【正文】 詞 邏 輯 命題函數(shù)與量詞 21 例 3： 在謂詞邏輯中將下列命題符號(hào)化 。 （ 1） 凡是人都呼吸 。 （ 2） 每個(gè)學(xué)生都要參加考試 。 （ 3） 任何整數(shù)或是正的或是負(fù)的 。 第二章 謂 詞 邏 輯 命題函數(shù)與量詞 22 解 : (1) 當(dāng)個(gè)體域?yàn)?人類集合 時(shí)： 令 F(x): x呼吸 。 則 （ 1） 符號(hào)化為 ?xF(x). 當(dāng)個(gè)體域?yàn)?全總個(gè)體域 時(shí)： 令 M(x): x是人 。 則 （ 1） 符號(hào)化為 ?x(M(x) ?F(x)). 第二章 謂 詞 邏 輯 命題函數(shù)與量詞 23 (2) 當(dāng)個(gè)體域?yàn)?全體學(xué)生的集合 時(shí)： 令 P(x): x要參加考試 。 則 （ 2） 符號(hào)化為 ?xP(x). 當(dāng)個(gè)體域?yàn)?全總個(gè)體域 時(shí)： 令 S(x): x是學(xué)生 。 則 （ 2） 符號(hào)化為 ?x(S(x) ?P(x)). 第二章 謂 詞 邏 輯 命題函數(shù)與量詞 24 (3) 當(dāng)個(gè)體域?yàn)?全體整數(shù)的集合 時(shí)： 令 P(x): x是正的 。 N(x): x是負(fù)的 。 則 （ 3） 符號(hào)化為 ?x(P(x)∨ N(x)) . 當(dāng)個(gè)體域?yàn)?全總個(gè)體域 時(shí)： 令 I(x): x是 整數(shù) 。 則 （ 3） 符號(hào)化為 ?x(I(x)?(P(x)∨ N(x))). 第二章 謂 詞 邏 輯 命題函數(shù)與量詞 25 對(duì)日常語(yǔ)言中的 “有一個(gè)”、“有的”、“存在著”、 “至少有一個(gè)”、 “存在一些”等詞， 用符號(hào)“ ?” 表 示 ， ?ｘ 表示存在個(gè)體域里的個(gè)體， ?ｘ F(ｘ )表示 存在個(gè)體域里的個(gè)體具有性質(zhì) F。 符號(hào)“ ?”稱為 存在量詞。 第二章 謂 詞 邏 輯 命題函數(shù)與量詞 26 例 4： 在謂詞邏輯中將下列命題符號(hào)化 . （ 1） 一些數(shù)是有理數(shù) 。 （ 2） 有些人活百歲以上 。 第二章 謂 詞 邏 輯 命題函數(shù)與量詞 27 解 : (1)令 Q(x): x是有理數(shù) 。 則 （ 1） 符號(hào)化為 ?ｘ Q(x)。 （ 2） 當(dāng)個(gè)體域?yàn)?人類集合 時(shí)： 令 G(x): x活百歲以上 。 則 （ 2） 符號(hào)化為 ?xG(x)。 當(dāng)個(gè)體域?yàn)?全總個(gè)體域 時(shí)： 令 M(x): x是人 。 則 （ 2） 符號(hào)化為 ?x(M(x) ∧ G(x)) 第二章 謂 詞 邏 輯 命題函數(shù)與量詞 28 有時(shí)需要同時(shí)使用多個(gè)量詞 。 例 5： 命題 “ 對(duì)任意的 x,存在 y, 使得 x+y=5”, 取個(gè)體域?yàn)閷?shí)數(shù) 集合 ， 則該命題 符號(hào)化為 ?x ?y H(x,y). 其中 H(x,y): x+y=5. 這是個(gè)真命題 . 第二章 謂 詞 邏 輯 命題函數(shù)與量詞 29 3. 使用 量詞時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 （ 1） 在不同的個(gè)體域 ， 同一命題的符號(hào)化形式可 能相同也可能不同 。 （ 2） 在不同的個(gè)體域 ， 同一命題的真值可能相同 也可能不同 。 (如 ， R（ x） 表示 x為大學(xué)生 。 如 果個(gè)體域?yàn)榇髮W(xué)里的某個(gè)班級(jí)的學(xué)生 ， 則 ?x R（ x） 為真；若個(gè)體域?yàn)橹袑W(xué)里的某個(gè)班級(jí) 的學(xué)生 ， 則 ?x R（ x） 為假 。 ) 第二章 謂 詞 邏 輯 命題函數(shù)與量詞 30 （ 3） 約定以后如不指定個(gè)體域 ， 默認(rèn)為全總 個(gè)體域 。 對(duì)每個(gè)個(gè)體變?cè)淖兓秶?,用 特性謂詞加以限制 。 第二章 謂 詞 邏 輯 命題函數(shù)與量詞 31 特性謂詞： 限定個(gè)體變?cè)兓秶闹^詞 。 一般而言，對(duì)全稱量詞，特性謂詞常作蘊(yùn)含 的前件，如 ?x(M(x) ?F(x))；對(duì)存在量詞， 特性謂詞常作合取項(xiàng)，如 ?x(M(x)∧ G(x))。 第二章 謂 詞 邏 輯 命題函數(shù)與量詞 32 (4)一般來(lái)說(shuō) ， 當(dāng)多個(gè)量詞同時(shí)出現(xiàn)時(shí) ， 它們的順序不能隨意調(diào)換 。 例如：在實(shí)數(shù)域上用 H(x,y)表示 x+y=5，則命題 “ 對(duì)于任意的 x， 都存在 y使得x+y=5”可符號(hào)化為： ?x?yH(x,y)， 其真值為 1。 若調(diào)換量詞順序后為： ?y?xH(x,y) , 其真值為 0。 第二章 謂 詞 邏 輯 命題函數(shù)與量詞 33 (5) 當(dāng)個(gè)體域?yàn)橛邢藜蠒r(shí) ， 如 D={a1, a2 … , an}， 對(duì)任意謂詞 A(x)， 有 ?xA(x)?A(a1)∧ A(a2)∧ … ∧ A(an ) ?xA(x)?A(a1)∨ A(a2)∨ … ∨ A(an ) 第二章 謂 詞 邏 輯 命題函數(shù)與量詞 34 例 6：在謂詞邏輯中將下列命題符號(hào)化 。 （ 1） 所有的人都長(zhǎng)頭發(fā) 。 （ 2） 有的人吸煙 。 （ 3） 沒(méi)有人登上過(guò)木星 。 （ 4） 清華大學(xué)的學(xué)生未必都是高素質(zhì)的 。 解：令 M(x): x是人 。 （ 特性謂詞 ） （ 1） 令 F(x): x長(zhǎng)頭發(fā) 。 則符號(hào)化為： （ ?x） (M(x) ?F(x)) 第二章 謂 詞 邏 輯 命題函數(shù)與量詞 35 （ 2） 令 S(x): x吸煙 。 則符號(hào)化為： （ ?x） (M(x)∧ S(x)) （ 3） 令 D(x): x登上過(guò)木星 。 則符號(hào)化為： ?（ ?x） (M(x)∧ D(x)) （ 4） 令 Q(x):x是清華大學(xué)的學(xué)生 。 H(x):x是高 素質(zhì)的 。 則符號(hào)化為： ?（ ?x） (Q(x) ?H(x)) 第二章 謂 詞 邏 輯 命題函數(shù)與量詞 36 小結(jié) :本節(jié)介紹了 n元謂詞 、 命題函數(shù) 、 全稱量詞和存在量詞等概念 。 重點(diǎn)掌握全稱量詞和存在量詞及量化命題的符號(hào)化 。 第二章 謂 詞 邏 輯 命題函數(shù)與量詞 37 ? n元 謂詞 A(x1， x2...xn) 稱為謂詞演算的 原子公式。 定義： 謂詞演算的 合式公式 ， 可由下述各條組成 : （ 1） 原子公式是合式公式 。 （ 2） 若 A 是合式公式 ， 則 (?A)也是合式公式 。 （ 3） 若 A， B是合式公式 ， 則 (A ∧ B)， (A ∨ B)， (A ? B)， (A ? B)也是合式公式 。 （ 4） 若 A是合式公式 ， x是 A中出現(xiàn)的任何變?cè)?,則(?x)A , (?x)A， 也是合式公式 。 （ 5） 只有有限次應(yīng)用 (1)~(4)得到的公式是 合式公式 。 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞公式與翻譯 38 例 1：在謂詞邏輯中將下列命題符號(hào)化 . （ 1） 凡正數(shù)都大于零 。 （ 2） 存在小于 2的素?cái)?shù) 。 （ 3） 沒(méi)有不能表示成分?jǐn)?shù)的有理數(shù) 。 （ 4） 并不是所有參加考試的人都能取得好成績(jī) 。 解： （ 1） 令 F(x): x是正數(shù) 。 M(x):x大于零 。 則符號(hào)化為： （ ?x） (F(x)?M(x)) 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞公式與翻譯 39 （ 2） 令 E(x): x小于 2。 S(x):x是素?cái)?shù) 。 則符號(hào)化為： ?x(E(x)∧ S(x)) （ 真值為 0） （ 3） 令 D(x): x是有理數(shù) 。 F(x):x能表示成分?jǐn)?shù) 。 則符號(hào)化為： ?x(D(x) ?F(x)) 或 ? ?x(D(x)∧ ? F(x)) （ 真值為１ ） （ 4） 令 M(x)： x是人 。 Q(x):x參加考試 。 H(x):x取得好成績(jī) 。 則符號(hào)化為： ? ?x(M(x)∧ Q(x)?H(x)) 或 ?x(M(x)∧ Q(x)∧ ? H(x)) 第二章 謂 詞 邏 輯 謂詞公式與翻譯 40 例 2： 在謂詞邏輯中將下列命題符號(hào)化 . （ 1）所有運(yùn)動(dòng)員都?xì)J佩某些教練 .