【導(dǎo)讀】若a,b不斷地變化，我們可得到一族函數(shù)。信號(hào)的小波變換是a和b的函數(shù)，b是時(shí)移，a是尺度因子。又稱為基本小波，或母小波。小波基函數(shù)，或簡(jiǎn)稱小波基。式中,b的作用是確定對(duì)x分析的時(shí)間位置，式中的因子是為了保證在不同的尺度時(shí)，令的傅里葉變換為，的傅里葉變換為，由傅里葉變換的。此式即為小波變換的頻域表達(dá)式。由小波變換的兩個(gè)定義可以看出，如果在。功能，也即反映的是在b附近的性質(zhì)；若具有帶通性質(zhì)，即圍繞著中心頻率。這樣,的時(shí)寬－帶寬積仍是,中三個(gè)時(shí)、頻分析區(qū)間的面積保持不變。此，小波變換提供了一個(gè)在時(shí)、頻平面上可調(diào)的分析窗口，小波變換的時(shí)域及頻率分辨率。信號(hào)中的高頻成份往往對(duì)應(yīng)時(shí)域中的快變成份。份間隔短的需要，對(duì)頻域的分辨率則可以放寬，當(dāng)然，心頻率也應(yīng)移到低頻處。小波變換的這一特點(diǎn)即既符合對(duì)信號(hào)作實(shí)際分。析時(shí)的規(guī)律，也符合人們的視覺(jué)特點(diǎn)。這是FT的一個(gè)嚴(yán)重的缺點(diǎn)。變化而自動(dòng)調(diào)節(jié)分析帶寬的能力，如圖。

　　

【正文】 的分母滿足（ ）式，因此有 () 這樣，對(duì)偶小波 也滿足穩(wěn)定性條件，也即，總可以找到 一個(gè) “ 穩(wěn)定的 ” 對(duì)偶小波 由（ ）式重建出 。 )(t? Zja j ?? ,2)(, tbj?)(? t?????????????jj 2)2()()(?AB jj 1)2(1 2 ???? ?????)(? t?)(? t? )(tx第 9章 小波變換基礎(chǔ) 定理 : 如果存在常數(shù) ，使得 () 則 () 如果 滿足 () 則 () 0,0 ?? BA?????? ?????B2Aj2j )(222 ),(21 xBbjWTxAxjj ?? ?????)(? t?}{ 1)2(?)2( ０－＝ Rjjj?????????????)(?),(2)( , tjWTtx jxjj?????? ??? ? ?dbbtbjWT jxjj ))(2(?),(2 2/3 ?? ?????? ?? ? 第 9章 小波變換基礎(chǔ) 定理 ，若 的傅里葉變換滿足穩(wěn)定性條件， 則 在 上的小波變換的幅平方的和是有界的。進(jìn) 而， 和 的傅里葉變換若滿足（ ）式（也即 （ ）式），則 可由（ ）式重建。 若（ ）式的穩(wěn)定性條件滿足，則（ ）式的容許條件必定滿足，且 () 從而，由連續(xù)小波變換 總可以恢復(fù) ，即 （ ） 式總是成立 )(t?)(tx Zja j ?? ,2)(t? )(? t?)(tx? ?????? B BdA 022ln)(2ln),( baWT x )(tx 第 9章 小波變換基礎(chǔ) 總結(jié)： 若 滿足容許條件，且再滿足穩(wěn)定性條件，由二進(jìn)小波變換 總可以重建，也即一個(gè)滿足穩(wěn)定性條件的對(duì)偶小波 總是存在的。但是，滿足穩(wěn)定性條件的對(duì)偶小波 不一定是唯一的。如何構(gòu)造 “ 好 ” 的小波 及得到唯一的對(duì)偶小波 是小波理論中的重要內(nèi)容。 )(t?),( bjWT x)(? t?)(? t?)(? t?)(t?第 9章 小波變換基礎(chǔ) 離散柵格上的小波變換 令 ，可實(shí)現(xiàn)對(duì) a的離散化。若 j=0，則 。當(dāng) 時(shí)，將 a由 變成 時(shí)，即 是將 a擴(kuò)大了 倍，這時(shí)小波 的中心頻率比 的中心頻率下降了 倍，帶寬也下降了 倍。 當(dāng)尺度 a分別取 時(shí)，對(duì) b的抽樣間隔可以取 這樣，對(duì) a和 b離散化后的結(jié)果是： () )()(, bttbj ?? ?? Zjaa j ?? ,00?j 10?ja ja00a )(, tkj?)(,1 tkj??0a 0a, 20200 ?aaa, 02020000 ?bababa)]([)( 0002/0, bkataat jjjkj ?? ?? ??Zkjkbtaa 0j02j0 ??? ?? ,)(/ ?第 9章 小波變換基礎(chǔ) 對(duì)給定的信號(hào) 連續(xù)小波變換可變成如下離散 柵格上的小波變換，即 () 此式稱為 “ 離散小波變換（ Discrete Wavelet Transform， DWT） ” 。 注意 :式中 t仍是連續(xù)變量。這樣， (a,b)平面上離散 柵格的取點(diǎn)如圖 。圖中取 ，尺 度軸取以 2為底的對(duì)數(shù)坐標(biāo)。 )(txdtttxkjWT kjx )()(),( ,?? ?20 ?a第 9章 小波變換基礎(chǔ) 圖 DWT取值的離散柵格 由該圖可看出小波分析的 “ 變焦距 ” 作用 ， 即在不同的尺度下 （ 也即不同的頻率范圍內(nèi) ） ， 對(duì)時(shí)域的分析點(diǎn)數(shù)是不相同的 。 第 9章 小波變換基礎(chǔ) 記 ，仿照傅里葉級(jí)數(shù)和 Gabor展開(kāi) 那樣來(lái)重建 ，即 () 該式稱為小波級(jí)數(shù)， 稱為小波系數(shù)， 是 的對(duì)偶函數(shù)，或?qū)ε夹〔ā? ),(, kjWTd xkj ?)(tx)(?)()( , tkdtx kj0j kj ?? ????????)(kdj )(?, tkj?)(, tkj? 第 9章 小波變換基礎(chǔ) 對(duì)任一周期信號(hào) ，若周期為 T，且 ， 則可展成傅里葉級(jí)數(shù)，即 () 式中 是 的傅里葉系數(shù)，它由下式求出： () )(tx ),0()(2 TLtx ?)(txTekXtxktjk 0 ?２＝０??? ??????)()()( 0?kXdtetxTkX TTtjk?????? 2/2/00)(1)(第 9章 小波變換基礎(chǔ) 小波級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)形式上類似，但其物理 概念卻有著明顯的不同： ? 傅里葉級(jí)數(shù)的基函數(shù) ，是一組正交基，即 。 小波級(jí)數(shù) 所用的一族函數(shù)不一定是正交基，甚至不一定是一組 “ 基 ” ； Zke tjk ?? ,0)(, 210201 kkee tjktjk ???? ?? ?)(? , tkj?第 9章 小波變換基礎(chǔ) ?對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，基函數(shù)是固定的，且分析和重建的基函數(shù)是一樣的，即 都是（差一負(fù)號(hào)）；對(duì)小波級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，分析所用的函數(shù)是可變的，且分析和重建 所用的函數(shù)是不相同的，即分析時(shí)是 ，而重建時(shí)是 ； ?在傅里葉級(jí)數(shù)中，時(shí)域和頻域的分辨率是固定不變的，而小波級(jí)數(shù)在 a,b軸上的離散化是不等距的，這正體現(xiàn)了小波變換 “ 變焦 ” 和 “ 恒 Q”性的特點(diǎn)。 tjke 0?)(, tkj?)(, tkj? )(? , tkj?第 9章 小波變換基礎(chǔ) 將連續(xù)小波變換改變成離散小波變換的疑問(wèn)： ? 一族小波函數(shù) ，在空間 上是否是完備的？所謂完備，是指對(duì)任一 ，它都可以由這一組函數(shù)（即 ）來(lái)表示； ? 如果 是完備的，那么 對(duì)的表示 是否有信息的冗余？ ? 如果 是完備的，那么對(duì) a和 b的抽樣間隔如何選取才能保證對(duì) 的表示不存在信息的冗余？ Zkjtkj ?,),(,? )(2 RL)()( 2 RLtx ?)(, tkj?)(, tkj? )(, tkj? )(tx)(, tkj?)(tx第 9章 小波變換基礎(chǔ) 小波標(biāo)架理論介紹 ? 標(biāo)架的基本理論，其要點(diǎn)是： ? 若 是 Hilbert空間中的一組向量，對(duì)給定的 若存在常數(shù) ，滿足 () 則 構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)架； ? 若 A=B，則稱 為緊標(biāo)架，若 A=B=1，則 成一正交基 ? 定義標(biāo)架算子 S為 () 則 () 記 為的對(duì)偶函數(shù)族，則 也構(gòu)成一個(gè)標(biāo)架，標(biāo)架界 分別為 和 ； ? ?n? )()( 2 RLtx ????? BA0222 , xBxxAnn ???? ? ?? ?n?? ?n? ? ?n?? ???nnnxSx ??,nnnnnn SxSxx ????11 , ?? ?????? ??nn S ?? 1? ?? n??1?B 1A?第 9章 小波變換基礎(chǔ) ? 用標(biāo)架來(lái)表征一個(gè)信號(hào) ，也即對(duì) 作分解時(shí)，標(biāo)架 可給出完備的且是穩(wěn)定的表示，但這種表示是冗余的，即 之間是線性相關(guān)的，因此 不是唯一的。對(duì)信號(hào)的冗余表示有時(shí)并不一定是壞事，它在表示的穩(wěn)定性、對(duì)噪聲的魯棒性（ robustness）方面都優(yōu)于正交基； ? 標(biāo)界邊界 B和之 A比值，即 B/A稱為冗余比。在實(shí)際工作中，總希望接近于 1，即 為緊標(biāo)架。當(dāng)A=B時(shí)，有 () ? ?n?x xn??? ?n?jj A ??1? ?第 9章 小波變換基礎(chǔ) 定理 : 如果 構(gòu)成 中的一 個(gè)標(biāo)架，且標(biāo)架邊界分別為 A和 B，則母小波須滿足： () 及 () Zkjkbtaat jjkj ??? ?? ,),()( 002/0, ?? )(2 RLBabdAab ?? 2ln)(2ln 000200 ? ? ??????BabdAab ?? 2ln)(2ln 000200 ????????? 第 9章 小波變換基礎(chǔ) 以上定理又稱構(gòu)成標(biāo)架 的必要條件。這一條件實(shí)際上即是連續(xù)小波變換中的容許條件。當(dāng)僅 a對(duì)取二進(jìn)制離散化， b保持連續(xù)時(shí)，該必要條件也就是充分條件 。 )(, tkj?第 9章 小