【正文】 模型中，證券組合的方差等于： （824）其中，（二）兩因素模型兩因素模型認(rèn)為，證券收益率取決于兩個(gè)因素，其表達(dá)式為： （825）其中，F(xiàn)1t和F2t分別表示影響證券收益率的兩個(gè)因素在t時(shí)期的預(yù)測(cè)值，bi1和bi2分別表示證券 i對(duì)這兩個(gè)因素的敏感度。在兩因素模型中，證券 i的預(yù)期收益率為： （826）證券 i收益率的方差為： （827）其中，COV（F1，F(xiàn)2）表示兩個(gè)因素F1和F2之間的協(xié)方差。證券 i和證券 j的協(xié)方差為： （828）（三）多因素模型多因素模型認(rèn)為，證券i 的收益率取決于K個(gè)因素，其表達(dá)式為： （829）應(yīng)該注意的是，與資本資產(chǎn)定價(jià)模型不同，因素模型不是資產(chǎn)定價(jià)的均衡模型。在實(shí)際運(yùn)用中，人們通常通過(guò)理論分析確定影響證券收益率的各種因素，然后，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，運(yùn)用時(shí)間序列法、跨部門法、因素分析法等實(shí)證方法估計(jì)出因素模型。二、套利組合根據(jù)套利定價(jià)理論，在不增加風(fēng)險(xiǎn)的情況下，投資者將利用組建套利組合的機(jī)會(huì)來(lái)增加其現(xiàn)有投資組合的預(yù)期收益率。那么，什么是套利組合呢？根據(jù)套利的定義，套利組合要滿足三個(gè)條件：條件1：套利組合要求投資者不追加資金, 即套利組合屬于自融資組合。如果我們用xi表示投資者持有證券i 金額比例的變化（從而也代表證券 i在套利組合中的權(quán)重，注意xi可正可負(fù)），則該條件可以表示為： （830）條件2：套利組合對(duì)任何因素的敏感度為零，即套利組合沒(méi)有因素風(fēng)險(xiǎn)。由式（824）可知，證券組合對(duì)某個(gè)因素的敏感度等于該組合中各種證券對(duì)該因素敏感度的加權(quán)平均數(shù)，因此在單因素模型下該條件可表達(dá)為： （831）在雙因素模型下，條件2表達(dá)式為：在多因素模型下，條件2表達(dá)式為： ……條件3：套利組合的預(yù)期收益率應(yīng)大于零，即： （832）例某投資者擁有一個(gè)3種股票組成的投資組合，3種股票的市值均為500萬(wàn)，投資組合的總價(jià)值為1500萬(wàn)元。假定這三種股票均符合單因素模型，其預(yù)期收益率分別為16%、20%和13%，其對(duì)該因素的敏感度(bi)、。請(qǐng)問(wèn)該投資者能否修改其投資組合，以便在不增加風(fēng)險(xiǎn)的情況下提高預(yù)期收益率。令三種股票市值比重變化量分別為xx2和x3。根據(jù)（830）和（831）我們有：上述兩個(gè)方程有三個(gè)變量，故有多種解。作為其中的一個(gè)解，我們令x1=，則可解出x2=,x3=－。為了檢驗(yàn)這個(gè)解能否提高預(yù)期收益率，我們把這個(gè)解用式（832）檢驗(yàn)。式（832）左邊等于：180。+180。－180。=%%為正數(shù)，（等于－180。1500萬(wàn)元）同時(shí)買入150萬(wàn)元第一種股票（180。1500萬(wàn)元）（180。1500萬(wàn)元）%。三、套利定價(jià)模型投資者套利活動(dòng)是通過(guò)買入收益率偏高的證券同時(shí)賣出收益率偏低的證券來(lái)實(shí)現(xiàn)的，其結(jié)果是使收益率偏高的證券價(jià)格上升，其收益率將相應(yīng)回落；同時(shí)使收益率偏低的證券價(jià)格下降，其收益率相應(yīng)回升。這一過(guò)程將一直持續(xù)到各種證券的收益率跟各種證券對(duì)各因素的敏感度保持適當(dāng)?shù)年P(guān)系為止。下面我們就來(lái)推導(dǎo)這種關(guān)系。（一）單因素模型的定價(jià)公式投資者套利活動(dòng)的目標(biāo)是使其套利組合預(yù)期收益率最大化(因?yàn)楦鶕?jù)套利組合的定義,他無(wú)需投資,也沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn))。而套利組合的預(yù)期收益率為：但套利活動(dòng)要受到式（）和（）兩個(gè)條件的約束。根據(jù)拉格朗日定理，我們可建立如下函數(shù)：L取最大值的一價(jià)條件是上式對(duì)xi和的偏導(dǎo)等于零即： ……由此我們可以得到在均衡狀態(tài)下和的關(guān)系： （833）這就是在單因素模型APT定價(jià)公式，其中是常數(shù)。從式（833）可以看出和必須保持線性關(guān)系，否則的活，投資者就可以通過(guò)套利活動(dòng)來(lái)提高投資組合的預(yù)期收益率。式（833）可以用圖817來(lái)表示。 B APT資產(chǎn)定價(jià)線 S bB=bS bi 圖817 APT資產(chǎn)定價(jià)線從圖817可以看出，任何偏離APT資產(chǎn)定價(jià)線的證券，其定價(jià)都是錯(cuò)誤的，從而將給投資者提供組建套利組合的機(jī)會(huì)。以B點(diǎn)所代表的證券為例，該點(diǎn)位于APT資產(chǎn)定價(jià)線上方，意味著其預(yù)期收益率較高，投資者就可以通過(guò)賣出S點(diǎn)所表示的證券，同時(shí)買入相同金額的B證券，從而形成套利組合。由于買賣B和S證券的金額相同，因此滿足套利組合的條件1；由于證券B和S的因素敏感度相等，而買賣金額也相同，因此滿足條件2；由于證券B的預(yù)期收益率大于證券S，且兩者在套利組合中權(quán)數(shù)相等，因此滿足條件3。由于投資者買入證券B，其價(jià)格將不斷上升，預(yù)期收益率將隨之下降，直至回到APT資產(chǎn)定價(jià)線為止。此時(shí)，證券價(jià)格處于均衡狀態(tài)。那么，式（833）中的代表什么意思呢？我們知道，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，即：。由于式（833）適用于所有證券包括無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，而無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的因素敏感度，因此根據(jù)式（833）我們有：。由此可見(jiàn)，式（833）中的一定等于，因此式（833）可重新表示為： （834）為了理解的含義，我們考慮一個(gè)純因素組合其因素敏感度等于1，即代入（834），我們有： （835）由此可見(jiàn)，代表因素風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬，即擁有單位因素敏感度的組合超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率部分的預(yù)期收益率。為表達(dá)方便，我們令，即表示單位因素敏感度組合的預(yù)期收益率，我們有： （836）（二）兩因素模型的定價(jià)公式用同樣的方法我們可以求出兩因素模型中的APT資產(chǎn)定價(jià)公式： （837）由于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率為，其對(duì)第一種和第二種因素的敏感度均為零，根據(jù)式（837），其預(yù)期收益率一定為。由此可知，一定等于即： （838）為理解的含義，我們考慮一個(gè)充分多樣化的組合，該組合對(duì)第一種因素的敏感度等于1，對(duì)第二種因素的敏感度等于0。從式（838）可知，該組合的預(yù)期收益率（）等于，因此。這樣，式（838）變?yōu)椋? （839）為理解的含義，我們考慮另一個(gè)充分多樣化的組合，該組合對(duì)第一種因素的敏感度等于0，對(duì)第二種因素的敏感度等于1。從式（838）可知，該組合的預(yù)期收益率（）等于，因此。這樣，式（839）變?yōu)椋? （840）（三）多因素模型的定價(jià)公式同樣道理，在多因素模型下，APT資產(chǎn)定價(jià)公式為： （841）如果我們用表示對(duì)第j種因素的敏感度為1，而對(duì)其它因素的敏感度為0的證券組合的預(yù)期收益率，我們可以得到： （842）式（842）說(shuō)明，一種證券的預(yù)期收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率加上k個(gè)因素風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬。第六節(jié) 資產(chǎn)定價(jià)模型的實(shí)證檢驗(yàn)CAPM和套利定價(jià)理論的提出對(duì)全世界金融理論研究和實(shí)踐均產(chǎn)生了巨大的影響，其主要表現(xiàn)有：①大多數(shù)機(jī)構(gòu)投資者都按預(yù)期收益率貝塔系數(shù)的關(guān)系（或者單位風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬）來(lái)評(píng)價(jià)其投資業(yè)績(jī)；②大多數(shù)國(guó)家的監(jiān)管當(dāng)局在確定被監(jiān)管對(duì)象的資本成本時(shí)，都把預(yù)期收益率貝塔系數(shù)的關(guān)系連同對(duì)市場(chǎng)指數(shù)收益率的預(yù)測(cè)作為一個(gè)重要因素；③法院在衡量未來(lái)收入損失的賠償金額時(shí)也經(jīng)常使用預(yù)期收益率貝塔系數(shù)的關(guān)系來(lái)確定貼現(xiàn)率；④很多企業(yè)在進(jìn)行資本預(yù)算決策時(shí)也使用預(yù)期收益率貝塔系數(shù)的關(guān)系來(lái)確定最低要求收益率。也正因?yàn)槠溆绊懥θ绱酥螅瑥腃APM模型和套利定價(jià)理論提出至今，圍繞它們的爭(zhēng)論就一直沒(méi)有停止過(guò)。而大多數(shù)爭(zhēng)論都是根據(jù)不同的實(shí)證檢驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行的。由于相關(guān)文獻(xiàn)多如牛毛，本節(jié)只能列舉一些主要的結(jié)論與證據(jù)。一、羅爾的批評(píng)1977年，Roll Roll,R., 1977, “A Critique of Asset Pricing Theory: Part I. On the Past and Potential Testability of the Theory,” Journal of Financial Economics,March, .發(fā)表了一篇了重要的論文，對(duì)CAPM的實(shí)證檢驗(yàn)提出了嚴(yán)厲的批評(píng)。其主要觀點(diǎn)可以概括為：1． CAPM只有一個(gè)可檢驗(yàn)的假設(shè)，那就是市場(chǎng)組合是均值方差有效的。2． 該模型的其他所有運(yùn)用，包括最著名的預(yù)期收益率與貝塔系數(shù)之間的線性關(guān)系都遵從市場(chǎng)模型的效率，因此都不是單獨(dú)可以檢驗(yàn)的。市場(chǎng)組合的有效性是預(yù)期收益率與貝塔系數(shù)之間線性關(guān)系的必要條件。3． 對(duì)于任何的樣本期收益率觀測(cè)值 ，運(yùn)用樣本期的收益率和協(xié)方差（而不是事前的預(yù)期收益率和協(xié)方差）都可以找到無(wú)數(shù)的事后均值方差有效組合。運(yùn)用任何這種組合與單個(gè)資產(chǎn)計(jì)算樣本期β系數(shù)都會(huì)與樣本平均收益率完全線性相關(guān)。換句話說(shuō)，無(wú)論從事前的角度看真正的市場(chǎng)組合是否有效，這樣計(jì)算出來(lái)的β都會(huì)滿足證券市場(chǎng)線（SML）的關(guān)系。4． 除非我們知道真正市場(chǎng)組合的準(zhǔn)確構(gòu)成，并把它運(yùn)用于實(shí)證檢驗(yàn)，否則我們就無(wú)法檢驗(yàn)CAPM的對(duì)錯(cuò)。這意味著除非我們的樣本包括所有資產(chǎn)，否則CAPM就無(wú)法檢驗(yàn)。5． 運(yùn)用Samp。P500等來(lái)代替市場(chǎng)組合會(huì)面臨兩大問(wèn)題：首先，即使真正的市場(chǎng)組合不是有效的，代替物也可能是有效的。相反，如果我們發(fā)現(xiàn)替代物不是有效的，我們也不能憑此認(rèn)為真正的市場(chǎng)組合是無(wú)效的。再者，大多數(shù)替代物之間及其與真正的市場(chǎng)組合都會(huì)高度相關(guān)而不管他們是否有效，這就使得市場(chǎng)組合的準(zhǔn)確構(gòu)成看來(lái)并不重要。然而，運(yùn)用不同的替代物自然會(huì)有不同的結(jié)論，這就是基準(zhǔn)誤差（Benchmark Error）,它指的是在檢驗(yàn)時(shí)使用不正確的基準(zhǔn)所導(dǎo)致的誤差。 后來(lái)，Roll和RossRoll, R. and Stephen A. Ross, 1994, “On the CrossSectional Relation between Expected Return and Betas,” Journal of Finance 49, . 以及Kandel和StambaughKandel, Schmuel and Robert , “Potfolio Inefficiency and the CrossSection of Expected Return,” Journal of Finance 50(1995), pp. 185224。”A MeanVariance Framework for the tests of Asset Pricing Models,” Review of Financial Studies 2(1989), pp12556。 “On Correlations and Inferences about MeanVariance Efficiency,” Journal of Financial Economics 18(1987), .將Roll的批評(píng)更推進(jìn)了一步，認(rèn)為在檢驗(yàn)中否定平均收益率與β系數(shù)存在正向關(guān)系只能說(shuō)明在檢驗(yàn)中所用的替代物無(wú)效，而不能否定預(yù)期收益率β系數(shù)之間的理論關(guān)系。他們還證明了，即使是高度分散的組合（如所有股票的等權(quán)重組合或市值加權(quán)組合）也可能不會(huì)產(chǎn)生有意義的平均收益率β系數(shù)關(guān)系。二、β系數(shù)的測(cè)度誤差Roll的批評(píng)說(shuō)明了CAPM的實(shí)證檢驗(yàn)從一開(kāi)始就是有缺陷的。但假設(shè)我們可以獲得真實(shí)的市場(chǎng)組合的數(shù)據(jù)從而繞過(guò)Roll的問(wèn)題，我們還得解決估計(jì)β系數(shù)時(shí)的測(cè)度誤差這個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)告訴我們，當(dāng)回歸方程的右邊變量存在測(cè)度誤差時(shí)，則回歸方程的斜率就會(huì)被低估而截距就會(huì)被高估。Miller和ScholesMiller, Merton, and Myron Scholes, 1972, “ Rate of Return in Relation to Risk: A Reexamination of Some Recent Findings,” in Michael (ed.), Studies in th Theories of Capital Markets, Praeger, New York. 所做的模擬檢驗(yàn)也證實(shí)了這一點(diǎn)。這是很多實(shí)證檢驗(yàn)（如LintnerLintner, John，1965, “Security Prices, Risk and Maximal Gains from Diversification,” Journal of Finance . 所做的檢驗(yàn)）發(fā)現(xiàn)估計(jì)的證券市場(chǎng)線（SML）太平而截距（超額收益率）不等于0的主要原因。為了解決β系數(shù)的測(cè)度誤差問(wèn)題，Black,Jensen和Scholes(BJS)Black, Fischer, Michael C. Jensen, and Myron Scholes, 1972, “The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Tests,” in Michael (ed.), Stud