55構造三角形解題方法-wenkub
2022-11-14 05:33:39 本頁面
【正文】 △ ABC的周長 l. [解析 ]:如圖 ,作 CD⊥ AB 于 D,則 BD=acosB=3,CD=bsinA=4。由 2sin2α +2sin2β =1? 3cos2α +2cos2β =3,由射影定理知 ,AB=3? AB=AC? 2α +4β =π ? α +2β =2?. 注 :聯(lián)想正弦定 理 ,構造 三角形 是 本題 解法 的 關鍵 。由 3(sinα +cosα )22(sinβ +cosβ )2=1? 3sin2α =2sin2β ??2sin2 =?2sin3.作△ ABC,使 AB=3,AC=2,B=2α ,C=2β ,則 3=3cos2α +2cos2β =ABcosB+ACcosC=BC? BC=AB? A=C=2β ,由 A+B+C=π ? 2α +4β =π ? α +2β =2? ?cos2(α +β )=cos(2?+α )=sinα ,又由 3sin2α =2sin2β ? 3sin2α =2sin(2?α )? 3sin2α =2cosα ? sinα =31 ?cos2(α +β )=31. :令 a=y+z,b=z+x,c=x+y,則 a,b,c可構成△ ABC的三邊 ,S△ ABC= ))()(( cpbpapp ??? = )( zyxxyz ?? =1。OD=OB+BD=2cos7?+2cos73? ?1+2cos72?=2cos7?+2cos73? ?原式 =21. 。由柯西不等式 :(xy3+yz3+ zx3)(x+y+z)≥ (x xyz +y xyz +z xyz )2=xyz(x+y+z)2? xy3+yz3+zx3≥ xyz(x+y+z). :構造一個角 ∠ POQ=7?,如 圖 :在 OP邊上取 點 A,使 OA=1,在 OQ邊上取 點 B,使 AB=1,則 ∠ BA
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