【正文】 (3)= 6 Df =Dg=Ａ f(A)=Rf={2, 4, 6}, g (A)=Rg={2, 3, 5, 6} 2022/8/31 14 ? f要是集合 A到 B的函數(shù) , 必須滿足以下條件 : 1. A中的每個(gè)元素都要有像 2. A中的一個(gè)元素不可以有兩個(gè)不同的像 3. A中不同的元素可以映射到相同的像 2022/8/31 15 ３ .函數(shù)的相等 定義 設(shè) f和 g都是由集合 A到 B的函數(shù) ,如果對(duì)于所有的a?A ,均有 f(a)=g(a),則稱函數(shù) f和 g相等 ,記作 f=g 。 根據(jù)定義 ， 若在 A中有一個(gè)元素 a， 使得 f(a) ≠g (a) , 則 f≠g 。 設(shè) A和 B都是有限集 ,＃ A＝ n,＃ B＝ m,設(shè) A={a1,a2,… ,an}, B={b1,b2, … ,bm}。 A中 n個(gè)元素的取值方式是 種 , 因此由 A到 B的函數(shù)有 mn個(gè) , ?? ??? ?? ?個(gè)n mmm ??? 記Ｂ A={f|f: A→B}, 則 (BA)=(B)A 2022/8/31 16 例 3 設(shè) A={a, b, c}, B={1, 2}, 構(gòu)造出所有由 A到 B的函數(shù) ,并驗(yàn)證(BA)=(B)A 解 : 由 A到 B的函數(shù)如下 : f1={(a,1),(b,1),(c,1)} , f2={(a,1),(b,1),(c,2)} f3={(a,1),(b,2),(c,1)} , f4={(a,1),(b,2),(c,2)} f5={(a,2),(b,1),(c,1)} , f6={(a,2),(b,1),(c,2)} f7={(a,2),(b,2),(c,1)} , f8={(a,2),(b,2),(c,2)} 所以 (BA)=8 。 2022/8/31 17 二 、 幾種特殊的函數(shù) 定義 設(shè) f是一由 A到 B的函數(shù) , （ 1） 若當(dāng) ai≠aj 時(shí) ， 有 f (ai)≠f (aj), (或者說當(dāng) f (ai)＝ f (aj) 時(shí) , 有 ai = aj)則稱 f是由 A 到 B的 內(nèi)射 。 （ 2） 若對(duì)任意 b∈ B， 必存在 a∈ A， 使 f(a)=b， 則稱 f是A到 B的 滿射 。 （ 3） 若 f既是內(nèi)射 ， 又是滿射 ， 則稱 f是由 A到 B的 雙射 。 2022/8/31 18 例 4 (a) 是內(nèi)射，但不是滿射； (b) 是滿射 , 但不是內(nèi)射； (c) 既不是內(nèi)射，也不是滿射； (d) 既是內(nèi)射 ， 又是滿射 ， 因此是雙射 。 2022/8/31 19 練習(xí) １ .設(shè) A＝ {1, 2, 3, 4, 5} , B={6, 7, 8, 9, 10}, 判斷下列由 A到 B的關(guān)系哪些是函數(shù) ,哪些不是函數(shù)。在相應(yīng)的括號(hào)中鍵入“ Y”或“ N”。 (1) f1＝ {(1, 10),(2, 9),(3, 8),(4, 7),(5, 6)} （ ） (2) f2＝ {(3, 6),(1, 8),(2, 6),(4, 7)} （ ） (3) f3＝ {(3, 6),(2, 9),(1, 9),(4, 9),(5, 9)} （ ） (4) f4＝ {(2, 9),(3, 8),(1, 7),(2, 6),(4, 7),(5, 10)} （ ） Y N Y N 2022/8/31 20 ２ .對(duì)下列每一函數(shù)，確定是否內(nèi)射，是否滿射，是否雙射。分別將“內(nèi)”、“滿”或“雙”填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)。 ???????? 是奇數(shù)是偶數(shù)iiiifIIf212:11? ? 152: 22 ??? rrfRRf2121323 ),(: nnnnfNNf ??nnfNNf 2)(: 44 ??(1) (2) (3) (4) 滿 雙 滿 內(nèi) 2022/8/31 21 函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算 一、復(fù)合函數(shù) 定義 設(shè)有函數(shù) f： A →B和 g： B→C， f和 g的復(fù)合函數(shù)是一個(gè)由 A到 C的函數(shù)，記為 g?f。定義為：對(duì)于任一 a∈ A，(g?f)(a)=g(f(a))。 即如果集合 B中的元素 b是 a在 f作用下的像，且集合 C中的元素c是 b在 g作用下的像，那么 ｃ 就是 a在函數(shù) g?f作用下的像。 2022/8/31 22 例 1 設(shè)集合 A={a1,a2,a3,a4}, B={b1,b2,b3,b4,b5}, C＝ {c1,c2,c3,c4} 函數(shù) f:A→B和 g:B→C， 分別定義為 f={(a1, b2), (a2, b2), (a3, b3), (a4, b4)}, g={(b1,c1), (b2,c2), (b3,c1), (b4,c3), (b5,c3)}, 因此 g?f ={(a1,c2),(a2,c2),(a3,c1),(a4, c3)} 復(fù)合函數(shù) g?f就是復(fù)合關(guān)系 f?g 。 要注意的是為了方便 ， 當(dāng)將其看作復(fù)合函數(shù)時(shí) ， 在其表示記號(hào)中顛倒 f和 g的位置而寫成 g?f。 2022/8/31 23 定理 設(shè) f是一個(gè)由集合 A到 B的函數(shù)， IA和 IB分別是 A和 B上的恒等函數(shù)，則有 f?IA=IB?f＝ f。 二、函數(shù)復(fù)合運(yùn)算的性質(zhì) 例 2 設(shè) A＝ {a,b,c,d}, B={1,2,3} , 函數(shù) f:A→B 定義為 f={(a,1),(b,3),(c,2),(d,2)} IA IB f IA IB f 則 f?IA＝ IB?f＝ f。 2022/8/31 24 定理 設(shè)有函數(shù) f： A→B， g： B→C和 h： C→D，則有 h?(g?f)＝ (h?g)?f gf hg 2022/8/31 25 例 3 設(shè)有函數(shù) f, g, h,均是由實(shí)數(shù)集 R到 R的函數(shù) ,且 f (x)=x+3, g(x)=2x+1, h (x) ＝ x/2 , 求復(fù)合函數(shù) h ?(g?f) , (h?g)?f 。 解 : 所求的復(fù)合函數(shù)都是由 R到 R的函數(shù) ))(()( xfgxfg ?? 721)3(2)3( ??????? xxxg))(())(( xfghxfgh ????? 272 72)72( ?????? xxxh212 12)12())(()()( ???????? xxxhxghxgh又27213)3( ???????? xxxgh由上可知 h?(g?f)=(h?g)?f ))()(()()( xfghxfgh ????2022/8/31 26 設(shè)有函數(shù) f1： A1→A2 , f2： A2→A3 ,… ， fn： An→A n＋ 1 ,則不加括號(hào)的表達(dá)式 fn ? fn1 ? … ? f1 唯一地表示一個(gè)由 A1到 An+1的函數(shù)。 若有函數(shù) f:A→A,則對(duì)任意正整數(shù) n， 唯一地表示一個(gè)由 A到 A的函數(shù)，并將其簡(jiǎn)記為 . fff ??? ?nf2022/8/31