數(shù)學(xué)歸納法高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)課時訓(xùn)-資料下載頁
2025-06-07 19:24本頁面
【正文】 83。7k=［(3k+1)7k1］+18k7k+277k，由歸納假設(shè)(3k+1)7k1能被9整除，又因為18k7k+277k能被9整除，所以［3(k+1)+1］7k+11能被9整除，即n=k+1時命題成立.由（1）（2）知，對所有的正整數(shù)n，命題成立.{an}滿足Sn=2nan(n∈N*).(1)計算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通項公式an。（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.（1）解 當(dāng)n=1時，a1=S1=2a1,∴a1=1.當(dāng)n=2時，a1+a2=S2=22a2,∴a2=.當(dāng)n=3時，a1+a2+a3=S3=23a3,∴a3=.當(dāng)n=4時，a1+a2+a3+a4=S4=24a4,∴a4=.由此猜想an=(n∈N*).（2）證明 ①當(dāng)n=1時，a1=1，結(jié)論成立.②假設(shè)n=k(k≥1且k∈N*)時,結(jié)論成立，即ak=,那么n=k+1時，ak+1=Sk+1Sk=2(k+1)ak+12k+ak=2+akak+1.∴2ak+1=2+ak,∴ak+1===,這表明n=k+1時，結(jié)論成立，由①②知猜想an=（n∈N*）成立.、b、c使等式12+22+32+…+n2+（n1）2+…+22+12=an（bn2+c）對于一切n∈N*都成立，若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說明理由.解 假設(shè)存在a、b、c使12+22+32+…+n2+（n1）2+…+22+12=an（bn2+c）對于一切n∈N*都成立.當(dāng)n=1時，a（b+c）=1；當(dāng)n=2時，2a（4b+c）=6；當(dāng)n=3時，3a（9b+c）=19.解方程組 解得證明如下：①當(dāng)n=1時，由以上知存在常數(shù)a,b,c使等式成立.②假設(shè)n=k（k∈N*）時等式成立，即12+22+32+…+k2+（k1）2+…+22+12=k（2k2+1）；當(dāng)n=k+1時，12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+（k1）2+…+22+12=k（2k2+1）+（k+1）2+k2=k（2k2+3k+1）+（k+1）2=k（2k+1）（k+1）+（k+1）2=（k+1）（2k2+4k+3）=（k+1）［2（k+1）2+1］.即n=k+1時，等式成立.因此存在a=，b=2，c=1，使等式對一切n∈N*都成立. 希望大家高考順利
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