立體幾何空間位置關系系統(tǒng)復習-資料下載頁
2025-06-07 21:56本頁面
【正文】 且∥，則∥；其中正確命題的序號是 ．（把你認為正確命題的序號都填上）【分析】①若垂直于內的兩條相交直線，則⊥，正確；②若∥，則平行于內的所有直線，l與還有可能異面；③若，且⊥，則⊥，與還有可能平行或不垂直的相交；④若，則⊥，正確；⑤若，且∥，則∥，m與l還有可能異面；【解】①④【點撥】根據(jù)線面、面面平行與垂直的判定與性質進行判斷.【例2】如圖，在正方體中，E是的中點，求證：．【分析】可證兩個平面所成的二面角是直角.【證明】連接AC，交BD于F，連接，EF，.由正方體，易得，F(xiàn)是BD的中點， 所以，得到是二面角的平面角.設正方體的棱長為2，則，.∴ ，即，所以.【點撥】要證兩平面垂直，證其二面角的平面角為直角，這也是證兩平面垂直的常用方法. 此題由幾何圖形的特征，作出待證的兩個垂直平面所成二面角的平面角是解決問題的關鍵. 直線與平面垂直的性質自主探究學習通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面垂直的有關性質，掌握直線與平面垂直的性質定理；能運用性質定理解決一些簡單問題；了解直線與平面垂直的判定定理和性質定理間的相互聯(lián)系.線面垂直性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行. 名師要點解析要點導學：，那么這兩個平面平行.【經(jīng)典例題】【例1】三棱錐中，三個側面與底面所成的二面角相等，平面ABC，垂足為O，求證：O為底面△ABC的內心.【分析】可證點O到底面△ABC的三邊的距離相等.【證明】作于D，于E，于F，連接OD、OE、OF.∵ 平面ABC，∴ ， .又 ∵ ,∴ .得 ,∴ 為三個側面與底面所成的二面角的平面角. 即得，∵ PO邊公共， ∴ ，得 ，又 ∵ . ∴ O為底面△ABC的內心.【點撥】這里用到了證明垂直問題的轉化思想，即“線線垂直→線面垂直→線線垂直”. 上述結論對于一般棱錐也成立，即棱錐的各側面與底面所成二面角均相等，或棱錐的頂點到底面各邊的距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的內切圓的圓心.【例2】在四棱錐中，底面是正方形，側棱平面.（1）證明：；（2）證明：；ABCDPEF（3）求二面角的大小.【分析】（1）用線面平行的判定定理，在平面EDB中找與PA平行的直線；（2）用線面垂直的判定定理，在平面EFD中找與PB垂直的兩條相交直線；（3）先依據(jù)二面角的定義找出二面角的平面角，再證明并求出來.【解】（1）證明：連接.因為底面是正方形，所以的中點.在中，是中位線，所以.而，.（2）因為，又， 是等腰直角三角形，而是斜邊的中線， ①同理可得.因為底面是正方形，有，ABCDPEFO.而， ②由①和②推得：.而，又，.（3）由（2）知的平面角.由（2）知.設正方形的邊長為，，在，在，.【點撥】依據(jù)題目條件，尋找聯(lián)系，實現(xiàn)平行關系、垂直關系、垂直與平行關系之間的轉化. 平面與平面垂直的性質自主探究學習理解平面與平面垂直的性質定理；能運用性質定理解決一些簡單問題；了解面與平面垂直的判定定理和性質定理間的相互聯(lián)系.面面垂直性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直. 名師要點解析 要點導學面面垂直性質定理用符號語言表示為：若，，則.【經(jīng)典例題】【例1】下面有4個命題： ①與同一個平面平行的兩條直線平行； ②與同一條直線垂直的兩條直線平行； ③與同一個平面平行的兩個平面平行； ④與同一個平面垂直的兩個平面平行； 其中正確的命題有 【 】 A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】①不正確，與同一個平面平行的兩條直線還可能相交；②不正確，與同一條直線垂直的兩條直線還可能異面；③正確，由平面平行的性質可知；④不正確，與同一個平面垂直的兩個平面還有可能相交．【解】D【點撥】根據(jù)線面、面面平行與垂直的性質進行判定.【例2】已知兩個平面垂直，下列命題中正確的有 【 】①一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意直線；②一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的無數(shù)條直線；③一個平面內的任意一條直線必垂直于另一個平面；④過一個平面內的任意一點做交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面. A. 3個 C. 1 個 D .0個【分析】①不正確；②正確；③不正確；④正確．【解】B.【點撥】根據(jù)線面、面面平行與垂直的性質進行判定.
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