【正文】 （ 1） x是 A(x)中的自由變元； （ 2） c是個體域中任意個體常元； （ 3） y為任意不在 A(x)中約束出現(xiàn)的個體變元。 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論 80 例：設(shè) F(x， y)： xy ， x、 y的個體域為實數(shù) 集合 ，令 A(x) ? ?y F(x， y)， 則 ?x A(x) ? ?x ?y F(x， y) , 該式真值為 1。 若應(yīng)用 US得 ?y F(y， y) ，則是錯誤的， 正確的做法是換成 ?y F(z， y) 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論 81 （ UG）： A(y) ? ?x A(x) 使用此規(guī)則時注意 : (1) y在 A(y)中自由出現(xiàn)，且 y取任何值時 A均為真； (2) 取代 y的 x不在 A(y)中約束出現(xiàn)。 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論 82 例：設(shè) F(x， y)： xy ， x、 y的個體域為實數(shù) 集合 ，令 A(y) ? ?x F(x， y)，該式真值為 1， 若應(yīng)用 UG規(guī)則取 x代替 y得 ?x ?x F(x， x) ，則 是錯誤的，正確的做法是換成 ?z ?x F(x， z) 。 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論 83 (ES): ?x A(x) ? A(c) 注意： c是個體域中的某些個體 ， c并不具有任意性 。 使用此規(guī)則時應(yīng)注意： （ 1） c是使 A為真的特定的個體常元，且未在 A(x)中 出現(xiàn)過； （ 2）如果 A(x)中有其他自由變元出現(xiàn)，且 x是隨其 他自由變元變化的，那么不能使用此規(guī)則。 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論 84 (4)存在推廣規(guī)則 (EG): A(c) ? ?x A(x) 使用此規(guī)則時注意 : (1) c是個體域中某個確定的個體常元； (2) 取代 c的 x不能已在 A(c)中出現(xiàn)。 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論 85 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論 86 例 1證明蘇格拉底三段論 :凡是人都是要死的 。 蘇格拉底是人 。 蘇格拉底是要死的 。 設(shè)： M(x):x是人 。 D(x):x 是要死的 。 a:蘇格拉底 前提 ： ?x(M(x)?D(x))， M(a） 。 結(jié)論 ： D(a)。 證明 ： ① ?x (M(x)?D(x)) P ② M(a)?D(a) US ① ③ M(a) P ④ D(a) T② ③ I (直接證法 ) 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論 87 例 2:前提： ?x(F(x)∨ G(x))， ? ?x G(x). 結(jié)論： ?x F(x) . 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論 88 例 2:前提： ?x(F(x)∨ G(x))， ? ?x G(x). 結(jié)論： ?x F(x) . 證明： ① ? ?x G(x) P ② ?x ? G(x) T① E ③ ? G(a) US ② ④ ?x(F(x)∨ G(x)) P ⑤ F(a)∨ G(a) US ④ ⑥ F(a) T③ ⑤ I ⑦ ?x F(x) EG ⑥ 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論 89 例 3：前提： ?x (A(x)?B(x))， ?x A(x) 結(jié)論： ?x B(x) 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論 90 例 3：前提： ?x (A(x)?B(x))， ?x A(x) 結(jié)論： ?x B(x) 證明 ： ① ?x A(x) P ② A(c) ES ① ③ ?x (A(x)?B(x)) P ④ A(c)?B(c) US ③ ⑤ B(c) T② ④ I ⑥ ?x B(x) EG ⑤ 注意： ① ③ 引入的順序不可更改 ！ 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論 91 例 4： 前提： ?x(F(x)∨ G(x))， ?x(?R(x)∨ ?G(x))， ?x R(x). 結(jié)論： ?x F(x) .(歸謬法 ) 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論 92 例 4： 前提： ?x(F(x)∨ G(x))， ?x(?R(x)∨ ?G(x))， ?x R(x). 結(jié)論： ?x F(x) .(歸謬法 ) 證明 ： ① ? ?x F(x) P結(jié)論否定引入 ② ?x? F(x) T① E ③ ? F(a) ES ② ④ ?x(F(x) ∨ G(x)) P ⑤ F(a) ∨ G(a) US ④ ⑥ G(a) T③⑤ I 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論 93 ⑦ ?x(? R(x)∨ ? G(x)) P ⑧ ? R(a)∨ ? G(a)) US ⑦ ⑨ ? R(a) T⑥ ⑧ ⑩ ?x R(x) P (11)R(a) US ⑩ (12) ? R(a) ∧ R(a) 矛盾式 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論 94 例 5:前提 : ?x(P(x)∨ Q(x)) 結(jié)論： ?(?x)P(x) ?(?x)Q(x) (附加前提法 ) 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論 95 證明： (1) ?(?x)P(x) P(附加前提 ) (2) (?x)?P(x) T(1) (3) ?P(c) ES(2) (4) ?x(P(x)∨ Q(x)) P (5) P(c)∨ Q(c) US(4) (6) Q(c) T(3)(5) (7)(?x)Q(x) EG(6) (8) ?(?x)P(x) ?(?x)Q(x) CP 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論 96 小結(jié)： 本節(jié)介紹了 謂詞演算的推理規(guī)則，并舉例說明了它們的應(yīng)用。 重點：深刻理解四個推理規(guī)則，會應(yīng)用它們推理證明。 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞演算的推理理論