【正文】 空集 全集 冪集 外延性原理 定理 定理 定理 2）集合的運算 交 并 補 絕對補 對稱差 集合運算的性質(zhì) 4）序偶與笛卡爾積 序偶 三元組 n元組 笛卡爾積 5）關(guān)系及其表示 期中復(fù)習(xí) 關(guān)系 前域 值域 恒等關(guān)系 全域關(guān)系 空關(guān)系 關(guān)系矩陣 關(guān)系圖 6）關(guān)系的性質(zhì) 自反 對稱 傳遞 反自反 反對稱 7）復(fù)合關(guān)系和逆關(guān)系 復(fù)合關(guān)系 逆關(guān)系 定理 8）關(guān)系的閉包運算 閉包 定理 期中復(fù)習(xí) 9）集合的劃分和覆蓋 劃分 覆蓋 10）等價關(guān)系與等價類 等價關(guān)系 等價類 商集 定理 12）序關(guān)系 偏序集 蓋住關(guān)系 蓋住集和哈斯圖 極大元 極小元 最大元 最小元 上界 下界 最小上界 最大下界 全序 良序 擬序 期中復(fù)習(xí) 第四章 函數(shù) 1）函數(shù)的概念 函數(shù) 定義域 值域 函數(shù)相等 函數(shù)集合 滿射 入射 雙射 2）逆函數(shù)和復(fù)合函數(shù) 逆函數(shù) 左復(fù)合 恒等函數(shù) 常函數(shù) 函數(shù)復(fù)合的結(jié)合性 定理 期中復(fù)習(xí) 第三、四章作業(yè)選講 167。 5 阿貝爾群和循環(huán)群 例： G ,*為一群 ,G中元素和 *運算見運算表： c1=c ,c2=b ,c3=d ,c4=a(幺元 )。 b1=b, b2=a ,b3=b ,b4=a , 由上可見：生成元 c ,d的階為 4，等于群 G ,*的階，即 |G|的基數(shù)。 證明： 167。 167。 5 阿貝爾群和循環(huán)群 （ 2）在循環(huán)群中，生成元的周期是指 gm=e中最小的 m （這里 m?0且 m?I+）。 5 阿貝爾群和循環(huán)群 例：（ 1） N ,+是一個群，生成元 g=1，而 g的周期為無窮大； （ 2） I為整數(shù)集合。,180186。,60186。 《 推論 》 在阿貝爾群中，對任一 a ,b?G有 (a*b) –1 =b1*a1 =a1*b1 167。 對任一 a ,b?G有 (a*b)*(a*b) = (a*a)*(b*b)成立， ∵ *是可結(jié)合的，且是可消去的， ∴ a*(a*b)*b = (a*a)*(b*b) =(a*b)*(a*b) =a*(b*a)*b 得 a*b =b*a， ∴ G , *是阿貝爾群。 176。 ”可結(jié)合； （ 3）幺元 f0 ； （ 4）每一個元素均可逆 。 例：離散函數(shù)代數(shù)系統(tǒng) F,176。 4 群與子群 a*b=a*(b1)1 ?S，而 (b1)1 ＝ b ∴ a*b ?S ∴ S ,* 是 G , *的子群 例：設(shè) H,*和 K,*都是群 G,*的子群，試證明 H?K,*也是 G,*的子群。 任取 a?S， a*a1?S，而 a*a1＝ e， ∴ e?S 再證，每個元素都有逆元。 ? 0 1 0 0 1 1 1 0 167。 如果 ji1，那么由 bji=b*bji1可知 bji1是 b的逆元， 且 bji1 ?B； 167。 《 定理 》 設(shè) G ,*是一個群， B是 G的非空子集，如果 B是一個有限集，那么，只要運算 *在 B上是封閉的，則 B ,* 必定是 G , *的子群。 167。 167。 167。 4 群與子群 《 定理 5》 ： 群 G , *的運算表中的每一行或每一列都是 G的元素的一個置換。 4 群與子群 《 定理 4》 一個群中，除了幺元 e之外，不存在其它等冪元素。 4 群與子群 《 定理 3》 一個群 G , *中一定不存在零元。 4 群與子群 《 定理 2》 若 G ,* 是一個群，則對任一 a,b,c?G有： （ 1） a * b = a * c? b = c（ a是左可消去的）； （ 2） b * a = c * a? b = c（ a是右可消去的）。 （ b）下面證明這樣的 x是唯一的。 下面以定理形式介紹群的性質(zhì) 167。 例： I ,+為無限群，上例中 M ,*為有限群，群的階為 |M| =6。 )1= 60186。 )1= 180186。 )1=300186。 4 群與子群 （ 1）運算是封閉的 （ 2） *是可結(jié)合的 （ 3）幺元為 0186。 120186。 300186。 0186。 120186。 240186。 0186。 120186。 240186。 60186。 120186。 300186。 60186。}表示平面上幾何圖形順時針旋轉(zhuǎn)的六種位置，定義一個二元運算 *，對 M中任一元素 a,b有 a*b=圖形旋轉(zhuǎn) (a+b)的角度，并規(guī)定當(dāng)旋轉(zhuǎn)到 360186。,120186。 例： I ,+, Z2, +2 ,Z3, +3等均為群 （其中 Z2 ={0,1}, Z3 ={0,1,2} ），而 N ,+,I ,?只是含幺半群而不是群。 3 半群 證明：因 S ,* 是半群，對任意的 b?S， 由 *的封閉性， b*b?S， b3?S， b4?S， … 由于 S是有限集，必有 ij，使 bi=bj 設(shè)： p=j－ i，則 bj=bp*bi，即： bi=bp*bi 當(dāng) q≥i時， bq=bp*bq， 又因 p≥1，總可以找到 k≥1，使 kp≥i，對 S中的 bkp有 bkp=bp*bkp=bp*(bp*bkp)=b2p*bkp =b2p*(bp*bkp)=b3p*bkp=….=b kp*bkp 令 a=bkp，則 a*a=a。 *運算由運算表定義： 167。 167。 3 半群 討論定義： （ 1）因為 *在 S上是可結(jié)合的，而 T?S且 *在 T上是封閉的，所以 *在 T上也是可結(jié)合的。 3 半群 例：設(shè) S為非空集合， ? (S)是 S的冪集， 則 ? (S), ?, ? , ? (S) , ? ,S均為含幺半群。 例： N ,+ , N ,? ,IE ,+ , IE , ?均為半群 《 定義 》 ： 對于 *運算，擁有幺元的半群 M , * 稱為含幺半群。 +5 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 4 0 1 2 3 *5 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 0 2 4 1 3 0 3 1 4 2 0 4 3 2 1 167。 例： Z={0,1,2,3,4},定義 Z中二個運算為， 對任一 x， y ?Z有 x+5y=（ x+y） mod 5 x?5y=（ x?y） mod 5 167。 2運算及其性質(zhì) 下面舉例證明，若元素是可約的，但不一定是可逆的。） 證明：設(shè)任一 x， y ?Z,且有 a*x=a*y，下面證明，在 *可結(jié)合和 a對 *是可逆的條件下， a是可約的。 2運算及其性質(zhì) 對“ ”運算，對任一 x ?R有 x1 =1?x（ x?0） ∵ x 1?x =1，乘法幺元； （ 2）在函數(shù)的合成運算中 ,每一個雙射函數(shù)都是可逆的， f1（ f的逆關(guān)系）； （ 3）在所有的二元運算中 ,零元一定不存在逆元， ∵ θ*x=x*θ=θ。 證明： （ 1）先證左逆元 =右逆元： 設(shè) xL和 xr分別是 x ?Z的左逆元和右逆元， ∵ x是可逆的和 *是可結(jié)合的（條件給出） ∴ xl *x=x* xr = e ∵ xl *x* xr =（ xl*x） * xr = e * xr= xr ； xl *x* xr = xl*(x* xr) = xl* e = xl ∴ xr = xl 167。 167。 證明：方法同幺元。 《 定義 》 ： 設(shè) *是對集合 Z中的二元運算， （ 1）若有一元素 θl ?Z， 且對每一個 x ?Z有 θl *x= θl ，則稱 θl 為 Z中對于 *的左零元； （ 2）若有一元素 θr ?Z， 且對每一個 x ?Z有 x* θr= θr ， 則稱 θr為 Z中對于 *的右零元。用反證法：假設(shè)有二個不同的幺元 e1和 e2,則有 e1* e2= e2= e1,這和假設(shè)相矛盾。 《 定理 》 ：若 el和 er分別是 Z中對于 *的左幺元和右幺元 ,則對于每一個 x ?Z，可有 el= er = e和 e*x=x* e=x，則稱 e為 Z中關(guān)于運算 * 的幺元，且 e ?Z是唯一的。 167。 2運算及其性質(zhì) 例：（ 1）在實數(shù)集合 R中 ,+, 是可交換 ,可結(jié)合的 , 對 +是滿足分配律的 ,“0”對 +是等冪元素 ,而其它不為等冪元素 ,對“ ”法是不可交換 ,不可結(jié)合的； （ 2）在 ?(z)中 , ?,?均是可交換 ,可結(jié)合的 , ?對 ?, ?對?均是可分配的； ?(z)中任一元素 ,對 ?,?均是等冪元素。 2運算及其性質(zhì) 《 定義 》 :設(shè) ?， ?是定義在集合 S上的兩個可交換二元運算，如果對于任意的 x,y?S，都有： x ?(x ?y)=x； x ?(x?y)=x 則稱運算 ?和運算 ?滿足吸收律。 167。 （ 2）在前例中 ,R,I集合中 +,, 運算； ?(z)的元素中 ?,? ,~,運算等均為封閉的。 167。 例：（ 1）在整數(shù) I和實數(shù) R中 ,+,, 均為二元運算 ,而對247。 7 同態(tài)與同構(gòu) 167。 3 半群 167。 本篇討論一些典型