數(shù)學(xué)排列組合應(yīng)用題的解題策略人教版-資料下載頁
2025-06-07 19:47本頁面
【正文】 次類推，由分步計(jì)數(shù)原理知共有種不同方案。1復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法。例18：馬路上有編號(hào)為1，2，3…，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？解析：把此問題當(dāng)作一個(gè)排對(duì)模型，在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮的燈種方法。所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種。說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型可使問題容易解決。1元素個(gè)數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法。例19：設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個(gè)球投入5個(gè)盒子要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的號(hào)碼與盒子號(hào)碼相同，問有多少種不同的方法？解析：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有種，還剩下3個(gè)球與3個(gè)盒子序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用枚舉法分析，如果剩下3，4，5號(hào)球與3，4，5號(hào)盒子時(shí)，3號(hào)球不能裝入3號(hào)盒子，當(dāng)3號(hào)球裝入4號(hào)盒子時(shí)，4，5號(hào)球只有1種裝法，3號(hào)球裝入5號(hào)盒子時(shí)，4，5號(hào)球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為種。復(fù)雜的排列組合問題也可用分解與合成法。例20：（1）30030能被多少個(gè)不同偶數(shù)整除？解析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：30030=23571113；依題意偶因數(shù)2必取，3，5，7，11，13這5個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成成積，所有的偶因數(shù)為個(gè)。 （2）正方體8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少隊(duì)異面直線？解析：因?yàn)樗拿骟w中僅有3對(duì)異面直線，可將問題分解成正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成多少個(gè)不同的四面體，從正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四面體有個(gè)，所以8個(gè)頂點(diǎn)可連成的異面直線有358=174對(duì)。2利用對(duì)應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法。對(duì)應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題處理。例21：（1）圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有多少個(gè)？解析：因?yàn)閳A的一個(gè)內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形就對(duì)應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，于是問題就轉(zhuǎn)化為圓周上的10個(gè)點(diǎn)可以確定多少個(gè)不同的四邊形，顯然有個(gè)，所以圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有個(gè)。（2）某城市的街區(qū)有12個(gè)全等的矩形組成，其中實(shí)線表示馬路，從到的最短路徑有多少種？解析：可將圖中矩形的一邊叫一小段，從到最短路線必須走7小段，其中：向東4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要確定向東走過4段的走法，便能確定路徑，因此不同走法有種。用心 愛心 專心 115號(hào)編輯
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