【正文】 [0] [2] [2] [3] [0] [1] [3] [3] [0] [1] [2] 例：離散函數(shù)代數(shù)系統(tǒng)和剩余類加代數(shù)系統(tǒng)是同構(gòu)的。 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) 定義一函數(shù) h: F ? N4， h( f i) = [i]，其中 i ? {0,1,2,3}， 元素一一對(duì)應(yīng)； h( f i ? f j) = h( f i) +4 h( f j) =[i] +4 [j]， 運(yùn)算是一一對(duì)應(yīng)的； ∴ F,?和 N4 ,+4是二個(gè)同構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)。 在實(shí)際中，把對(duì)應(yīng)的元素和運(yùn)算進(jìn)行交換，就能得到相同的運(yùn)算表。 例：試考定下列二代數(shù)系統(tǒng) U和 V是否同構(gòu)： U= {? ,A ,~A ,E} ,~ ,? ,? ， V = {1,2,5,10} ,175。 ,? ,? , 其運(yùn)算表如下： 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) S ~S ? E A ~A ~A A E ? ? ? A ~A E ? ? A ~A E A A A E E ~A ~A E ~A E E E E E E ? ? A ~A E ? ? ? ? ? A ? A ? A ~A ? ? ~A ~A E ? A ~A E 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) X 175。 1 10 2 5 5 2 10 1 X ? 1 2 5 10 1 1 2 5 10 2 2 2 10 10 5 5 10 5 10 10 10 10 10 10 ? 1 2 5 10 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 5 1 1 5 5 10 1 2 5 10 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) 定義 V 中： ? ：求二數(shù)的最小公倍數(shù)； ? ：求二數(shù)的最大公約數(shù)；“ 175。 ”： 10被 x除所得之商。 由運(yùn)算表可見： 定義一函數(shù) f :{1, 2, 5, 10}? {? ,A ,~A ,E} f (1) = ? ， f (2) = A ,， f (5) = ~A ,， f (10) = E 元素一一對(duì)應(yīng)； x 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) 對(duì)任一 a,b ?{1,2,5,10}有 f (175。 ) =~ f (a) a f (a ? b) =f (a) ? f (b) f (a ? b) =f (a) ? f (b) 運(yùn)算一一對(duì)應(yīng)。 ∴ f 是一雙射函數(shù)， U和 V 二個(gè)代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)。 若二個(gè)代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)，則此二個(gè)代數(shù)系統(tǒng)具有完全相同的性質(zhì) ,所以對(duì)于同構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng) ,只要研究其中一個(gè)代數(shù)系統(tǒng) ,其它的代數(shù)系統(tǒng)的問題也就解決了 ,給我們研究問題帶來了方便。 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) 《 定理 》 代數(shù)系統(tǒng)中的同構(gòu)關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。 證：（ 1）自反性：因?yàn)槿魏我粋€(gè)代數(shù)系統(tǒng)可以通過恒等映射與它自身同構(gòu)； （ 2）對(duì)稱性：設(shè) U和 V同構(gòu)且有對(duì)應(yīng)的同構(gòu)映射 f， f是雙射函數(shù)， f的逆是 V到 U的同構(gòu)映射，即 V和 U同構(gòu)； （ 3）傳遞性：設(shè) f是 U到 V的同構(gòu)映射， g是 V到 W的同構(gòu)映射，因?yàn)?f和 g是雙射函數(shù)， f ?g是 U到 W的同構(gòu)映射。即 U和 W同構(gòu)。 所以，同構(gòu)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系。 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) 《 定理 》 設(shè) f是從代數(shù)系統(tǒng) U = A,? 到 V = B,* 的同態(tài)映射， （ 1）如果 U是半群，那么在 f作用下，同態(tài)象 f(A),*也是半群； （ 2）如果 U是獨(dú)異點(diǎn)，那么在 f作用下，同態(tài)象 f(A),*也是獨(dú)異點(diǎn)； （ 3）如果 U是群，那么在 f作用下，同態(tài)象 f(A),*也是群； 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) 證明： 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) ： 這是討論同一代數(shù)系統(tǒng)中的關(guān)系。 同余關(guān)系是代數(shù)系統(tǒng)的集合中的等價(jià)關(guān)系，在運(yùn)算的作用下，能保持運(yùn)算的等價(jià)類，同余關(guān)系是相等關(guān)系的推廣。 在介紹同余關(guān)系之前先看一個(gè)例子。 例：設(shè) F , +, ,? 是一代數(shù)系統(tǒng) ,其中 F是所有分?jǐn)?shù)的集合 ,+,, ?為一般的加 ,減 ,乘法。則在 F中 ,可把相等的分?jǐn)?shù)作為元素的集合是 F的子集 : [1/2]= {…, 2/4 ,1/2 ,1/2 ,2/4 ,3/6 ,…}, [1/3]= {…, 2/6 ,1/3 ,1/3 ,2/6 ,….} 。 若對(duì)二個(gè)等價(jià)類中的元素進(jìn)行 +,, ?運(yùn)算，則運(yùn)算結(jié)果必定屬于同一等價(jià)類中。 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) 如： 1/2 +1/3 = (1/2+2/6) = (2/4 +1/3 ) ?[5/6] 。 1/2 ? 1/3 = (1/2 ? 2/6) =( 2/4 ? 1/3 ) ?[1/6]。 1/2 – 1/3 = (1/2 –2/6 ) =( 2/4 – 1/3 ) ?[1/6] 。 ∴ 在 F中， 二個(gè)等價(jià)類的元素對(duì) +,, ?運(yùn)算均滿足代換性質(zhì)，即分?jǐn)?shù)集合的相等關(guān)系，對(duì) +,, ?運(yùn)算滿足代換性質(zhì)。 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) 《 定義 》 設(shè)代數(shù)系統(tǒng) U = Z ,* , * 是二元運(yùn)算， R是 Z中的等價(jià)關(guān)系，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任一 x1,x2 ?Z ? y1,y2 ?Z有 x1R x2 ? y1Ry2 ? x1 *y1 R x2 * y2時(shí)，則對(duì)于運(yùn)算 *，等價(jià)關(guān)系 R滿足代換性質(zhì)（置換性質(zhì)）。 《 定義 》 設(shè) U = Z ,* 是一代數(shù)系統(tǒng)， R是 Z中的等價(jià)關(guān)系，于是對(duì)于二元運(yùn)算 *，若等價(jià)關(guān)系 R滿足代換性質(zhì)，則稱 R是代數(shù)系統(tǒng) U中的同余關(guān)系，與此相對(duì)應(yīng)， R的等價(jià)類稱為同余類。 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) 例：在整數(shù) I集合中 是一個(gè)同余關(guān)系， 為一代數(shù)系統(tǒng) ，對(duì)任一 定義 *運(yùn)算： *(i) =(i2) mod m , (m ?I+) 定義 R關(guān)系： 設(shè) R是 I中的一個(gè)關(guān)系，當(dāng) i1 mod m = i2 mod m時(shí)， 則有 i1R i2 下面證明 (i2) mod m是一個(gè)同余關(guān)系 證明： （ 1）前面已證明：在 I中， i(i ?I)模 m 等價(jià)是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。 （ 2）對(duì)于 *運(yùn)算， R滿足代換性質(zhì)。 mi mod)( 2??? ,I Ii?167。 6 同態(tài)與同構(gòu) 設(shè) i1 ,i2 ?I ，且 i1 R i2（即 i1 mod m = i2 mod m ）， 又設(shè) i1 = a1m + r， i2 = a2m + r ,由定義有： *(i1) =(i12) mod m =(a1m + r)2 mod m =(a12m2 + 2 a1mr + r2) mod m= r2 mod m *(i2) =(i22) mod m =(a2m + r)2 mod m =(a22m2 + 2 a2mr + r2) mod m= r2 mod m ∴ *(i1) = *(i2),具有等價(jià)關(guān)系的元素 i1 ,i2經(jīng)“ *”運(yùn)算后屬于同一等價(jià)類 ,R對(duì)于 *滿足代換性質(zhì)。 ∴ R是 I ,* 中的同余關(guān)系。 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) 在同余關(guān)系的定義中，等價(jià)關(guān)系，對(duì)于某一運(yùn)算滿足代換性質(zhì)，這二條均是必須的。只滿足 R是等價(jià)關(guān)系，而不去證明對(duì)于運(yùn)算滿足代換性質(zhì)不能說它就是同余關(guān)系， 可見下例。 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) 例： A ,* 是一代數(shù)系統(tǒng)，其中 A = {a ,b , c ,d}， *由運(yùn)算表給出定義： * a b c d a a a d c b b a d a c c b a b d c d b a 定義 A中一個(gè)等價(jià)關(guān)系 R，且 aRb,cRd, R={a,ab,ba,bb,ac,cd,dc,dd,c} 但等價(jià)關(guān)系對(duì) *運(yùn)算不滿足代換性質(zhì)。 ∵ c*a=c而 c*b=b但 cRb并不成立 。 ∴ R不是 A中對(duì)于 *運(yùn)算的同余關(guān)系。 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) 《 定理 》 設(shè) A,?是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)， R是 A上的一個(gè)同余關(guān)系， B＝ {A1,A2,….,A r}是由 R誘導(dǎo)的 A上的一個(gè)劃分，那么，必定存在新的代數(shù)系統(tǒng) B,*，它是 A,?的同態(tài)象。 證明：由于 R是 A上的同余關(guān)系，我們?cè)O(shè) B上的二元運(yùn)算*為：對(duì)于任意的 Ai， Aj?B,任取 a1?Ai， a2?Aj， 如果 a1?a2 ?Ak，則 Ai*Aj=Ak且是唯一的。 作映射 f(a)=Ai a?Ai 顯然， f是從 A到 B的滿射。 ?x,y ?A， x,y必屬于 B中的某兩個(gè)同余類，不妨設(shè) 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) x ?Ai， y?Aj，則 x ?y必屬于 B中某個(gè)同余類，不妨設(shè) x ?y ?Ak，于是有： f(x ?y )= Ak=Ai*Aj=f(x)*f(y) 因此， f是由 A,?到 B,*的滿同態(tài)，即 B,*是 A,?的同態(tài)象。 形象地說，一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)象可以看作是抽去該系統(tǒng)中某些元素的次要特性的情況下，對(duì)該系統(tǒng)的一種粗糙描述。 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) 《 定理 》 設(shè) f是由 A,?到 B,* 的一個(gè)同態(tài)映射，如果在 A上定義二元關(guān)系 R為： a,b?R當(dāng)且僅當(dāng) f(a)=f(b) 那么 ,R是 A上的一個(gè)同余關(guān)系。 證明： 首先證明 R是 A上的等價(jià)關(guān)系。 (1)R是自反的，由 f(a)=f(a)， ∴ ?a?A， a,a?R。 (2)R是對(duì)稱的，由 f(a)=f(b)可得 f(b)=f(a)， ∴ ?a,b?A，由 a,b?R可得 b,a?R。 (3)R是可傳遞的，當(dāng) a,b?R且 b,c?R時(shí)，有 f(a)=f(b),f(b)=f(c)則 f(a)=f(c)，即有 a,c?R。 其次證明 R對(duì)于 ? 運(yùn)算滿足代換性質(zhì) 167。 6 同態(tài)與同構(gòu) ?a,b?R， c,d?R時(shí)，有 f(a)=f(b)， f(c)=f(d) 因?yàn)椋? f是由 A,?到 B,* 的一個(gè)同態(tài)映射。 ∴ f(a ?c)=f(a)*f(c)， f(b ?d)=f(b)*f(d) ∴ f(a ?c)= f(b ?d)，即 a ?c, b ?d ?R。 綜上所述， R是 A上的同余關(guān)系。