【導(dǎo)讀】橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).橢圓的參數(shù)方程.了解圓錐曲線的初步應(yīng)用.查圓錐曲線的概念與性質(zhì)；②求曲線方程和軌跡；③關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問(wèn)題.橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)1F、2F的距離的和大于|1F2F|這個(gè)條件不可忽視.若這。個(gè)距離之和小于|1F2F|，則這樣的點(diǎn)不存在；若距離之和等于|1F2F|，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段1F2F.：判別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸只要看分母的大?。喝绻?x項(xiàng)的分母大于2y項(xiàng)的分母，所圍成的矩形里.⑵對(duì)稱性：分別關(guān)。于x軸、y軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心.⑶頂點(diǎn)：有四個(gè)1A、2A（a，0）1B、2B（0，b）.線段1A2A、1B2B分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸.它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸。叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0＜e＜越接。近于1時(shí)，橢圓越扁；反之，e越接近于0時(shí)，橢圓就越接近于圓.

　　

【正文】 雙曲線的方程為 14816 22 ?? yx 。 點(diǎn)評(píng)：看起來(lái)問(wèn)題已經(jīng)解決，然而離心率這個(gè)條件似乎多余，而根據(jù)求得的方程又得不到離心率為 32 。錯(cuò)誤是顯然的，那么問(wèn)題在哪里呢？其實(shí)問(wèn)題就在于此方程并不是標(biāo)準(zhǔn)方程，而我們把它當(dāng)作了標(biāo)準(zhǔn)方程。正確的做法是利用雙曲線的第二定義來(lái)求出方程（下略）。由此看來(lái)，判斷準(zhǔn)方程的類(lèi)型是個(gè)關(guān)鍵。 2過(guò)點(diǎn) (0,1)作直線，使它與拋物線 xy 42 ? 僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有 條 條 C. 3 條 D. 0 條 錯(cuò)解：設(shè)直線的方程為 1??kxy ，聯(lián)立 ??? ??? 142 kxy xy，得 ? ? xkx 41 2 ?? ， 即： 01)42(22 ???? xkxk ，再由Δ＝ 0,得 k=1,得答案 A. 剖析：本題的解法有兩個(gè)問(wèn)題，一是將斜率不存在的情況考慮漏掉了，另外又將斜率 k=0 的情形丟掉了，故本題應(yīng)有三解，即直線有三條。 小 結(jié)：直線與拋物線只有一解時(shí)，并不一定相切，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，也只有一解。 2已知曲線 C： 2202xy ??與直線 L： mxy ??? 僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求 m 的范圍。 錯(cuò)解：曲線 C： 2202xy ??可化為 204 22 ?? yx （ 1），聯(lián)立 ??? ?? ??? 20422 yxmxy，得： yxo 020485 22 ???? mmxx ， 由Δ＝ 0,得 5?m 。 分析：方程（ 1）與原方程并不等價(jià)，應(yīng)加上 ? ???? ,0y 。 故原方程的對(duì)應(yīng)曲線應(yīng)為橢圓的上半部分。（如圖），結(jié)合圖形易求得 m 的范圍為52525 ???? mm 或 。 解題回顧：在將方程變形時(shí)應(yīng)時(shí)時(shí)注意范圍的變化，這樣才不會(huì)出錯(cuò)。 設(shè)雙曲線的漸近線為： xy 23?? ，求其離心率。 錯(cuò)解：由雙曲線的漸近線為： xy 23?? ，可得： 23?ab ，從而 2131 22 ???? abace 剖析：由雙曲線的漸近線為 xy 23?? 是不能確定焦點(diǎn)的位置在 x 軸上的，當(dāng)焦點(diǎn)的位置在 y 軸上時(shí)，32?ab ，故本題應(yīng)有兩解，即： 2131 22 ????abace 或 313 。 3已知雙曲線 1222 ?? yx，過(guò) P(1,1)能否作一條直線 L 與雙曲線交于 A、 B 兩點(diǎn)，且 P 為 AB 中點(diǎn)。 錯(cuò)解：（ 1）過(guò)點(diǎn) P 且與 x 軸垂直的直線顯然不符合要求。 （ 2）設(shè)過(guò) P 的直線方程為 )1(1 ??? xky ，代入 1222 ?? yx并整理得： 02)1()1(2)2( 222 ??????? kxkkxk ∴ 221 2 )1(2 k kkxx ???? ，又∵ 221 ??xx ∴ 22 )1(2 2 ???kkk 解之得： k=2，故直線方程為： y=2x1,即直線是存在的。 剖析：本題的問(wèn)題在于沒(méi)有考慮隱含條件“Δ 0”，當(dāng) k=2 時(shí)代入方程可知Δ 0，故這樣的直線不存在。 解題反思：使用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系必需要注意檢驗(yàn)根的判別式 0?? 是否成立。 3直線 L： )5( ?? xky 與圓 O： 1622 ??yx 相交于 A、 B 兩點(diǎn)，當(dāng) k 變動(dòng)時(shí)，弦 AB 的中點(diǎn) M 的軌跡方程。 錯(cuò)解：易知直線恒過(guò)定點(diǎn) P（ 5,0），再由 APOM? ，得： 222 MPOMOP ?? ∴ 25)5( 2222 ????? yxyx ，整理得： 42525 22 ???????? ? yx 剖析：求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)應(yīng)注意它的完備性與純粹性。本題中注意到點(diǎn) M 應(yīng)在圓內(nèi)，故易求得軌跡為圓內(nèi)的部分，此時(shí) 5160 ??x 。 3設(shè)點(diǎn) P(x,y)在橢圓 44 22 ?? yx 上，求 yx? 的最大、最小值。 錯(cuò)解：因 44 22 ?? yx ∴ 44 2?x ，得： 11 ??? x ，同理得： 22 ??? y ， 故 33 ???? yx ∴最大、最小值分別為 3,3. 剖析：本題中 x、 y 除了分別滿足以上條件外，還受制約條件 44 22 ?? yx 的約束。當(dāng) x=1 時(shí) ,y 此時(shí)取不到最大值 2, 故 x+y 的最大值不為 3 。 其 實(shí) 本 題 只 需 令 ?? sin2,co s ?? yx ，則)s i n (5s i n2c o s ???? ????? yx ，故其最大值為 5 ，最小值為 5? 。 高中數(shù)學(xué)系列 11 綜合測(cè)試題 學(xué)校：中山市龍山中學(xué) 命題：曹 毓 一、選擇題 1．下列語(yǔ)句中是假命題的是 （ ） A．二次函數(shù)的圖象是一條拋物線 B．對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？ C．兩個(gè)內(nèi)角等于 45176。的三角形是等腰直角三角形 D．若整數(shù) a 是素?cái)?shù)，則 a 是奇數(shù) 2．已知 23:,522: ??? qp ，則下列判斷中，錯(cuò)誤的是 （ ） A． 為假為真 q，qp ?? B． 為真為真 p，qp ?? C． 為假為假 p，qp ?? D． 為真為假 q，pqp ?? 3．命題“ 22 5 3 0xx? ? ? ”的一個(gè)必要不充分條件是 （ ） A． 321 ??? x B． 421 ??? x C．213 ??? x D． 13x?? 4．若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)把兩準(zhǔn)線間的距離三等分，則這個(gè)橢圓的離心率是 （ ） A．31 B．23 C．33 D． 3 5．已知雙曲線與橢圓 224 64xy??有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線是 yx? ，則雙曲線方程為 （ ） A． 2280xy?? B． 2280yx?? C． 2224yx?? D． 2296xy?? 6．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是 y 軸的拋物線上一點(diǎn) ( , 2)Pm? 到它的焦點(diǎn)的距離為 4，則 m 的值是 （ ） A． 4 B． 4 或 4? C． 2? D． 2 或 2? 7．函數(shù) 4431)( 3 ??? xxxf在 [0， 3]上的最值是 （ ） A．最大值是 4，最小值是34? B．最大值是 2，最小值是34? C．最大值是 4，最小值是31? D．最大值是 2，最小值是31? 8．已知有相同的兩焦點(diǎn) F1， F2 的橢圓 )1(122 ??? mymx 和雙曲線 )0(122 ??? nynx ， P 是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則 12PF PF? 等于 （ ） A． 1 B．21 C． 0 D．隨 m， n 的變化而變化 9．設(shè) )0)(()( 2 ???? acbxaxxxf 在 1x? 和 1x?? 處均有極值，則下列點(diǎn)中一定在 x 軸上的是 （ ） A． (, )ab B． (, )ac C． (, )bc D． ( , )a bc? 10．已知點(diǎn) M 是橢圓 )0(12222 ???? babyax 上的一點(diǎn)，兩焦點(diǎn)分別為 F1， F2, 點(diǎn) I 是 12MFF? 的內(nèi)心，連接 MI 并延長(zhǎng)交 F1F2 于 N 點(diǎn)，則INMI的值為 （ ） A．22 baa? B．22 bab? C． a ba 22 ? D． b ba 22 ? 二、填空題 11．經(jīng)過(guò)點(diǎn) ( 3,0)P? ， (0, 2)Q ? 的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 _______. 12．已知 P： 04, 2 ????? xxRx ；則 為P? _. 13．一拋物線型拱橋，當(dāng)水面離橋頂 2 米時(shí)，水面寬 4 米；若水面下降 1 米，則此時(shí)水面寬為 ____________米 . 14．已知雙曲線 13 22 ??yx， M 為其右支上一動(dòng)點(diǎn)， F 為其右焦點(diǎn)，點(diǎn) (3,1)A ，則 |MA|+|MF|的最小值為 . 三、解答題 15．已知橢圓方程為 2241xy??，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)、離心率和準(zhǔn)線方程 . 16．已知曲線 32y x x??上一點(diǎn) ( 1, 1)P?? ，求： （ 1）點(diǎn) P 處的切線方程 。 （ 2）點(diǎn) P 處的切線與 x 軸、 y 軸所圍成的平面圖形的面積 . 17．已知 2|3 11|: ??? xP , )0(012: 22 ????? mmxxq , 若 qp ??是 的必要不 充分條件，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 . 18．設(shè) P：關(guān)于 x 的不等式 1?xa 的解集是 ? ?0| ?xx Q：函數(shù) )lg( 2 axaxy ??? 的定義域?yàn)?R. 如果 P 和 Q 有且僅有一個(gè)正確，求 a 的取值范圍 . 19．設(shè) 0p? 是一個(gè)常數(shù) ,過(guò) 點(diǎn) (2 ,0)Qp 的直線與拋物線 2 2y px? 交于相異兩點(diǎn) A, B, 以線段 AB 為直徑作圓 H (H 為圓心 ). (1)試證拋物線頂點(diǎn)在圓 H 的圓周上 。 (2)求圓 H 的面積最小時(shí)直線 AB 的方程 . 20. 設(shè)橢圓方程為 1422 ?? yx,過(guò)點(diǎn) (0,1)M 的直線 t 交橢圓于點(diǎn) A、 B， O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) P 滿 足1 ()2OP OA OB??，點(diǎn) N 的坐標(biāo)為（ 21,21 ） .當(dāng) t 繞點(diǎn) M 旋轉(zhuǎn)時(shí)，求： （ 1）動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程； （ 2） | NP |的最小值與最大值 . 高中數(shù)學(xué)系列 11 綜合測(cè)試題參考答案 一、選擇題 BCBCC DACAA 二、填空題 11. 149 22 ?? yx 12. 04, 2 ????? xxRx 13. 62 14. 3226? 三、 解答題 15. 解：橢圓方程可化為 2211 14xy??，所以焦點(diǎn)在 y 軸上，且 131, ,22a b c? ? ?，長(zhǎng)軸長(zhǎng) 12| | 2 2A A a?? 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F1（ 0，23?）， )23,0(2F 頂點(diǎn)為 )0,21(),1,0( ?? 離心率23?e 準(zhǔn)線方程為 332??y 16. 解： (1) 223yx??? 1)1(32|39。 21 ??????? ??xy ? 切線方程為 ( 1) [ ( 1)]yx? ? ? ? ? ? 即 20xy? ? ? (2)切線 20xy? ? ? 在 x 軸、 y 軸上的截距都是 2? ，故切線與 x 軸、 y 軸所圍成的平面圖形為直角三角形，其面積為 2|2||2|21 ??????S. 17. 解： 2