 的值； (2)證明： f(x)在 (0， +∞ )上是增函數 . ●案例探究 ［例 1］已知函數 f(x)在 (－ 1， 1)上有定義， f(21 )=－ 1,當且僅當 0x1 時 f(x)0,且對任意 x、 y∈ (－ 1,1)都有 f(x)+f(y)=f(xyyx??1),試證明： (1)f(x)為奇函數； (2)f(x)在 (－ 1， 1)上單調遞減 . 命題意圖：本題主要考查函數的奇偶性、單調性的判定以及運算能力和邏輯推理能力 .屬★★★★題目 . 知識依托：奇偶性及單調性定義及判定、賦值法及轉化思想 . 錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準確，運算技能不過關，結果很難獲得 . 技巧與方法：對于 (1)，獲得 f(0)的值進而取 x=－ y 是解題關鍵；對于 (2)，判定21121 xxxx?? 的范圍是焦點 . 證明： (1)由 f(x)+f(y)=f(xyyx??1),令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y=－ x,得 f(x)+f(－x)=f(21 xxx??)=f(0)=0.∴ f(x)=－ f(－ x).∴ f(x)為奇函數 . (2)先證 f(x)在 (0， 1)上單調遞減 . 令 0x1x21,則 f(x2)－ f(x1)=f(x2)－ f(－ x1)=f(21121 xxxx?? ) ∵ 0x1x21,∴ x2－ x10,1－ x1x20，∴12121 xxxx?? 0, 又 (x2－ x1)－ (1－ x2x1)=(x2－ 1)(x1+1)0 ∴ x2－ x11－ x2x1, ∴ 012121 xxxx?? 1,由題意知 f(21121 xxxx?? )0 即 f(x2)f(x1). ∴ f(x)在 (0， 1)上為減函數，又 f(x)為奇函數且 f(0)=0. ∴ f(x)在 (－ 1， 1)上為減函數 . ［例 2］設函數 f(x)是定義在 R 上的偶函數，并在區(qū)間 (－∞ ,0)內單調遞增，f(2a2+a+1)f(3a2－ 2a+1).求 a 的取值范圍，并在該范圍內求函數 y=(21 ) 132 ??aa 的單調遞減區(qū)間 . 命題意圖：本題主要考查函數奇偶性、單調性的基本應用以及對復合函數單調性的判定方法 .本題屬于★★★★★級題目 . 知識依托：逆向認識奇偶性、單調性、指數函數的單調性及函數的值域問題 . 錯解分析：逆向思維受阻、條件認識不清晰、復合函數判定程序紊亂 . 技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識 ，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法 . 解：設 0x1x2,則－ x2－ x10，∵ f(x)在區(qū)間 (－∞ ,0)內單調遞增， ∴ f(－ x2)f(－ x1),∵ f(x)為偶函數，∴ f(－ x2)=f(x2),f(－ x1)=f(x1), ∴ f(x2)f(x1).∴ f(x)在 (0， +∞ )內單調遞減 . .032)31(3123,087)41(212 2222 ???????????? aaaaaa又 由 f(2a2+a+1)f(3a2－ 2a+1)得： 2a2+a+13a2－ 2a+，得 0a3. 又 a2－ 3a+1=(a－ 23 )2－ 45 . ∴函數 y=( 21 ) 132 ??aa 的單調減區(qū)間是［ 23 ， +∞］ 結合 0a3,得函數 y=( 23 ) 132 ??aa 的單調遞減區(qū)間為［ 23 ， 3). ●錦囊妙計 本難點所涉及的問題及解決方法主要有： (1)判斷函 數的奇偶性與單調性 若為具體函數，嚴格按照定義判斷，注意變換中的等價性 . 若為抽象函數，在依托定義的基礎上，用好賦值法，注意賦值的科學性、合理性 . 同時，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的“磁場”及“訓練”認真體會，用好數與形的統(tǒng)一 . 復合函數的奇偶性、單調性 .問題的解決關鍵在于：既把握復合過程，又掌握基本函數 . (2)加強逆向思維、數形統(tǒng)一 .正反結合解決基本應用題目，下一節(jié)我們將展開研究奇偶性、單調性的應用 . ●殲滅難點訓練 一、選擇題 1.(★★★★ )下列函數中的奇函數是 ( ) (x)=(x－ 1)xx??1 1 (x)=2|2| )1lg(22???x x (x)=???????? ?? )0( )0(22xxx xxx (x)= xx xx sincos1 cossin1 ?? ?? 2.(★★★★★ )函數 f(x)=11 11 22??? ??? xx xx的圖象 ( ) x 軸對稱 y 軸對稱 x=1 對稱 二、填空題 3.(★★★★ )函數 f(x)在 R 上 為增函數，則 y=f(|x+1|)的一個單調遞減區(qū)間是_________. 4.(★★★★★ )若函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d 滿足 f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0x1x2),且在［ x2,+∞ ) 上單調遞增，則 b 的取值范圍是 _________. 三、解答題 5.(★★★★ )已知函數 f(x)=ax+ 12??xx (a1). (1)證明：函數 f(x)在 (－ 1， +∞ )上為增函數 . (2)用反證法證明方程 f(x)=0 沒 有負數根 . 6.(★★★★★ )求證函數 f(x)=223)1( ?x x在區(qū)間 (1， +∞ )上是減函數 . 7.( ★★★★ ) 設函數 f(x) 的定義域關于原點對稱且滿足： (i)f(x1－x2)=)()( 1)()( 12 21 xfxf xfxf ? ??； (ii)存在正常數 a 使 f(a)=： (1)f(x)是奇函數 . (2)f(x)是周期函數，且有一個周期是 4a. 8.(★★★★★ )已知函數 f(x)的定義域為 R，且對 m、 n∈ R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－ 1,且 f(－ 21 )=0,當 x－ 21 時， f(x)0. (1)求證： f(x)是單調遞增函數； (2)試舉出具有這種性質的一個函數，并加以驗證 . 參考答案 難點磁場 (1)解：依題意，對一切 x∈ R,有 f(x)=f(－ x),即xxx aeeaae 1?? +ae，得 (a－ a1 ) (ex－xe1)=，有 a－ a1 =0,即 a2=1,又 a0,∴ a=1 (2)證法一：設 0＜ x1＜ x2,則 f(x1)－ f(x2)= )11)((1121122121 ?????? ? xxxxxxxx eeeeeee 2121121 1)1(xxxxxxx e eee??? ??? 由 x10,x20,x2x1,∴ 112 ??xxe 0,1－ e 21xx? ＜ 0, ∴ f(x1)－ f(x2)＜ 0,即 f(x1)＜ f(x2) ∴ f(x)在 (0,+∞ )上是增函數 證法二：由 f(x)=ex+e－ x，得 f′ (x)=ex－ e－ x=e－ x178。 (e2x－ 1).當 x∈ (0,+∞ )時， e－ x0,e2x－ 10. 此時 f′ (x)0,所以 f(x)在［ 0， +∞ )上是增函數 . 殲滅難點訓練 一、 ： f(－ x)=????????? ???????????? ?? )0( )( )0( )()0( )0( 2222xxx xxxxxx xxx =－ f(x)，故f(x)為奇函數 . 答案： C ： f(－ x)=－ f(x),f(x)是奇函數，圖象關于原點對稱 . 答案： C 二、 ：令 t=|x+1|,則 t 在 (－∞ ,－ 1] 上遞減，又 y=f(x)在 R 上單調遞增，∴ y=f(|x+1|)在 (－∞ ,－ 1] 上遞減 . 答案： (－∞ ,－ 1] 4. 解析：∵ f(0)=f(x1)=f(x2)=0, ∴ f(0)=d=(x)=ax(x － x1)(x － x2)=ax3 －a(x1+x2)x2+ax1x2x， ∴ b=－ a(x1+x2),又 f(x)在［ x2,+∞ ) 單調遞增，故 a 0＜ x1＜ x,得 x1+x20, ∴ b=－ a(x1+x2)＜ 0. 答案： (－∞ ,0） 三、 ： (1）設－ 1＜ x1＜ x2＜ +∞ ,則 x2－ x10, 12 xxa? 1 且 1xa 0, ∴ )1( 12112 ??? ? xxxxx aaaa 0,又 x1+10,x2+10 ∴)1)(1( )(3)1)(1( )1)(2()1)(2(1212 21 1221 21121122 ?? ???? ??????????? xx xxxx xxxxxxxx0, 于是 f(x2)－ f(x1)= 12 xx aa ? +1212 1122 ????? xxxx 0 ∴ f(x)在 (－ 1， +∞）上為遞增函數 . (2）證法一：設存在 x0＜ 0(x0≠－ 1)滿足 f(x0)=0,則12020 ???? xxax且由 0＜ 0xa ＜1 得 0＜－1200??xx＜ 1,即 21 ＜ x0＜ 2 與 x0＜ 0 矛盾，故 f(x)=0 沒有負數根 . 證法二：設存在 x0＜ 0(x0≠－ 1)使 f(x0)=0,若－ 1＜ x0＜ 0,則1200??xx＜－ 2, 0xa ＜1,∴ f(x0)＜－ 1 與 f(x0)=0 矛盾，若 x0＜－ 1,則1200??xx0, 0xa 0，∴ f(x0)0 與 f(x0)=0矛盾，故方程 f(x)=0 沒有負數根 . ：∵ x≠ 0,∴ f(x)=22422322 )11(1)1(1)1(1xxxxxxx ?????, 設 1＜ x1＜ x2＜ +∞ ,則 01111,11121222122 ?????? xxxx. 2211222222112222 )11(1)11()11()11(xxxxxxxx ????????? ∴ f(x1)f(x2), f(x)在 (1， +∞）上是減函數 .(本題也可用求導方法解決） 7. 證明： (1 ）不妨令 x=x1 － x2, 則 f( － x)=f(x2 －x1)=)()( 1)()()()( 1)()( 12 2121 12 xfxf xfxfxfxf xfxf ? ???? ? =－ f(x1－ x2)=－ f(x).∴ f(x)是奇函數 . (2）要證 f(x+4a)=f(x),可先計算 f(x+a),f(x+2a). ∵ f(x+a)=f［ x－ (－ a)］ = )1)((1)( 1)()()( 1)()()()( 1)()( ?????? ?????? ?? afxf xfxfaf xfafxfaf xfaf. ).(111)( 1)(11)( 1)(1)(1)(])[()2(xfxfxfxfxfaxfaxfaaxfaxf ??????????? ???????? ∴ f(x+4a)=f［ (x+2a)+2a］ =)2( 1 axf ??=f(x),故 f(x)是以 4a 為周期的周期函數 . 8.(1）證明：設 x1＜ x2,則 x2－ x1－ 21 － 21 ,由題意 f(x2－ x1－ 21 )0, ∵ f(x2)－ f(x1)=f［ (x2－ x1)+x1］－ f(x1)=f(x2－ x1)+f(x1)－ 1－ f(x1)=f(x2－ x1)－1=f(x2－ x1)+f(－ 21 )－ 1=f［ (x2－ x1)－ 21 ］ 0, ∴ f(x)是單調遞增函數 . (2)解： f(x)=2x+ .