【正文】 何性質：設橢圓方程為 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0） . ⑴ 范圍： a≤ x≤ a， b≤ x≤ b，所以橢圓位于直線 x= a? 和 y= b? 所圍成的矩形里 . ⑵ 對稱性：分別關于 x 軸、 y 軸成軸對稱，關于原點中心對稱 .橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心 . ⑶ 頂點：有四個 1A （ a， 0）、 2A （ a， 0） 1B （ 0， b）、 2B （ 0， b） . 線段 1A 2A 、 1B 2B 分別叫做橢圓的長軸和短軸 .它們的長分別等于 2a 和 2b， a 和 b 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長 . 所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，稱為橢圓的頂點 . ⑷ 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比 ace? 叫做橢圓的離心率 .它的值表示橢圓的扁平程度 .0＜ e＜ 越接近 于 1 時，橢圓越扁；反之， e 越接近于 0 時，橢圓就越接近于圓 . ⑴ 定義：平面內動點 M 與一個頂點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數 ace? （ e＜ 1＝時，這個動點的軌跡是橢圓 . ⑵ 準線：根據橢圓的對稱性， 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0）的準線有兩條，它們的方程為 cax2??.對于橢圓 12222 ??bxay（ a ＞ b ＞ 0）的準線方程，只要把 x 換成 y 就可以了，即 cay2??. ：由橢圓上任意一點與其焦點所連的線段叫做這點的焦半徑 . 設 1F （ c， 0）， 2F （ c， 0）分別為橢圓 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0）的左、右兩焦點， M（ x， y）是橢圓上任一點，則兩條焦半徑長分別為 exaMF ??1 ， exaMF ??2 . 橢圓中涉及焦半徑時運用焦半徑知識解題往往比較簡便 . 橢圓的四個主要元素 a、 b、 c、 e 中有 2a = 2b + 2c 、 ace? 兩個關系，因此確定橢 圓的標準方程只需兩個獨立條件 . 橢圓 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0）的參數方程為cossinxayb????? ??（θ為參數） . 說明 ⑴ 這里參數θ叫做橢圓的離心角 . 橢圓上點 P 的離心角θ與直線 OP 的傾斜角α不同：?? tantan ab? ； ⑵ 橢圓的參數方程可以由方程 12222 ??byax與三角恒等式 1sincos 22 ?? ?? 相比較而得到，所以橢圓的參數方程的實質是三角代換 . 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的參數方程是cossinxayb????? ??. 的內外部 （ 1）點 00( , )Px y 在 橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的內部22020xyab? ? ?. （ 2）點 00( , )Px y 在 橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的外部22020xyab? ? ?. 6. 橢圓 的切線方程 橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?上一點 00( , )Px y 處的切線方程是 00221x x y yab??. （ 2）過橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?外一點 00( , )Px y 所引兩條切線的切點弦方程是 00221x x y yab??. （ 3）橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?與直線 0Ax By C? ? ? 相切的條件是 2 2 2 2 2A a B b c?? 雙曲線及其標準方程 雙曲線的定義：平面內與兩個定點 1F 、 2F 的距離的差的絕對值等于常數 2a（小于 | 1F 2F |）的動點 M 的軌跡叫做雙曲線 .在這個定義中，要注意條件 2a＜ | 1F 2F |，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解 .若 2a=| 1F 2F |，則動點的軌跡是兩條射線；若 2a＞ | 1F 2F |，則無軌跡 . 若 1MF ＜ 2MF 時，動點 M 的軌跡僅為雙曲線的一個分支，又若 1MF ＞ 2MF 時，軌跡為雙曲線的另一支 .而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應為“差的絕對值” . 雙曲線的標準方程： 12222 ??byax和 12222 ??bxay（ a＞ 0， b＞ 0） .這里 222 acb ?? ，其中 | 1F 2F |=注意這里的 a、 b、 c 及它們之間的關系與橢圓中的異同 . ：如果 2x 項的系數是正數，則焦點在 x 軸上；如果 2y 項的系數是正數，則焦點在 y 軸上 .對于雙曲線， a 不一定大于 b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上 . ，應注意兩個問題：⑴ 正確判斷焦點的位置； ⑵ 設出標準方程后，運用待定系數法求解 . 雙曲線的簡單幾何性質 雙曲線 12222 ??byax的實軸長為 2a，虛軸長為 2b，離心率 ace? ＞ 1，離心率 e 越大，雙曲線的開口越大 . 雙曲線 12222 ??byax的漸近線方程為 xaby ?? 或表示為 02222 ??byax.若已知雙曲線的漸近線方程是xnmy ?? ，即 0??nymx ，那么雙曲線的方程具有以下形式： kynxm ?? 2222 ，其中 k 是一個不為零的常數 . 雙曲線的第二定義：平面內到定點（焦點）與到定直線（準線）距離的比是一個大于 1 的常數（離心率）的點的軌跡叫做雙曲線 .對于雙曲線 12222 ??byax，它的焦點坐標是（ c， 0）和（ c， 0），與它們對應的準線方程分別是 cax2??和 cax2?.雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的焦半徑公式 21 | ( ) |aPF e x c??，22 | ( ) |aPF e xc??. 雙曲 線 的內外部 點 00( , )Px y 在雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的內部22020xyab? ? ?. 點 00( , )Px y 在雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的外部22020xyab? ? ?. 雙曲 線 的方程與 漸近線方程的關系 (1）若雙曲線方程為 12222 ??byax ?漸近線方程：220xyab? ? ? xaby ??. 若漸近線方程為 xaby ?? ? 0??byax ? 雙曲線可設為 ??? 2222 byax. 若雙曲線與 12222 ??byax有公共漸近線，可設為 ??? 2222 byax（ 0?? ，焦點在 x 軸上， 0?? ，焦點在 y軸上） . 雙曲線的切線方程 雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?上一點 00( , )Px y 處的切線方程是 00221x x y yab??. （ 2）過雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?外一點 00( , )Px y 所引兩條切線的切點弦方程是 00221x x y yab??. （ 3）雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?與直線 0Ax By C? ? ? 相切的條件是 2 2 2 2 2A a B b c??. 拋物線的標準方程和幾何性質 1．拋物線的定義：平面內到一定點（ F）和一條定直線（ l）的距離相等的點的軌跡叫拋物線。 （ 8）直線與拋物線的關系：直線與拋物線方程聯(lián)立之后得到一元二次方程： x2 +bx+c=0，當 a≠ 0 時，兩者的位置關系的判定和橢圓、雙曲線相同，用判別式法即可；但如果 a=0，則直線是拋物線的對稱軸或是和對稱軸平行的直線，此時，直線和拋物線相交，但只有一個公共點。 例題 1 求過點（ 2， 1）且與兩坐標所圍成的三角形面積為 4 的直線方程。 例題 2 求過點 A（ 4， 2）且與 x 軸的交點到（ 1， 0）的距離是 5 的直線方程。 例題 4 已知圓的方程為 x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定點為 A（ 1， 2），要使過 A 點作圓的切線有兩條，求 a 的取值范圍。 例題 5 已知直線 L： y = x + b 與曲線 C： y = 21 x? 有兩個公共點，求實線 b 的取值范圍。 剖析：因為 A、 B、 C 三點為三角形三個頂點，所以 A、 B、 C 三點不共線，即 B、 C 不能重合，且不能為圓 A 一直徑的兩個端點，這正是解題后沒有對軌跡進行檢驗，出現(xiàn)增解，造成的解題錯誤。 ∴ z 最大＝ 3? 23 ＋ 5? 25 = 17 。 （ 2）求證方程 xxf ?)( 的兩實根 1x ， 2x 滿足 2|| 21 ??xx 解答：（ 1）設 ( 2 , 2 ) , ( 2 , 2 ) , 0B s s D s s s? ? ? ? ? 因為 B,D 在拋物線上 所以222 ( 2 ) ( 2 )2 ( 2 ) ( 2 )s S b S cS S b S c? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 兩式相減得 2 8 2s s sb?? ? 則 5b?? 代入（ 1） 得 22 4 4 10 5s s s s c? ? ? ? ? ? ? 288cs? ? ? ? 故點 ( , )Nbc 的方程 5( 8)xy?? ? 是一條射 線。 剖析：上述解法將 |||| 21 MOMO ? =3 看成 3|||||| 21 ?? MOMO ,誤認為動圓圓心的軌跡為雙曲線，這是雙曲線的概念不清所致。 錯解 設符合題意的直線 l 存在，并設 ),( 21 xxP 、 ),( 22 yxQ 則 ???????????)2(12)1(1222222121yxyx （ 1） )2(? 得 ))(( 2121 xxxx ?? )3())((21 2121 yyyy ??? 因為 A（ 1， 1）為線段 PQ 的中點，所以 ??? ?? ?? )5(2 )4(22121 yy xx 將 (4)、 (5)代入（ 3）得 )(21 2121 yyxx ??? 若 21 xx? ，則直線 l 的斜率 22121 ???? xx yyk 所以符合題設條件的直線 l 存在。 如圖 2 所示，圖中三個點 A、 B、 C 為所求，故應選（ C）。 已知 ? 是三角形的一個內角，且 sin? +cos? =51 則方程 x2 sin? － y2 cos? =1 表示（ ） A 焦 點在 x 軸上的雙曲線 B 焦點在 y 軸上的雙曲線 C 焦點在 x 軸上的橢圓 D 焦點在 y 軸上的橢圓 正確答案： D 錯因：學生不能由 sin? +cos? =51 判斷角 ? 為鈍角。 1已知對稱軸為坐標軸的雙曲線的漸近線方程為 )0,0(, ???? baxaby ，若雙曲線上有一點 M（ 00,yx ），使 |||| 00 xbya ? ，那雙曲線的交點（ ）。 1過函數 y= 294??xx 的圖象的對稱中心，且和拋物線 y2=8x 有且只有一個公共點的直線的條數共有（ ） A、 1 條 B、 2 條 C、 3 條 D、不存在 正確答案：（ B） 錯誤原因 ：解本題時極易忽視中心（ 2， 4）在拋物線上，切線只有 1 條，又易忽視平行于拋物線對稱軸的直線和拋物線只有一個公共點。 答案：13494)38( 22??? yx 錯解：由題意有動點的軌跡是雙曲線，又 F（ 4， 0），所以 c=4，又準線 x=3, 所以 4,12,3 222 ??? baca，故雙曲線方程為 141222 ?? yx 錯因：沒有明確曲線的中心位置，而套用標準方程。 而事實上 P 若在右支上，則其到 F1 的最短距離應為右頂點 A2 到 F1 的距離 | A2 F1|＝ a+c＝ 8，而 8316? ，故點 P 只能在左支，于是 |PF2|= 3343166 ?? 。 2過點 (0,1)作直線，使它與拋物線 xy 42 ? 僅有一個公共點，這樣的直線有 條 條 C. 3 條 D. 0 條 錯解：設直線的方程為 1??kxy ，聯(lián)立 ??? ??? 142 kxy xy，得 ? ? xkx 41 2 ?? ， 即： 01)42(22 ???? xkxk ，再由Δ＝ 0,得 k=1,得答案 A. 剖析：本題的解法有兩個問題，一是將斜率不存在的情況考慮漏掉了，另外又將斜率 k=0 的情形丟掉了，故本題應有三解，即直線有三條。 設雙曲線的漸近線為： xy 23?? ，求其離心率。 錯解：易知直線恒過定點 P（ 5,0），再由 APOM? ，得： 222 MPOMOP ?? ∴ 25)5( 2222 ????? yxyx ，整理得： 42525 22