離散數(shù)學(xué)第2章-資料下載頁(yè)
2025-08-05 10:08本頁(yè)面
【正文】 (Symmetric Difference) 1)交換律 2)同一律 3)零律 A?B= 4) A?B = B?A A?? = A A?A = ? ∪ ∩ ?B) (A (?A ∩B) 四、集合的對(duì)稱差 性質(zhì) (Symmetric Difference) (A?B)?C=A?(B?C) 5)結(jié)合律 6,7 , ( ) ( C ) ( C )A B A BC A B A B? ? ?? ? ? 定義 A、 B兩集合的環(huán)積記為 A B，是集合。 ? 定理 (1) =A B， (2) A B=B A， (3) A A=U。 A B?? ? ? ?定理 定理 例 1 已知 A?B＝ A?C，是否必須 B＝ C？ 解： 是。 ∵ A?B =A?C， ∴ A?(A?B) =A?(A?C) (A?A)?B ∴ = (A?A) ?C ∴ ? ?B = ? ?C ∴ B= C。 例 2 已知 A∪ B=A∪ C，是否必須 B=C？ 解： 否。 例： 設(shè) A={ 2}， B={1}， C={2} 例 3 已知 A∩B=A∩C，是否必須 B=C？ 解： 例： 設(shè) A={1}， B={ 2}， C={ 3} 否。 25 集合的笛卡爾積 序偶 (有序 2元組 )： 兩個(gè)具有固定次序的客體組成一個(gè)序偶 (有序 2元組 )，記作 x， y，其中 x是它的第一元素， y是它的第二元素。 一、有序 n元組 例：平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就構(gòu)成為一個(gè)有序序偶，我們可用 x， y表示。 注：序偶是講究次序的。 例 1， 3和 3， 1表示平面上兩個(gè)不同的點(diǎn)，這與集合不同， {1， 3}和 {3， 1}是兩個(gè)相等的集合。 定義： 兩個(gè)序偶相等， x， y=u， v，當(dāng)且僅當(dāng) x=u且 y=v。 一、有序 n元組 有序３元組： 是一個(gè)序偶，其第一元素本身也是一個(gè)序偶，表示為 x， y， z或 x， y， z。 有序 n元組： 有序 n元組也是一個(gè)序偶，其第一元素是一個(gè) n1元組。 x1， x2， …， xn1 ， xn，通常簡(jiǎn)記為：x1， x2， …， xn1， xn，其中 xi稱作它的第 i坐標(biāo)， i=1， 2， …， n。 ?x1， x2， …， xn1， xn =y1， y2， …， yn1， yn的充要條件是 xi=yi， i=1， 2， …， n。 ? 序偶 x,y其元素可以分別屬于不同的集合，因此任給兩個(gè)集合 A和 B，我們可以定義一種序偶的集合。 定義： 設(shè) A和 B是任意兩個(gè)集合，由 A中元素作第一元素， B中元素作第二元素構(gòu)成序偶，所有這樣序偶的集合稱集合 A和 B的笛卡爾積或直積。記作 A?B。 即 A?B={x， y|x?A∧ y?B} 二、笛卡爾積 n個(gè)集合的笛卡爾積：集合 A1， A2， … ， An，則 特別地， 約定：若 A=?或 B=?，則 A ? B=? ， B ? A=? 練習(xí)：若 A={?， ?}， B={1， 2， 3}，求 A?B， B?A， A?A， B?B以及 (A?B)?(B?A)。 解： A?B={?， 1， ?， 2， ?， 3， ?， 1， ?， 2， ?， 3} B?A={1， ?， 1， ?， 2， ?， 2， ?， 3， ?， 3， ?} A?A={?， ?， ?， ?， ?， ?， ?， ?} B?B={1， 1， 1， 2， 1， 3， 2， 1， 2， 2， 2， 3， 3， 1， 3， 2， 3， 3} (A?B)?(B?A)=? 若 A、 B均是有限集， |A|=m， |B|=n，則 |A?B|=m?n。 三、笛卡爾積的性質(zhì) 對(duì)于任意集合 A， A??=?， ??A=? 。 笛卡爾積運(yùn)算不滿足交換律，當(dāng) A??， B??， A?B時(shí) A?B?B?A。 笛卡爾積運(yùn)算不滿足結(jié)合律，即當(dāng) A， B， C均非空時(shí) (A?B)?C?A?(B?C)。 定理 ：對(duì)任意三個(gè)集合 A、 B、 C，有 (1)A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (2)A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (3)(A?B)?C=(A?C)?(B?C) (4)(A?B)?C=(A?C)?(B?C) 由以上兩條有： A?(B?C)?(A?B)?(A?C) 證明兩個(gè)集合相等，可以證明它們互相包含。 則 a?A， b?B?C，即 a?A， b?B，且 b?c， 證明： (2)?a， b?A?(B?C)， 即 a， b?A?B且 a， b?A?C， 有 a， b?(A?B)?(A?C)，得 A?(B?C)?(A?B)?(A?C) ?a， b?(A?B)?(A?C)， 則 a， b?A?B且 a， b?A?C， 則 a?A， b?B，且 a?A， b?C，則 b?B?C。 所以 a， b?A?(B?C)，所以 (A?B)?(A?C)?A?(B?C) 定理 如果所有 Ai(i=1,2,…, n)都是有限集合， 則 |A1 A2 … An|=|A1||A2|… ｜ An|
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