北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高一級復(fù)賽參考解答(編輯修改稿)
2025-07-04 16:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 △ABD與△ACD的內(nèi)心分別為I1，I2，外心分別為O1，O2，求證：(I1O1)2+(I2O2)2=(I1I2)2．證明：作以A為中心、逆時針旋轉(zhuǎn)的變換，使△ABD到△ACD1，由于∠ADC+∠AD1C=∠ADC+∠ADB=180186。，所以A、D、C、D1共圓，因此是△AD1C的外心，也就是，因此AO1=DO1=AO2=DO2=O1O2，所以∠O1AO2=∠O1DO2=60186。．由∠AO1O2+∠ACB=120186。+60186。=180186。，O1在△ACD的外接圓⊙O2上．由于，所以I1在⊙O2上，因此，．同理可證，I2在△ABD的外接圓⊙O1上，所以．由于而，比較可得． 在△O1I1D與△DI2O2中，因?yàn)橐炎CO1D=DO2，又因此 △O1I1D≌△DI2O2． 所以，I1O1=DI2，DI1= I2O2. 由于△I1DI2是直角三角形.根據(jù)勾股定理，有而I1O1=DI2，DI1=I2O2.因此三、（滿分15分）n是正整數(shù)，記n!=123…n，如1!=1，2!=12=2，3!= 123=6，又記[a]表示不超過a的最大整數(shù)，求方程的所有正整數(shù)解．解1：由于當(dāng)x是正整數(shù)時，≥，＞–1，所以＜2011即＜，得方程的正整數(shù)解x滿足0＜x＜．由于6!=720，7!=5040，所以方程的正整數(shù)解x＜7!，即．因此，方程的解與原方程的解是一樣的．設(shè)小于7!的正整數(shù)x為上述方程的解，我們寫出的帶余除法表達(dá)式：設(shè)，0≤r1＜6!，(0≤a≤6，a206。N)；因此 ①，0≤r2＜5!，(0≤b≤5，b206。N)，因此． ②，0≤r3＜4!，(
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