【正文】 () ? 稱為“半離散化二進小波”，而 ? () ? 稱為二進小波變換。 ? 設母小波 的中心頻率為 ，帶寬為 ，當 時， ? 的中心頻率變?yōu)? ，帶寬 ? 。若 時， 的中心頻率和帶寬分別是： ? 和 。從對信號作頻域分析的 aa Zjaaa j ??? ,0, 00 20?a))(2(2)( 2/, btt jjbj ?? ?? ????? )(),(),( , ttxbjWT bjx ?dtbttx jj ))(2()(2 2/ ?? ??? ? ?)(t? 0? ?? ja 2?)(, tbj? 0jj00j 22 ????? ?/)( ??? ??? jj 212 ?? ja )(,1 tbj??01j01j 2 ???? ??? )( ???? ??? ? 121 jj? 角度，我們希望當 由 變成 時， 和 在頻域對應的分析窗為 ? 和 能夠相連接。這樣，當 由 0變至無窮時， 的傅里葉變換可以覆蓋整個 軸。顯然，若令母小波 的 ，則上面兩個頻域窗首尾相連，即 和 首尾相連。通過對母小波作合適的調制，可以方便地做到 。 ? 現(xiàn)在，我們來討論如何由式（ ）的 來恢復 ，設 是 的對偶小波，并令 和 取類似的形式，即 () ? 這樣，通過對偶小波，我們希望能重建 ： ? () ? 為了尋找 和 應滿足的關系，現(xiàn)對上式作如下改變： a j2 12 ?j )(, tbj?)(,1 tbj ?? ])(,)[( jj 0j0j ?? ??????])(,)[( 1j1j 01j01j ?? ???? ??????j)(, tbj? ?)(t? ???? 30)(]2,2[ 1 ????? ?? jj ]2,2[ 21 ?????? ?? jj???? 30)(),( bjWT x)(tx )(? t? )(t? )(? , tbj? )(, tbj?))(2(?2)(? 2/, btt jjbj ?? ?? ??)(txdbbtbjWTtx jxjj ))(2(?),(2)( 2/3 ?? ?????? ?? ?)(? t? )(t? ? 式中 F代表求傅里葉變換。由式（ ）和式（ ），有 ? () ? 顯然，若 ? () ? 則式（ ）的右邊變成的傅里葉反變換，自然就是 。 ???? ???????? ))(2(?),(2)( 2/3 btbjWTtx jxjj ????? ???????? ) ) ](2(?[) ] ,([212 2/3 btFbjWTF jxjj ????????? ??????? ?? deXtx tjjjjjjj ])2(?2) ] [2(2)([212)( 2/2/3???????? ??????? ? deX tjjjj )]2(?)2()[(21?1)2(?)2( ??????????? jjj)(tx? 對于滿足容許條件的小波 ，當 時，其二進制小波 對應的傅里葉變換應滿足式（ ）的穩(wěn)定性條件。這樣，結合式（ ）和式（ ），我們可由下式得到對偶小波 : ? () ? 由于式（ ）的分母滿足式（ ），因此有 ? () ? 這樣，對偶小波 也滿足穩(wěn)定性條件，也即，總可以找到一個“穩(wěn)定的”對偶小波 由式（ ）重建出 。下面定理更完整地回答了在半離散二進小波變換情況下的 重建問題。 ? 定理 如果存在常數(shù) ，使得 ? () )(t? Zja j ?? ,2)(, tbj?)(? t?????????????jj 2)2()()(?AB jj 1)2(1 2 ???? ?????)(?t?)(?t? )(tx)(tx0,0 ?? BARBAjj ??????? ?????2)2(? 則 ? () ? 如果 滿足 ? () ? 則 ? () ? 該定理指出，若 的傅里葉變換滿足穩(wěn)定性條件，則 在 ? 上的小波變換的幅平方的和是有界的。進而， 和 的傅里葉變換若滿足式（ ）（也即式（ ）），則可由式（ ）重建。 222 ),(21 xBbjWTxAxjj ?? ?????)(? t?－｛０｝＝ Rjjj????????????? 1)2(?)2()(?),(2)( , tbjWTtx bjxjj ??? ??????dbbtbjWT jxjj ))(2(?),(2 2/3 ?? ?????? ?? ?)(t? )(txZja j ?? ,2 )(t?)(?t?? 總之，若滿足容許條件，且再滿足穩(wěn)定性條件，由二進小波變換總可以重建，也即一個滿足穩(wěn)定性條件的對偶小波總是存在的。但是，滿足穩(wěn)定性條件的對偶小波不一定是唯一的。如何構造 “ 好 ” 的小波及得到唯一的對偶小波是小波理論中的重要內(nèi)容。 ? 若式（ ）的穩(wěn)定性條件滿足，則 的容許條件必定滿足，且 ? () ? 從而，由連續(xù)小波變換 總可以恢復 ，也即式（ ）總是成立。 ? 以上討論的是僅對 作二進制離散化的情況，現(xiàn)在考慮 和 同時離散化的相應理論問題。 ????? ?? dC 0 2)(?? ?????? B BdA 022ln)(2ln),( baWT x )(txa ab? ? 令 ，我們可實現(xiàn)對 的離散化。若 ，則 。欲對 離散化，最簡單的方法是將 均勻抽樣，如令 ， 的選擇應保證能由 來恢復出 。當 時，將 由 變成 時，即是將 擴大了 倍，這時小波 的中心頻率比 的中心頻率下降了 倍，帶寬也下降了 倍。因此，這時對 ? 抽樣的間隔也可相應地擴大 倍。由此可以看出，當尺度 分別取 ，對 的抽樣間隔可以取 ? ，這樣，對 和 離散化后的結果是： ? () ? 對給定的信號 ，式（ ）的連續(xù)小波變換可變成如下離散柵格上的小波變換，即 Zjaa j ?? ,0 a 0?j)()(, bttbj ?? ?? b b0kbb? 0b ),( kjWTx)(tx 0?j a 10?ja ja0a 0a )(, tkj? )(,1 tkj??0a 0ab 0aa , 20220 ?aaa b, 02022000 ?bababa a b)]([)( 0002/0, bkataat jjjkj ?? ?? ??Zkjkbtaa 0j02j0 ??? ?? ,)(/ ?)(tx? () ? 此式稱為“離散小波變換（ Discrete Wavelet Transform，DWT）”，注意式中 仍是連續(xù)變量。 ? 記 ，我們可以仿照傅里葉級數(shù)和 Gabor展開那樣來重建 ，即 ? () ? 該式稱為小波級數(shù)， 稱為小波系數(shù)， 是 的對偶函數(shù)，或對偶小波。 ? 我們知道，對任一周期信號 ，若周期為 T，且 ? ，則 可展成傅里葉級數(shù)，即 ? () dtttxkjWT kjx )()(),( ,?? ?t),(, kjWTd xkj ?)(tx)(?)()( , tkdtx kj0j kj ?? ????????)(kdj )(? , tkj? )(, tkj?)(tx),0()( 2 TLtx ? )(txTekXtxktjk 0 ?２＝０??? ??????)()(? 式中 是 的傅里葉系數(shù)，它由下式求出： ? () ? 小波級數(shù)和傅里葉級數(shù)形式上類似，但其物理概念卻有著明顯的不同： ? (1)傅里葉級數(shù)的基函數(shù) ，是一組正交基，即 ? 。而小波級數(shù)所用的一族函數(shù) 不一定是正交基，甚至不一定是一組“基”； ? (2)對傅里葉級數(shù)來說，基函數(shù)是固定的，且分析和重建的基函數(shù)是一樣的，即都是 （差一負號）；對小波級數(shù)來說，分析所用的函數(shù) 是可變的，且分析和重建所用的函數(shù)是不相同的，即分析時是 ，而重建時是 ； ? (3)在傅里葉級數(shù)中，時域和頻域的分辨率是固定不變的，而小波級數(shù)在 軸上的離散化是不等距的，這正體現(xiàn)了小波變換“變焦”和“恒 Q” 性的特點。 )( 0?kX )(txdtetxTkX T T tjk?? ???? 2/ 2/0 0)(1)(Zke tjk ?? ,0)(, 210201 kkee tjktjk ???? ?? ? )(? , tkj?tjke 0?)(, tkj?)(, tkj? )(? , tkj?ba,? 將式（ ）的連續(xù)小波變換改變成式（ ）的離散小波變換，人們自然會問： ? (1)一族小波函數(shù) ，在空間 上是否是完備的？所謂完備，是指對任一 ，它都可以由這一組函數(shù)（即 ）來表示； ? (2)如果 是完備的，那么 對 的表示是否有信息的冗余？ ? (3)如果 是完備的，那么對 和 的抽樣間隔如何選取才能保證對 的表示不存在信息的冗余？ ? Daubechies對上述問題進行了深入的研究，給出了“小波標架”的理論，現(xiàn)介紹一下其中主要的結論。 ? ? 標架的基本理論要點是： ? (1) 若 是 Hilbert空間中的一組向量，對給定的 Zkjtkj ?,),(,? )(2 RL)()( 2 RLtx ?)(, tkj?)(, tkj? )(, tkj? )(tx)(, tkj? a b)(tx? ?n?? ，