離散數(shù)學(xué)-函數(shù)-資料下載頁
2025-08-05 09:46本頁面
【正文】 1= f 。 2 設(shè) f:X?Y是雙射的函數(shù)，則有 f1 ? f= IX 且 f ? f1 = IY 。 證明 ： 先證 明 定義域、陪域相等。 因為 f:X?Y是雙射的， f1:Y?X也是雙射的 ， 所以 f1 ? f :X?X , IX:X?X 可見 f1 ? f 與 IX 具有相同的定義域和陪域。 再證 它們的對應(yīng)規(guī)律相同： ?x∈ X， 因 f:X?Y， ?y?Y, 使得 y=f(x),又 f 可逆，故 f1(y)=x， 于是 f1 ? f (x)=f1(f(x))=f1(y)=x= IX (x) 同理可證 f ? f1 = IY 。 3 令 f:X?Y, g:Y?X是兩個函數(shù) , 如果 g? f= IX 且 f ? g = IY ,則 g= f1 。 證明 ：⑴證 f和 g都可逆。因為 g? f= IX ， IX是雙射的，由關(guān)系復(fù)合性質(zhì) 3得， f是 入 射的 和 g是 滿 射的。同理由 f? g = IY，得 g是 入 射的 和 f 是 滿 射的。所以 f和 g都可逆。 ⑵顯然 f1和 g具有相同的定義域和陪域。 X Y 。 。 。 。 。 1 2 3 a b 。 c f 。 。 。 1 2 3 X f1 。 。 。 1 2 3 X 。 。 。 1 2 3 X IX ⑶ 證明它們的對應(yīng)規(guī)律相同。 任取 y?Y， f1(y)= f1 ? IY (y) = f1 ? (f ? g) (y) = (f1 ? f) ? g (y) =( IX ? g) (y) =g(y) 所以 f1 =g 注 ： f1 =g 的兩個條件必須同時滿足，缺一不可。 4,令 f:X?Y, g:Y?X是兩個 雙射 函數(shù) ,則 (g ? f) 1 =f 1 ? g1 X Y 。 。 。 。 1 2 a b 。 c f 。 。 1 2 X g 。 。 1 2 X 。 。 1 2 X IX
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