北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽高一級(jí)復(fù)賽參考解答-資料下載頁(yè)
2025-06-07 16:58本頁(yè)面
【正文】 圓心，在每一個(gè)圓內(nèi)，取24個(gè)點(diǎn)，則平面上有48個(gè)點(diǎn)滿足題設(shè)條件（其中任意3點(diǎn)中必有2點(diǎn)的距離不大于1），顯然，不可能畫出一個(gè)半徑為1的圓，其包含有25個(gè)所選的點(diǎn)，所以n＞48．下面證明nmin=49．若，設(shè)A是其中的一點(diǎn)，作以A為圓心半徑為1的⊙A，若所有的點(diǎn)都在圓A中，那么就滿足題設(shè)條件．若不是所有的點(diǎn)都在圓A中，則至少有一點(diǎn)B不在圓A中，再作以B為圓心、半徑為1的⊙B，則A、B的距離大于1（如右圖），除A，B外，余下的47個(gè)點(diǎn)中每一點(diǎn)P都與A、B組成3點(diǎn)組，必有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于1，所以要么PA≤1，要么PB≤1，即點(diǎn)P要么在⊙A中，要么在⊙B中，根據(jù)抽屜原理，必有一個(gè)圓至少包含了這47個(gè)點(diǎn)中的24個(gè)點(diǎn)，不妨設(shè)這個(gè)圓就是⊙A，再加上圓心A點(diǎn)，就有不少于25個(gè)點(diǎn)在這個(gè)半徑為1的⊙A中(圓內(nèi)或圓周上)．所以n的最小值是49．五、（滿分15分）已知函數(shù)f：R→R，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)都有≥，求[1f (1)]+[2f (2)]+[3f (3)]+…+[2011f (2011)]的值．其中對(duì)于實(shí)數(shù)a，[a]表示不超過(guò)a的最大整數(shù)． 解：由于已知函數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)都滿足≥，可令，有≥，即≤0，由于f (0)是一個(gè)實(shí)數(shù)，所以再令，有≥，即≤0，由于f (1)是一個(gè)實(shí)數(shù)，所以又令，有≥，代入得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有≤． ①又令，有≥，代入得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有≥． ②綜合①、②可得，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有． 驗(yàn)證：函數(shù)滿足題設(shè)條件，取的是等號(hào)，所以滿足題設(shè)條件的函數(shù)的唯一解為．于是 ．2011年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽高一年級(jí)復(fù)賽參考解答 第7頁(yè) 共7頁(yè)
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