55構(gòu)造三角形解題方法-資料下載頁
2024-11-03 05:33本頁面
【導(dǎo)讀】高考數(shù)學(xué)母題規(guī)劃,助你考入清華北大！能根據(jù)題目條件,構(gòu)造出合適的三角形,然后借助三角形自身的性質(zhì)和結(jié)論,不僅可以使問題的解決簡捷巧妙,還可以開闊。[子題]:設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且acosB=3,bsinA=4.(Ⅰ)求邊長a;(Ⅱ)若△ABC的面積S=10,求△ABC的周長l.[解析]:如圖,作CD⊥AB于D,則BD=acosB=3,CD=bsinA=4;(Ⅰ)在Rt△BCD中,a=BC=5;解三角形問題時,可以根據(jù)已知條件,在原三角形的基礎(chǔ)上,作三角形巧解問題.[解析]:由3sin2α-2sin2β=0?3cos2α+2cos2β=3,由射影定理知,AB=3?過賦予數(shù)量的邊或角的幾何意義是構(gòu)造三角形解決問題的關(guān)鍵.cosγ+cosαcosβ=sinαsinβ.故cos. α+β+γ=π.故α、β、γ是一個銳角三角形的三內(nèi)角.:在AC上取點D,使得AD=AB=c,由bc=b2-a2?
【正文】 β =ABcosB+ACcosC=BC? BC=AB? A=C=2β ,由 A+B+C=π ? 2α +4β =π ? α +2β =2? ?cos2(α +β )=cos(2?+α )=sinα ,又由 3sin2α =2sin2β ? 3sin2α =2sin(2?α )? 3sin2α =2cosα ? sinα =31 ?cos2(α +β )=31. :令 a=y+z,b=z+x,c=x+y,則 a,b,c可構(gòu)成△ ABC的三邊 ,S△ ABC= ))()(( cpbpapp ??? = )( zyxxyz ?? =1。又因 S△ ABC=21casinB =21(x+y)(y+z)sinB=1? (x+y)(y+z)=Bsin2≥ 2,當(dāng)且僅當(dāng) B=900時 . :令 a=y+z,b=z+x,c=x+y,則 a2b(ab)+b2c(bc)+c2a(ca)≥ 0? xy3+yz3+zx3≥ xyz(x+y+z)。由柯西不等式 :(xy3+yz3+ zx3)(x+y+z)≥ (x xyz +y xyz +z xyz )2=xyz(x+y+z)2? xy3+yz3+zx3≥ xyz(x+y+z). :構(gòu)造一個角 ∠ POQ=7?,如 圖 :在 OP邊上取 點 A,使 OA=1,在 OQ邊上取 點 B,使 AB=1,則 ∠ BAP=72?, 以 AB為腰作等腰 △ ABC,則 ∠ QBC=73?,又以 BC為腰作等腰△ BCD,則 ∠ ODC=∠ CBQ=73? ?∠ OCD=π 7?73?=73? ?OC=OD。OC=OA+AC=1+2cos72?。OD=OB+BD=2cos7?+2cos73? ?1+2cos72?=2cos7?+2cos73? ?原式 =21.
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