【正文】 所以 e△ a1?S ， 即 a1?S 。 3）最后證明 △ 在 S中是封閉的對任意元素 a,b?S, b1?S, 而 b=(b1)1 所以 a△ b=a△ (b1)1?S 。 4） 結(jié)合律是保持的 2022/6/2 77 【 例 】 設(shè) H,*和 K,*都是群 G,*的子群，試證明H∩K,*也是 G,*的子群。 證明 設(shè)任意的 a,b?H∩K，因?yàn)?H,*和 K,*都是子群，所以 b1?H∩K，由于 *在 H和 K中的封閉性， 所以 a*b1?H∩K，由定理 H∩K,*也是 G,*的子群。 2022/6/2 78 一、阿貝爾群（ Abel 群） 定義 設(shè) G,?為一群 ,若 ? 運(yùn)算滿足 交換律 ,則稱 G為 交換群 或 阿貝爾群 (Abel group)。阿貝爾群又稱 加群 ，常表示為 G， + （這里的 + 不是數(shù)加，而泛指可交換二元運(yùn)算）。加群的幺元常用 0來表示， 元素 x的逆元常用 x來表示。 55 阿貝爾群和循環(huán)群 2022/6/2 79 例題 1 設(shè) S={a,b,c,d}，在 S上定義一個雙射函數(shù) f : f (a)=b, f (b)=c,f (c)=d,f (d)=a, 對于任一 x?S，構(gòu)造復(fù)合函數(shù) f 2 (x)=f o f (x)=f ( f (x)) f 3 (x)=f o f 2(x)=f ( f 2(x)) f 4 (x)=f o f 3(x)=f ( f 3(x)) 如果用 f 0表示 S上的恒等映射，即 f 0(x)=x x?S 很明顯地有 f 4(x)= f 0(x)，記 f 1=f，構(gòu)造集合 F={ f 0 , f 1 , f 2, f 3 } ，那么 F， o是一個阿貝爾群。 2022/6/2 80 解 對于 F中任意兩個函數(shù)的復(fù)合，可以由表 o f 0 f 1 f 2 f 3 f 0 f 1 f 2 f 3 f 0 f 1 f 2 f 3 f 1 f 2 f 3 f 0 f 2 f 3 f 0 f 1 f 3 f 0 f 1 f 2 可見，復(fù)合運(yùn)算 o關(guān)于 F是封閉的，并且是可結(jié)合的。 f 0的逆元就是它本身， f 1和 f 3互為逆元， f 2的逆元也是它本身。 由表 ，可知復(fù)合運(yùn)算 o是可交換的。因此 F， o是一個阿貝爾群。 2022/6/2 81 再看 54節(jié)例題 1 【 例 】 設(shè) R={0176。 ,60176。 ,120176。 ,180176。 ,240176。 ,300176。 }表示在平面上幾何圖形繞形心順時針旋轉(zhuǎn)角度的六種可能情況，設(shè) ★ 是 R上的二元運(yùn)算，對于 R中任意兩個元素 a和 b， a★ b表示平面圖形連續(xù)旋轉(zhuǎn) a和 b得到的總旋轉(zhuǎn)角度。并規(guī)定旋轉(zhuǎn) 360176。 等于原來的狀態(tài)，就看作沒有經(jīng)過旋轉(zhuǎn)。 已經(jīng)驗(yàn)證了 R，★ 是群。 由運(yùn)算表的對稱性知運(yùn)算★是可交換的，因此 R，★ 是阿貝爾群。 ★ 0 60 120 180 240 300 0 0 60 120 180 240 300 60 60 120 180 240 300 0 120 120 180 240 300 0 60 180 180 240 300 0 60 120 240 240 300 0 60 120 180 300 300 0 60 120 180 240 2022/6/2 82 【 練習(xí) 】 設(shè) G， *是一個獨(dú)異點(diǎn)，并且對于 G中的每一個 x都有 x*x=e，其中 e是幺元，證明 G， *是一個阿貝爾群。 證明： x*x=e說明 G中的 每一個元素 x都是自身的逆元 ，所以 G， *是一個群。 任取 x， y∈ G，則 x*y∈ G 因?yàn)?x*y=（ x*y） 1=y1*x1=y*x 所以 G， *是一個阿貝爾群。 此題的推論：若群中每個元素的逆元都是它自己，則該群必是可交換群。 2022/6/2 83 例題 2 設(shè) G為所有 n階非奇（滿秩）矩陣的集合，矩陣乘法運(yùn)算ο作為定義在集合 G上的二元運(yùn)算，則 G, ο是一個不可交換群。 解 任意兩個 n階非奇矩陣相乘后，仍是一個非奇矩陣，所以運(yùn)算 ο是封閉的。 矩陣乘法運(yùn)算 ο是可結(jié)合的。 N階單位陣 E是 G中的幺元。 任意一個非奇矩陣 A存在唯一的逆陣 A1，使 A1οA=AοA1=E。 但矩陣乘法運(yùn)算 ο是不可交換的，因此 G, ο是一個不可交換群。 2022/6/2 84 定理 設(shè) G,?為一群 , G,?是阿貝爾群的充要條件是對任意的 a,b?G，有 （ a?b） ?（ a?b） =（ a?a） ?（ b?b） 證明 : 1） 先證充分性 從條件“ （ a?b） ?（ a?b） =（ a?a） ?（ b?b） ”出發(fā)，推出“ G,?是阿貝爾群”的結(jié)論： 對于元素 a,b?G， 有 (a?b)?(a?b)=(a?a)?(b?b) 因?yàn)? 右端 =a?(a?b)?b=(a?a)?(b?b)=(a?b)?(a?b)=a?(b?a)?b 即 a?(a?b)?b=a?(b?a)?b 由可約性得，用 a1左 ?上式，再用 b1右 ?上式， (a?b)=(b?a) 2022/6/2 85 2） 再證必要性 從“ G,?是阿貝爾群”的結(jié)論出發(fā) ，推出 “ (a?b)?(a?b)=(a?a)?(b?b)” 對任意的 a, b?G， 有 a*b=b*a， 因此 ， (a*b)*(a*b) =a*(b*a)*b =a*(a*b)*b =(a*a)*(b*b) 即 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 2022/6/2 86 二、循環(huán)群 定義 設(shè) G,?為群，如果在 G中存在元素 a ,使 G以 {a}為生成集， G的任何元素都可表示為 a 的冪（約定 e=a0） ,稱 G,?為 循環(huán)群 (cyclic group)，這時 a稱為循環(huán)群 G的 生成元 （ generater）。 例如， 60186。就是群 {0186。 ,60186。 ,120186。 ,180186。 ,240186。 ,300186。}, ★ 的生成元，因此，該群是循環(huán)群。 2022/6/2 87 定理 設(shè)任何一個循環(huán)群必定是阿貝爾群。 證明思路 :循環(huán)群 ?是阿貝爾群 設(shè) G,?是一個循環(huán)群， a是該群的生成元，則對于任意的 x,y?G ，必有 r,s?I，使得 x= ar 和 y = as 而且 x?y=ar?as=ar+s =as+r =as?ar =y?x 因此，運(yùn)算 ?可交換，是阿貝爾群。 2022/6/2 88 定義 設(shè) G,?為群， a?G，如果 an= e, 且 n為滿足此式的最小正整數(shù) ,則稱 a 的 階 (order)為 n，如果上述 n不存在時 ,則稱 a有無限階 . 定理 設(shè) G,?為循環(huán)群， a?G是該群的生成元，如果 G的階數(shù)是 n ，即 | G |= n ，則 an = e,且 G={a1, a2, a3,..., an2, an1, an=e} 其中， e是群 G,?的幺元。 n是使 an=e的最小正整數(shù)。 2022/6/2 89 證明思路 :先證 a的階為 n 設(shè)對于某個正整數(shù) m,mn,有 am=e。那么，由于 G,?是一個循環(huán)群，所以對于 G中任意的元素都能寫為 ak (k? I),而且 k=mq+r,其中 q是某個整數(shù) ,0≤rm,則有 ak=amq+r =(am)q?ar =(e)q?ar =ar 因此， G中每一元素都可寫成 ar(0≤rm)， G中最多有 m個元素。與 |G|= n矛盾。所以 am=e是不可能的。 再用反證法證明 a1 ， a2 ， ... ， an互不相同。 設(shè) ai= aj，其中 1≤ij≤n ，就有 aji =e ，而且 1≤jin ，這已經(jīng)有上面證明是不可能的。 所以 a1 ， a2 ， ... ， an都不相同。 因此 G={a1, a2, a3,..., an2, an1, an=e} 2022/6/2 90 例題 3 設(shè) G={α,β,γ,δ},在 G上定義二元運(yùn)算 *如表 ，說明 G,* 是一個循環(huán)群。 * α β γ δ α β γ δ α β γ δ β α δ γ γ δ β α δ γ α β 2022/6/2 91 解：由運(yùn)算表 ，運(yùn)算 *是封閉的， α是幺元。 β， γ 和 δ的逆元分別是 β， δ 和 γ 。可以驗(yàn)證運(yùn)算 *是可結(jié)合的。所以 G,* 是一個群。 在這個群中， 由于 γ * γ= γ2=β， γ3=δ， γ4=α 以及 δ * δ = δ2=β ， δ3=γ， δ4=α 故群 G,* 是有 γ或 δ 生成的，因此 G,* 是一個循環(huán)群。 從例題 3中可以看到：一個循環(huán)群的生成元可以不是唯一的。 2022/6/2 92 又如整數(shù)加群 I， +，任取 i∈ I， 若 i0，則 i=1+1+…+1=1 i（ i個 1相加） 若 i=0，因?yàn)?0是單位元，由定義，有 0=10 ； 若 i0，設(shè) i=j i=j=(1)+(1)+…+( 1) =(1)j=(11)j=1j=1i （ j個 1相加） 所以，群的 I， +，任何元素都可以寫成 1的冪，即是循環(huán)群，1是循環(huán)群的生成元。 1也是循環(huán)群 I， +的生成元。 2022/6/2 93 本節(jié)里 ， 將討論群論中一種常見而又重要的群：置換群 。 （ 特別在研究群的同構(gòu)群時 ，置換群扮演著極重要的角色 。 ） 在正式討論置換群以前 ， 需要先作些必要的準(zhǔn)備 。 56 置換群與伯恩賽德定理 2022/6/2 94 復(fù)習(xí) 一、非空集合 S上的一個雙射稱為 S的一個置換。 二、若集合 S的階為 n，則 S上的雙射有 n！個，即 S上有 n！個不同置換。 三、等價關(guān)系，集合 S上的二元關(guān)系 R滿足自反性、對稱性、傳遞性，則稱 R是 S上的一個等價關(guān)系。 自反性： 設(shè) R是集合 X上的二元關(guān)系，如果對于每一個 x?X， 有 x， x?R，則稱 R是自反的。 對稱性： 設(shè) R是集合 X上的二元關(guān)系，如果對于每一個 x， y?X，每當(dāng) x， y?R，就有 y， x?R，則稱 R是對稱的。 傳遞性： 設(shè) R是集合 X上的二元關(guān)系，如果對于任意 x， y， z?X，每當(dāng) x， y?R， y， z?R時就有 x， z?R，則稱 R是傳遞的。 2022/6/2 95 四、等價類：設(shè) R為集合 S上的等價關(guān)系，對任何 a? S ，集合[a]R={x|x? S ， aRx}稱為元素 a形成的 R等價類。 五、定理：集合 S上的等價關(guān)系 R，決定了 S的一個劃分，該劃分就是商集 S /R。 六、商集：集合 S上的等價關(guān)系 R，其等價類的集合 {[a]R|a? S}稱為 S關(guān)于 R的商集，記作 S /R。 所以集合 S上的等價關(guān)系 R，決定了 S的一個劃分，該劃分的每一塊都是一個等價類。 2022/6/2 96 一、置換群 對于一個具有 n個元素的集合 S，將 S上所有 n!個不同置換所組成的集合記作 Sn。 定義 設(shè) π1, π2?Sn， Sn上的二元運(yùn)算 ο和◇ ，使得 π1οπ2和 π2 ◇ π1都表示對 S的元素先應(yīng)用置換 π2接著再應(yīng)用置換 π1所得到的置換。二元運(yùn)算 ο和◇分別稱為左復(fù)合和右復(fù)合。 2022/6/2 97 例 1 設(shè) S={a,b,c,d}