55構(gòu)造三角形解題方法-免費閱讀
【正文】 又因 S△ ABC=21casinB =21(x+y)(y+z)sinB=1? (x+y)(y+z)=Bsin2≥ 2,當且僅當 B=900時 . :令 a=y+z,b=z+x,c=x+y,則 a2b(ab)+b2c(bc)+c2a(ca)≥ 0? xy3+yz3+zx3≥ xyz(x+y+z)。(Ⅰ )在 Rt△ BCD中 ,a=BC=5。 (Ⅱ )由 S=21AB? CD=2AB=10? AB=5? AD=2? AC=25 ? 周長 l=5+5+25 =10+2 5 . 注 :本題的 解法為作者給出 ,優(yōu)于“標準答案” 給出 的 幾 種 解法 。由柯西不等式 :(xy3+yz3+ zx3)(x+y+z)≥ (x xyz +y xyz +z xyz )2=xyz(x+y+z)2? xy3+yz3+zx3≥ xyz(x+y+z). :構(gòu)造一個角 ∠ POQ=7?,如 圖 :在 OP邊上取 點 A,使 OA=1,在 OQ邊上取 點 B,使 AB=1,則 ∠ BAP=72?, 以 AB為腰作等腰 △ ABC,則 ∠ QBC=73?,又以 BC為腰作等腰△ BCD,則 ∠ ODC=∠ CBQ=73? ?∠ OCD=π 7?73?=73? ?OC=OD。由 3(sinα +cosα )22(sinβ +cosβ )2=1? 3sin2α =2sin2β ??2sin2 =?2sin3.作△ ABC,使 AB=3,AC=2,B=2α ,C=2β ,則 3=3cos2α +2cos2β =ABcosB+ACcosC=BC? BC=AB? A=C=2β ,由 A+B+C=π ? 2α +4β =π ? α +2β =2? ?cos2(α +β )=cos(2?+α )=sinα ,又由 3sin2α =2sin2β ? 3sin2α =2sin(2?α
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